2023年吉林省松原市宁江区四校九年级下学期第三次模拟考数学试题（含解析）

这是一份2023年吉林省松原市宁江区四校九年级下学期第三次模拟考数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省松原市宁江区四校九年级下学期第三次模拟考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列四个实数中，最小的数是（    ）
A． B． C．0 D．
2．网络用语“6”是比较厉害的意思，且“6”本身是一个自然数，将数字用科学记数法表示（    ）
A． B． C． D．
3．吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．下图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（    ）

A． B． C． D．
4．下列运算中正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（   ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（　　）

A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸

二、填空题
7．已知直线ab，一块直角三角板如图所示放置，若∠1=37°，则∠2= ．

8．关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是 ．
9．如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是 ．

10．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为 ．

11．如图，⊙O的半径为4，直线AB与⊙O相切于点A，AC平分∠OAB，交⊙O于点C．则的长为 ．

12．如图，已知在中，．，分别是的中点，连接．若，则的面积是 ．

13．如图，以正六边形的边为直角边作等腰直角三角形，使点在其内部，且，连接，则的大小是 度．

14．如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A(-2，0)点B(1，0)，抛物线y=x2-4x+m与正方形有两个交点时，则m的取值范围是 ．


三、解答题
15．先化简再求值：（+）÷，其中：x＝．
16．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC，DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC=DF，BF=CE．求证：．

17．从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者．
（1）若抽取1名，则恰巧是甲同学的概率是 ．
（2）的若概抽率取是2名，求甲同学在其中的概率(用画树状图法或列表法求解)．
18．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”

19．图①、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

（1）在图①中，以点，，为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点，，，为顶点画一个面积为3的平行四边形．
20．为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（竞赛成绩为百分制，本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含左端点值，不含右端点值）．

信息二：第三组的成绩（单位：分）为：74  71  73  74  79  76  77  76  76  73  72  75
根据信息解答下列问题：
(1)第二组的学生人数是_____人；请补全频数分布直方图；
(2)第三组竞赛成绩的众数是_____分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是_____分；
(3)若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的有多少人？
(4)请根据竞赛成绩分析成绩为76分的同学能否排在前25名？
21．墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座与地面的距离为，花洒的长为，与墙壁的夹角为43°．求花洒顶端到地面的距离（结果精确到）（参考数据：，，）

22．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接、．

(1)k = ；
(2)若的纵坐标为4，求．
23．根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程．某游泳馆从早上开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的倍，其中游泳池内剩余的水量与换水时间上之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）该游泳池清洗需要　　　　小时．
（2）求排水过程中的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）若该游泳馆在换水结束分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午进入该游泳馆游泳，并说明理由．
24．如图1，在中，是BC上的一点，以AD为边作，使．
（1）直接用含的式子表示的度数是_______________；
（2）以为边作平行四边形；
①如图2，若点F恰好落在DE上，试判断线段BD与线段CD的长度是否相等，并说明理由．
②如图3，若点F落在是DE上，且，求线段CF的长（直接写出结果，不说明理由）．

25．如图，等边中，，．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边向终点B运动，过点P作于点Q，过点P向上作，且，以、为边作矩形，设点P的运动时间为x（秒），矩形与的重叠部分图形的面积为y.
  
(1) _______（用含x的式子表示）；
(2)求当点F落在上时x的值；
(3)求在运动过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(4)直接写出运动过程中点F的运动路径长．
26．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线DC交于一点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为y轴上一点，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点F为抛物线对称轴上一点，点Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

参考答案：
1．B
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
【详解】解：∵，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题注意考查了实数的大小比较，求一个数的绝对值，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．C
【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图）即可得．
【详解】解：其俯视图是由两个同心圆（不含圆心）组成，即为
，
故选：C．
【点睛】本题考查了俯视图，熟记定义是解题关键．
4．B
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法运算法则求解即可．
【详解】解：A． ，原式结果错误；
B． ，原式结果正确；
C． ，原式结果错误；
D． ，原式结果错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
5．A
【分析】先分别解两个不等式得到x≤1和x＞-3，然后利用数轴分别表示出x≤1和x＞-3，于是可得到正确的选项．
【详解】解不等式x-1≤0得x≤1，
解不等式x+3＞0得x＞-3，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
6．C
【分析】设⊙O的半径为r,在Rt△AEO中,AE=4,OE=r-2,OA=r,则有r2=42+（r-2）2,解方程即可．
【详解】设⊙O的半径为r,
在Rt△AEO中,AE＝4,OE＝r﹣2,OA＝r,
则有r2＝42+（r﹣2）2,
解得r＝5,
∴⊙O的直径为10寸,
故选C．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理等知识,解决本题的关键是学会利用利用勾股定理构造方程进行求解.
7．53°/53度
【分析】作直线ABa，根据两直线平行，内错角相等解题即可．
【详解】作直线ABa，
∵ab
∴ABab，
∵ABa，
∴∠1=∠3，
∵ABb，
∴∠2=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=37°，
∴∠2=90°﹣37°=53°，
故答案为53°．

