2023年吉林省松原市宁江区中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年吉林省松原市宁江区中考二模数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年吉林省松原市宁江区中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图，数轴上点表示的有理数可能是（　　）

A． B． C． D．
2．若要在（5﹣）□的“□”中填上一个运算符号,使计算结果最大,则这个运算符号应该填（  ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
3．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（　　）

A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
4．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（    ）

A．1.5 B．2.0 C．2.5 D．3.0
5．如图，以直角三角形的三边为边向外作正五边形，若，，则的面积为（    ）

A．12 B．25 C．8 D．18
6．如图，正方形的边长为4，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（    ）


A． B． C． D．

二、填空题
7．若使分式有意义，则x的取值范围是_______________．
8．不等式组的所有整数解的积为_________．
9．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 __．
10．如图所示的四角风车至少旋转__________°就可以与原图形重合．

11．如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是和4，那么阴影部分的面积_________．（用含x的代数式表示）

12．如图，C，D在圆上，是直径，若，则___________．

13．为测量池塘边两点A， B之间的距离，小明设计了如下的方案：在地面取一点O ， 使交于点O ， 且． 若测得，米，则A  ， B两点之间的距离为_____米．

14．如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则的周长为_________．
    

三、解答题
15．先化简，再求值：，其中，．
16．在一个密闭留有洞口的盒子里，装有3个分别写有数字，0，1的小球（形状、大小一样）．先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．用画树状图（或列表）法，求两次取出小球上的数字相同的概率．
17．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD=AB，过点C作CE//AB且CE=BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G，求证：△ABC≌△DCE．

18．《九章算术》中记载这样一道问题．
原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”
请解答上述问题．
19．2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．下图是其中的一个统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：

（1）图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的平均数约是________亿元（结果保留一位小数）；
（2）在由“新基建”七大领域预计投资规模组成的扇形统计图中，“新能源汽车充电桩”预计投资规模所占的圆心角约是_______（结果保留整数）；
（3）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中，甲选择了“5G基站建设”，乙选择了“人工智能”分别作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么．
20．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）

(1)在图1中作△ABC的重心．
(2)在图2中作，且G是格点．
21．如图，和两幢楼地面距离为30米，从楼AB的顶部点A测得楼的顶部点D的仰角为53°，从楼的顶部点测得楼的底部点C的俯角为45°．（参考数据：，，）

(1)求的大小；
(2)求楼、的高度（结果保留1位小数）
22．如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图像经过点，交于点．已知，．

(1)若，求的值；
(2)连接，若，求的长．
23．我国传统的计重工具—秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据：
（厘米）






（斤）






（1）在上表，的数据中，发现有一对数据记录错误．在图中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是多少？
24．在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．

（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为　 ；
（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；
（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求的值．
25．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点D为线段OA上一动点，过点D作交对角线OB于点E，把△ODE绕点O逆时针旋转，得，点D，E旋转后的对应点为，．记旋转角为．
(1)如图①，当点D为OA中点时，，求点的坐标；

(2)若旋转后点落在OB上，设OD=t．
①如图②，若旋转后与矩形OABC的重合部分为四边形．交BC于点N，交BC于点M，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围；

②若与矩形OABC的重叠部分的面积为S，当时，试用含有t的式子表示S（直接写出结果即可）．
26．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线
(1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，求抛物线的顶点坐标；
(3)当时，y的最大值是5，求a的值；
(4)在（3）的条件下，当时，y的最大值是m，最小值是n，且，求t的值．

参考答案：
1．C
【分析】根据点A在数轴上的位置，先确定A的大致范围，再确定符合条件的数．
【详解】解：因为点A在与之间，且更靠近，
所以点A表示的数可能是．
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上的点表示有理数．题目比较简单．原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数．
2．C
【详解】试题解析：




故选C.
3．B
【分析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
【详解】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平移的性质和应用，以及简单组合体的三视图，要熟练掌握，解答此题的关键是掌握主视图、俯视图以及左视图的观察方法．
4．A
【分析】根据三角形三边关系判断即可．
【详解】解：铁丝的总长度为1+1+1+1＝4，
根据三角形的三边关系知，两边之和大于第三边，
∴AB边长度小于2，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，由三边关系得到AB边长度小于2是解题的关键．
5．C
【分析】设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，分别表示，，，找到它们之间的关系，求出；
【详解】解：如图，连接一个正五边形的中心和相邻的两个顶点构成一个等腰三角形，

其顶角为，底角为，
设其边长为m，则等腰三角形的底边为m，高为，
三角形面积=，
此正五边形的面积=，
设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则
，
又，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理、正五边形的面积，解题关键利用数形结合的思想解答．
6．B
【分析】如图，连接，证明，再根据阴影部分的面积即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵是圆的直径，
∴，
又∵，
∴，
∵是中点
∴是的中位线，
∴，，
阴影部分的面积


