2023年吉林省松原市宁江区四校中考数学三模试卷（含解析）

2023年吉林省松原市宁江区四校中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个实数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  网络用语“”是比较厉害的意思，且“”本身是一个自然数将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深寸寸，锯道长寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是(    )

A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  已知直线，一块直角三角板如图所示放置，若，则____．

 

8.  关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是______ ．

9.  “把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是______ ．

10.  如图，在矩形中，，，矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，若点的对应点落在边上，则的长为______ ．

11.  如图，的半径为，直线与相切于点，平分，交于点则的长为______．

12.  如图，已知在中，，，分别是，的中点，连接若，则的面积是______．

13.  如图，以正六边形的边为直角边作等腰直角三角形，使点在其内部，且，连结，则的大小是______度．

14.  如图，正方形的边在轴上，点、点，抛物线与正方形有两个交点时，则的取值范围是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

15.  先化简再求值：，其中：．

四、解答题（本大题共11小题，共79.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知，如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，．
求证：≌．

17.  本小题分
从甲、乙、丙、丁名同学中随机抽取同学担任环保志愿者．
若随机抽取名，则恰巧是甲同学的概率是______；
若随机抽取名，求甲同学在其中的概率用画树状图法或列表法求解．

18.  本小题分
中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何马、牛单价各是多少两？”

19.  本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
在图中，以点，，为顶点画一个等腰三角形；
在图中，以点，，，为顶点画一个面积为的平行四边形．

 

20.  本小题分
为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并随机抽取了名学生的竞赛成绩竞赛成绩为百分制，本次竞赛没有满分，经过整理数据得到以下信息：
信息一：名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组每组数据含左端点值，不含右端点值．
信息二：第三组的成绩单位：分为

根据信息解答下列问题：
第二组的学生人数是______ 人；
第三组竞赛成绩的众数是______ 分，抽取的名学生竞赛成绩的中位数是______ 分；
若该校共有名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于分的有多少人？
 

21.  本小题分
墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座与地面的距离为，花洒的长为，与墙壁的夹角为求花洒顶端到地面的距离结果精确到参考数据：，，

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接、．
______ ；
若点的纵坐标为，求．

23.  本小题分
根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程某游泳馆从早上：开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的倍，其中游泳池内剩余的水量与换水时间上之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
该游泳池清洗需要______ 小时．
求排水过程中的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
若该游泳馆在换水结束分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午：进入该游泳馆游泳，并说明理由．

24.  本小题分
如图，在中，，，是边上一点，以为边作，使，．
直接用含的代数式表示的度数为______ ；
以、为边作平行四边形．
如图，若点恰好落在上，试判断线段与线段的长度是否相等，并说明理由；
如图，若点恰好落在上，且，时，直接写出线段的长．

 

25.  本小题分
如图，等边中，，，点从点出发以每秒个单位的速度沿边向终点运动，过点作于点，过点向上作，且，以、为边作矩形，设点的运动时间为秒，矩形与的重叠部分图形的面积为．
______ 用含的式子表示；
求当点落在上时的值；
求在运动过程中与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
直接写出运动过程中点的运动路径长．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于一点．
求抛物线的解析式；
若点为轴上一点，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由；
若点为抛物线对称轴上一点，点为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，故B正确．
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
本题考查了实数的大小比较，求一个数的绝对值，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，
由松花砚的示意图可得其俯视图为．
故选：．
由物体的正面示意图可得物体的俯视图为两同心圆．
本题考查物体的三视图，解题关键是掌握物体的三视图的有关概念．
 

4.【答案】 

【解析】解：，原式结果错误；
B.，原式结果正确；
C. ，原式结果错误；
D.，原式结果错误．
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法运算法则求解即可．
本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
 

5.【答案】 

【解析】解：解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是：．
故选：．
先分别解两个不等式得到，然后利用数轴表示出，即可得到正确的选项．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
 

6.【答案】 

【解析】解：设的半径为．
在中，，，，
则有，
解得，
的直径为寸，
故选：．
设的半径为在中，，，，则有，解方程即可．
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：作直线，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
首先作平行线，然后根据平行线的性质可得到，据此求出的度数．
本题考查了平行线的性质，作辅助直线是解题的关键，熟练掌握两直线平行，内错角相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
即的取值范围为．
故答案为：．
先根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

9.【答案】两点之间线段最短 

【解析】解：由线段的性质可知：
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
根据线段的性质：两点之间线段最短，解答即可．
本题主要考查了线段的性质，即两点之间线段最短．
 

10.【答案】 

【解析】解：矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，
，，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：直线与相切于点，
．
平分，
．
，
，
．
的长为：．
故答案是：．
由切线的性质和角平分线的定义得到，则，所以根据弧长公式解答即可．
本题主要考查的是圆切线的性质，由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
 

12.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，，
，
，，
，
为直角三角形，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在正六边形中，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：．
依据正六边形中，，，即可得出，再根据，即可得到．
本题考查了多边形的内角与外角，等腰三角形的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，四边形是正方形，
，点坐标，
当抛物线经过点时，，，
当抛物线经过点时，，，
抛物线与正方形有两个交点时，则的取值范围是：．
故答案为．
把点、坐标分别代入抛物线解析式即可求出的值，由此即可解决问题．
本题考查正方形的性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，找到关键点代入抛物线解析式即可解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】解：原式