【点睛】本题考查平行线的性质．正确作辅助线，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
8．
【分析】根据一元二次方程无实数解，得出，解不等式即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数解，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
9．两点之间，线段最短
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，解答即可．
【详解】解：由线段的性质可知：
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段，这些所有的线中，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】本题主要考查了线段的性质，即两点之间线段最短．
10．1
【详解】由旋转的性质得到AB=AB′=5，
在直角△AB′D中，∠D=90°，AD=3，AB′=AB=5，
所以B′D==4，
所以B′C=5﹣B′D=1．
故答案是：1．

11．2π．
【分析】由切线的性质和角平分线的定义得到∠OAC=45°，则∠AOC=90°，所以根据弧长公式解答即可．
【详解】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴∠OAB＝90°．
∵AC平分∠OAB，
∴∠OAC＝∠OAB＝45°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠AOC＝90°．
∴的长为： =2π．
故答案是：2π．
【点睛】此题考查切线的性质，解题关键在于掌握若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
12．24
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据三角形的面积公式计算，即可得到答案．
【详解】解：分别是的中点，，
，
，
，
是直角三角形，
，
故答案为：24．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，是解题的关键．
13．45
【分析】依据正六边形ABCDEF中，∠AFE=∠BAF=120°，∠BAG=90°，即可得出∠FAG=120°-90°=30°，再根据∠AFG=75°，即可得到∠EFG=45°．
【详解】解：在正六边形ABCDEF中， ∵∠AFE=∠BAF=
∵∠BAG=90°， ∴∠FAG=120°-90°=30°，
又∵AF=AB=AG，
∴∠AFG=
∴∠EFG=∠AFE-∠AFG=120°-75°=45°，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，等腰三角形的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
14．
【分析】根据题意可求出C点坐标，又可知抛物线在点A和点C之间时符合题意．即分别将A点坐标和C点坐标代入，求出m的值，即可求出m的取值范围．
【详解】∵A(-2，0)，B(1，0)，四边形ABCD是正方形．
∴AB=1-(-2)=3．
∴C点坐标为(1，3)．
根据题意可知抛物线在点A和点C之间时符合题意．
当抛物线经过点A时，即将A点坐标代入中，得：
，解得：．
当抛物线经过点C时，即将C点坐标代入中，得：
，解得：．
综上，．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质和二次函数的性质．根据题意理解抛物线在点A和点C之间时该抛物线与正方形有两个交点是解答本题的关键．
15．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】原式===．                    
     当x=时，原式==．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则.
16．证明见解析．
【分析】由AB⊥BE和DE⊥BE可得∠B=∠E=90°，由此可得△ABC和△DEF是直角三角形；又由BF=CE可得CB=EF，再加条件AC=DF，可以用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，由此可以得到∠ACB=∠DFE．
【详解】证明：∵AB⊥BE
∴∠B=90°
∵DE⊥BE
∴∠E=90°
∵BF=CE
∴BF+CF=CE+CF
即：CB=EF
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ACB=∠DFE．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握证明直角三角形全等的HL定理．
17．（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用概率公式解题；
（2）利用画树状图解题．
【详解】（1）因为有4名同学，且抽取1名，故恰巧抽取到甲同学的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图，如图：

抽取到2名同学共有12种等可能结果，其中甲同学被抽中的结果有6种，故甲同学在其中的概率为．
【点睛】本题考查概率、树状图法或列表法求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．马每匹两，牛每头7两
【分析】设4每匹两，牛每匹两，根据“马四匹、牛六头，共价四十八两，马二匹、牛五头，共价三十八两”列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设4每匹两，牛每匹两，
根据题意得：
，
解得：，
马每匹两，牛每头7两．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以为顶点，为 底边，即可做出等腰三角形；
（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．
【详解】解：（1）如图①中，此时以为顶点，为底边，该即为所求（答案不唯一）．
（2）如图②中，此时底，高，因此四边形即为所求．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质．
20．(1)10；补全频数分布直方图见解析
(2)76，78
(3)估计该校参赛学生成绩不低于80分的有720人
(4)成绩为76分的同学不排在前25名

【分析】（1）根据各组数据的和为50可求出第二组学生的学生数，再补全统计图即可；
（2）根据众数、中位数的定义求解即可；
（3）先求出样本中不低于80分的学生所占的比例，再乘以1500，即可得到答案；
（4）由（2）可知，将50名学生的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数为77，79，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
（人），
补全频数分布直方图如图所示：
，
故答案为：10；
（2）解：根据题意得：
第三组学生竞赛成绩出现次数最多的是76，故众数为76，
将50名学生的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，故中位数为78，
故答案为：76，78；
（3）解：根据题意得：
（人），
答：该校共有1500名学生参赛，该校参赛学生成绩不低于80分的有720人；
（4）解：由（2）可知，将50名学生的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数为77，79，
故成绩为76分的同学不能排在前25名．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、中位数、众数、由样本所占百分比估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义，是解题的关键．
21．约为．
【分析】过C作CF⊥AB于F，于是得到∠AFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图，过点作于点，则，