．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算以及正方形的性质，掌握“不规则图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差来计算”是解本题的关键．
7．
【分析】由分母不为零可得，从而可得答案．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为零”是解本题的关键．
8．0
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”求得不等式组的解集，从而可求得整数解，即可求解．
【详解】解：
由①得： ．
由②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为0，1
故所有整数解的积为．
故荅案为：0.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即36﹣4m＝0，
解得m＝9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝0．
10．90
【分析】如图所示，∠AOB即为所求，由题意得∠AOB=90°，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，∠AOB即为所求，
由题意得，∠AOB=90°，
∴四角风车至少旋转90°就可以与原图形重合，
故答案为：90．

【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的意义．
11．
【分析】根据两正方形面积，利用算术平方根定义求出各自的边长，表示出阴影部分面积即可．
【详解】解：∵面积分别是和4，，
∴它们的边长分别为：x，2，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．
【分析】做辅助线，根据同弧所对的圆周角相等，以及直径所对的圆周角为，然后直接求解即可．
【详解】连接，
∵是直径，
∴，
∵
∴
∴
故答案为：

【点睛】此题考查圆周角的概念，解题关键是直径所对的圆周角为．
13．60
【分析】根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】试题解析：∵，
∴，
∴，
∵米，
∴米．
故答案为：60．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定．
14．24
【分析】根据平行四边形性质得到，再由折叠性质，确定垂直平分，从而得到为等边三角形，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴等腰为等边三角形，
∴的周长为，
故答案为：24．
【点睛】本题考查求线段长，涉及平行四边形性质、折叠性质、中垂线的判定与性质及等边三角形判定与性质，熟记相关几何性质与判定是解决问题的关键．
15．，
【分析】先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项，然后将x、y的值代入计算即可．
【详解】解：原式

．
当，时，
原式．
【点睛】本题考查了乘法公式，整式的加减，关键是掌握乘法公式．
16．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
  
∵共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字相同的有3种结果．
∴两次取出小球上的数字相同的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
17．见解析
【分析】根据CE∥AB可得∠B=∠DCE，由SAS定理可得结论．
【详解】证明：∵CE∥AB，
∴∠B=∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质定理，熟记定理是解答此题的关键．
18．每只雀重斤，每只燕重斤
【分析】根据问题，设每只雀重斤，每只燕重斤，由“将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等；5只雀、6只燕的总重量为1斤”列方程组求解即可得到答案．
【详解】解：设每只雀重斤，每只燕重斤，
依题意得：，解得：，
答：每只雀重斤，每只燕重斤．
【点睛】本题考查古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键．
19．（1）314.6；（2）49；（3）甲更关注在线职位增长率；乙关注的是2020年预计投资规模最大
【分析】（1）按照求平均数的公式计算即可，即把七大领域预计投资规模数相加并除以7，就可得平均数；
（2）计算“新能源汽车充电桩”预计投资规模在七大领域预计投资规模总数中的百分数，它与360°的积就是所求扇形的圆心角；
（3）观察统计图知，“5G基站建设” 在线职位增长率最大，故甲关注它；而“人工智能”则是五大细分领域中2020年预计投资规模最大的，故乙关注它．
【详解】（1）2020年“新基建”七大领域预计投资规模的平均数为：
(100+640+300+200+160+500+300)÷7≈314.3（亿元）
故答案为：314.3
（2）
故答案为：49
（3）五大细分领域中，“5G基站建设” 在线职位与2019年同期相比，增长率最大，所以甲关注的是这个增长率；而“人工智能”则是五大细分领域中2020年预计投资规模最大的，故乙关注它．
【点睛】本题综合考查了各种统计图，关键是读懂统计图，获取所需要的信息．
20．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据重心是三角形三边中线的交点，分别作出三边中线即可得到答案；
（2）根据题意可知∠ACB=45°，因此只要保证∠AGB等于45°即可；
【详解】（1）解：如图1所示，点D即为所求；

（2）解：如图2，即为所求；

【点睛】本题主要考查矩形的性质，正方形的性质，三角形重心，熟知矩形的性质，正方形的性质是解题的关键
21．(1)
(2)（米）；（米）

【分析】（1）过作于点，连接，根据题意得出即可求解；
（2）证明出四边形是矩形，得出，根据，得出，再在中求出，根据即可求解。
【详解】（1）解：过作于点，连接，

根据题意得：，
；
（2）解：，
，
四边形是矩形，
∴，
，
是等腰直角三角形，
（米），
（米）
在中，，
，
解得：（米），
（米）．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的判定、等腰三角形的判定及性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键．
22．(1)12
(2)

【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案；
（2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象上的点的特点求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）解：作，垂足为，如图所示：

，，
，
在中，，，
，
，
点的坐标为：，
反比例函数的图像经过点，
；
（2）解：设点的坐标为，
，，
，
，两点的坐标分别为：，，
点，都在反比例函数的图像上，
，
，
点的坐标为：，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的点的特征，正确得出方程是解题关键．
23．（1）图像见解析，错误的一对是；（2）斤
【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断．
（2）设函数关系式为y＝kx＋b，利用待定系数法解决问题即可．
【详解】解：（1）观察图像可知，错误的一对是；