．
当时，
原式
； 

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

16.【答案】证明：，




≌． 

【解析】因为，，所以，又因为，所以，又因为，则可根据判定≌．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

17.【答案】 

【解析】解：若随机抽取名，则恰巧是甲同学的概率是，
故答案为：；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中名同学中有甲同学的结果数为，
所以甲同学在其中的概率为．
直接利用概率公式求解即可；
先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：设马的单价为两，牛的单价为两，
依题意得：，
解得：．
答：马的单价为两，牛的单价为两． 

【解析】设马的单价为两，牛的单价为两，根据“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图中，即为所求答案不唯一．
如图中，四边形即为所求．
 

【解析】根据等腰三角形的定义画出图形即可答案不唯一．
作应该底为，高为的平行四边形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：；
，；
人，
答：该校名参赛学生成绩不低于分的大约有人． 

【解析】解：人，
故答案为：；
第三组学生竞赛成绩出现次数最多的是，因此众数是，
将名学生的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，
故答案为：，；
见答案．
根据各组数据的和为可求出第二组的学生数；
根据众数、中位数的意义求解即可；
样本中成绩不低于分的占调查人数的，因此估计总体人的是成绩不低于分的人数．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：过作于，
则，
在中，，，
，
，
，
答：花洒顶端到地面的距离为． 

【解析】过作于，于是得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
 

22.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：；

过点作，垂足为，
轴，垂足为，
，
，
，
，，
，
，
点的横坐标是，
在反比例函数的图象上，
，
，
，
．
把点代入反比例函数的解析式，即可求出的值；
通过平行线分线段成比例定理求得点的坐标，进而求得，根据三角形的面积公式即可求得结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
 

23.【答案】 

【解析】解：由题意可得，该游泳池清洗需要：小时，
故答案为：；
设排水过程中的与之间的函数关系式为：，
由题，得，解得，
排水过程中的与之间的函数关系式为：；
由题意可得，排水的速度为：，
灌水的速度为：，
灌水用的时间为：，
对外开放的时间为：：：，
游泳爱好者小致不能在中午：进入该游泳馆游泳．
根据函数图象中的数据可以解答本题；
根据题意核函数图象中的数据可以求得排水过程中的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
根据题意可以求得下午几点开放，然后与：比较大小即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图中，

，，
，，
，，，
，
．
故答案为：．
如图中，结论：．

理由：四边形是平行四边形，
，

由知，
，
，
，
．
结论：的长为．
理由：如图中，

由知，
由，易证，
由四边形是平行四边形得 ，，
，
，
，
，
又，
，
．
利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
如图中，结论：利用平行四边形的性质证明，推出即可解决问题．
想办法证明，推出，又，推出可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

25.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，，于点，
，，
于点，，
，
，
故答案为：
四边形是矩形，，
，，，
，
，，
，
当点落在上，则，
，
，，
，解得，
当点落在上时的值为．
，
当落在上时，，
，
，解得；
当点与点重合，则，解得；
当点与点重合，则，解得，
当时，如图，
，
；
当时，如图，交于点，交于点，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
；
当时，如图，，
，
，
综上所述，．
如图，连接，
，，，
，
为定值，
，当点与点重合时，，
当点到达终点时，，
点的运动路径长为．
由是等边三角形，，于点，得，，而，，则；
由矩形的性质得，，，则，，当点落在上，则，此时，而，则，所以；
当落在上时，则，得；当点与点重合，则，得；当点与点重合，则，得，再分三种情况讨论，一是当时，；二是当时，交于点，交于点，可证明是等边三角形，则，，，所以；三是当时，，则；
连接，可求得，则为定值，而，当点与点重合时，，则当点到达终点时，，可知点的运动路径长为．
此题重点考查等边三角形的性质、矩形的性质、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
 

26.【答案】解：由点的纵坐标知，正方形的边长为，
则，故点的坐标为，
则，
解得，
抛物线的表达式为；
存在最小值，理由如下：
点关于轴对称点为，且点的坐标为，
点坐标为．
连接，交轴于点，连接，则此时最小，
由点的坐标为，点坐标为
设直线的函数表达式为，
则，
解得：，
直线的表达式为，
令，得，
点坐标为．
在中，，，
，
则的最小值．
，
抛物线对称轴为直线，设点的坐标为，
在中，，，，
，
以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，
或，
当时，如图，设直线与轴交于点，则，
，，
，
，
解得：，；
当时，如图，设直线与交于点，则，
，，
在中，，
，
解得：，；
故点的坐标为或或或． 

【解析】运用待定系数法即可求得答案；
作点关于轴对称点为，连接交轴于点，则为最小值，利用待定系数法求得直线的表达式为，令，即可求得点的坐标；
以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，则或，分两种情况分别建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，利用轴对称求最短路径，菱形的性质，勾股定理等，难度适中，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．