在中，，
∵，
∴

，
∴
，
因此，花洒顶端到地面的距离约为．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
22．(1)6
(2)

【分析】（1）把点代入反比例函数的解析式，即可求出的值；
（2）通过相似三角形的性质求得点的坐标，进而求得，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【详解】（1）点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：6；
（2）过点作，垂足为，

轴，垂足为，
，
∴
，
，
，，
，
，
点的横坐标是6，
在反比例函数的图象上，
，
，
，
．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
23．（1）1.2；（2）y=-800x+1200(0≤x≤1.5)；（3）不能，理由见解析．
【分析】（1）2.7-1.5即可求解；
（2）设排水过程中与之间的函数关系式为，根据函数图象经过点，待定系数法即可求解；
（3）根据题意计算出对外开放时间，与12:30比较即可求解．
【详解】解：（1）2.7-1.5=1.2h，
（2）设排水过程中与之间的函数关系式为，
由题意得函数图象经过点，
∴
解得
∴与之间的函数关系式为；
（3）由题意得排水速度为1200÷1.5=800m3/h，
∴灌水速度为800÷1.6=500 m3/h，
∴灌水时间为1200÷500=2.4h，
所以对外开放时间为7+2.7+2.4+0.5=12.6＞12.5
∴小致不能在中午进入该游泳馆游泳．
【点睛】本题考查了一次函数与实际问题，根据实际问题结合图象理解题意是解题关键．
24．（1）；（2）①相等，见解析，②
【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，可求得∠BAC＝180°−2α，又由AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°，可求得∠DAE＝2α，继而求得∠ADE的度数；
（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC＝∠ABC＝α，则可得∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°，证得AD⊥BC，又由AB＝AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；
②由在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，可得∠B＝∠C＝α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE＝BF．即可证得：∠EAC＝∠C＝α，又由（1）可证得AD＝CD，又由AD＝AE＝BF，证得结论．
【详解】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠BAC＝180°−2α，
∵∠DAE＋∠BAC＝180°，
∴∠DAE＝2α，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝90°−α；
故答案为：90°−α；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF．
∴∠EDC＝∠ABC＝α，
由（1）知，∠ADE＝90°−α，
∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
②证明：∵AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠C＝∠B＝α．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE＝BF．
∴∠EAC＝∠C＝α，
由（1）知，∠DAE＝2α，
∴∠DAC＝α，
∴∠DAC＝∠C．
∴AD＝CD．
∵AD＝AE＝BF，
∴BF＝CD．
∴BD＝CF．
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定．注意（2）①中证得AD⊥BC是关键，（2）②中证得AD＝CD是关键．
25．(1)
(2)当点F落在上时x的值为
(3)
(4)运动过程中点F的运动路径长为

【分析】（1）由是等边三角形，，于点，得，，而，，则；
（2）由矩形的性质得，，，则，，当点落在上，则，此时，而，则，所以；
（3）当落在上时，则，得；当点与点重合，则，得；当点与点重合，则，得，再分三种情况讨论，一是当时，；二是当时，交于点，交于点，可证明是等边三角形，则，，，所以；三是当时，，则；
（4）连接，可求得，则为定值，而，当点与点重合时，，则当点到达终点时，，可知点的运动路径长为．
【详解】（1）解：是等边三角形，，于点，
，，
于点，，
，
，
故答案为：．
（2）四边形是矩形，，
，，，
，
，，
，
当点落在上，则，
，
，，
，解得，
当点落在上时的值为．
（3），
当落在上时，，
，
，解得；
当点与点重合，则，解得；
当点与点重合，则，解得，
当时，如图1，
  
，
；
当时，如图2，交于点，交于点，
  
∵，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
；
当时，如图3，，
  
，
，
综上所述，
（4）如图3，连接，
，，，
，
为定值，
，当点与点重合时，，
当点到达终点时，，
点的运动路径长为．
【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、矩形的性质、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
26．(1)
(2)存在，最小值，点P坐标
(3)存在，点的坐标为或或或

【分析】（1）求出点B的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解；
（2）先求出点E的坐标，再利用轴对称求出点坐标，求出直线的表达式，得到点P的坐标，利用勾股定理求出即可得到最小值；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点F的坐标为，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，OA＝4，
∴，故点B的坐标为，
把B、D两点代入抛物线的解析式得
则，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）解：存在，理由：
∵DCx轴
∴ 点E与点的纵坐标相同
当y＝5时，，
解得，，
∴ 点E的坐标为（2，5）
∵点E关于y轴对称点为
∴点坐标为．
如图1，连接，交y轴于点P，连接EP，则此时为最小值，

由点B的坐标为，点坐标为
设直线的表达式为y＝mx＋n，

解得
则直线的表达式为，
当x＝0时，y＝，
∴点P坐标为．
则为最小值．
（3）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点F的坐标为，
由点B、E的坐标得，，
∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，
当时，
解得，
如图2所示，

当时，则，
解得，，
如图3所示，

故点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．