（2）设
将，代入上式
解之得

令代入上式．
【点睛】本题考查了化画函数图像，待定系数法求一次函数解析式，求函数值，运用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
24．（1）CD＝CB；（2）仍然有CD＝CB，理由见解析；（3）＝2．
【分析】（1）∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．α＝90°，得出∠ADC=180°-α=90°=∠ABC，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CD＝CB，
（2）过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，根据角平分线性质可得CE＝CF，再证△CDF≌△CBE（AAS）即可；
（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，先证△AON≌△COD（SAS），可得∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，再证△AND≌△BCM（SAS），得出CM＝DN＝2DO即可．
【详解】证明：（1）CD与CB的数量关系为：CD＝CB．
∵∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．α＝90°，
∴∠ADC=180°-α=90°=∠ABC，
∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CB⊥AB，
∴CD＝CB，
故答案为：CD＝CB；

（2）仍然有CD＝CB，理由如下：
过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，

则∠CEB＝∠CFD＝90°，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，∠ADC＝180°﹣a，
∴∠CDF＝α＝∠ABC，
在△CDF和△CBE中
，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD＝CB；
（3）延长DO至点N，使ON＝DO，连接AN，

在△AON和△COD中，
，
∴△AON≌△COD（SAS），
∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，
∴CD∥AN，
∴∠DAN+∠ADC＝180°，
∴∠DAN＝180°﹣∠ADC＝α＝∠B，
在△AND≌△BCM中，
，
∴△AND≌△BCM（SAS），
∴CM＝DN＝2DO，
∴＝2．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，线段中点与倍分，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，线段中点与倍分，利用辅助线构造全等图形是解题关键．
25．(1)
(2)①，其中t的取值范围为；②

【分析】（1）过点作，垂足为F，则．根据点D为OA的中点，可求OD=4．根据旋转的性质，可得，，利用30°直角三角形性质得出，利用勾股定理求出；
（2）①先利用勾股定理求出，根据旋转的性质得，，，然后利用锐角三角函数得出即可；②分两段，利用点E′在BC上分开，当，利用tan∠E′OD′=，求出，再利用三角形面积求解，当，过点M作MG⊥OB于G，根据四边形ABCO为矩形性质，可证MO=OB，利用锐角三角函数求出，然后利用割补法求面积即可．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为F，则．

∵点，点，∴OA=8，OC=6．
∵点D为OA的中点，∴OD=4．
∵绕点O逆时针旋转30°得到，
∴ ，．
在中，，
∴，
∴点的坐标为；
（2）①在Rt△OAB中，，
由旋转的性质得，，，
∴，
，，
∴，
∵旋转后与矩形OABC的重合部分为四边形．
当点E′在BC上时，tan∠E′OD′=，
∴OD′=BD′=t=5，
t的取值范围为；

②当，
∵旋转后点落在OB上，设OD=OD′=t，
∴tan∠E′OD′=，
∴，
与矩形OABC的重叠部分为三角形的面积为S=；

当，过点M作MG⊥OB于G，
∵四边形ABCO为矩形，
∴BC∥AO，
∴∠CBO=∠AOB=∠MOG，
∴MO=OB，
∵MG⊥OB，
∴OG=GB=，
∴tan∠CBO=，
∴，
∴S=S△OMB-S△ND′B=，

∴．
【点睛】本题考查图形与坐标，图形旋转，矩形性质，等腰三角形判定与性质，解直角三角形，30度直角三角形性质，勾股定理，列函数解析式，掌握图形与坐标，图形旋转，矩形性质，等腰三角形判定与性质，解直角三角形，30度直角三角形性质，勾股定理，列函数解析式是解题关键．
26．(1)
(2)
(3)
(4)或2

【分析】（1）将抛物线上的点代入抛物线解析式，再结合对称轴，即可解得a、b的值，再将a、b值代入抛物线解析式即可得出答案．
（2）根据抛物线的顶点坐标公式，再将a、b、c的值代入即可求出．
（3）观察x取值范围内的抛物线图像可知，当时，y取得最大值5．
（4）分四种情况讨论，根据最大与最小值差的关系式即可求得t值．
【详解】（1）由抛物线经过点和抛物线的对称轴方程，
可列方程组，
解得．
故抛物线的解析式为．
（2）抛物线的顶点坐标为，
将代入，得抛物线的顶点坐标为：．
（3）当时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线，1到的距离大于1到3的距离，（如下图）

∴时，y的值最大．
∴．
将代入，得．
（4）①当时，
y的最大值是
最小值是 n=
∵，
∴．解得．
②当 时，
y的最大值是，最小值是．
∵，
∴．解得（不成立，舍去）
③当 时，y的最大值是，最小值是．
．解得 ， （不成立，舍去）
④当时，
y的最大值是，最小值是
∴．解得．
综上，t的值为或2．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的顶点、二次函数的最值等相关知识点，解题的关键是灵活分析问题、善于分类讨论．