易错点12 直线及直线与圆位置关系-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

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易错分析
一、使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错
1． 求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离．
【错解】直线方程y=3x+5可化为3x―y+5=0，
则直线3x―y+5=0与6x―2y+3=0间的距离．
【错因】6x―2y+10=0与6x―2y+3=0中x、y的系数不对应相等，不能直接用公式。在使用两条平行直线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，且x、y的系数对应相等，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形．
【正解】 经变形得两条平行直线的方程为6x―2y+10=0和6x―2y+3=0，
故它们之间的距离为 ．
二、有关截距相等问题忽略截距为零致错
2、直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为
【错解】因为直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为,
则,所以,故直线l的方程为,即.【答案】。
【错因】错误原因是忽略直线l过原点,截距为零的情况.
【正解】若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为；
若直线l不过原点,设直线l的方程为,则,所以,
故直线l的方程为,即.
综上，直线l的方程为或.
3．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________．
【错解】设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝－8，
即直线方程为x－y＋8＝0. 答案：x－y＋8＝0
【错因】未考虑直线过原点的情况。
【正解】①当直线过原点时，直线方程为y＝－eq \f(5,3)x，即5x＋3y＝0；
②当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y＝a，
代入点(－3,5)，得a＝－8， 即直线方程为x－y＋8＝0.
综上，直线方程为5x＋3y＝0或x－y＋8＝0.
三、已知两直线平行求参数的值未验证致错
4．已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________．
【错解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3. 答案：－1或3
【错因】未验证a的值会不会使两直线平行。
【正解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3.
当a＝－1时，两条直线的方程都为x－3y－1＝0，即两条直线重合，故舍去；
当a＝3时，两条直线的方程分别为3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，两条直线平行．
∴a的值为3.
四、未讨论参数的取值致错
5.已知直线：，：，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【错解】C，因为，则，即，解得，
所以“”是“或”的充要条件.
【错因】未考虑的情况，
【正解】A，（1）当时， 因为，则，即，解得，
（2）当时， 直线的方程分别为，显然，
由上可知，若，则或，
所以“”是“或”的充分不必要条件.
五、误用点线距离公式致错
6.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 ( )
A．B．C．D．
【错解】由点到直线的距离公式知
【错因】在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线Ax+By+C=0中，B的取值，B应取-1,而不是取1.
【正解】由点到直线的距离公式知
7. “ a=b” 是“直线与圆 ( )
A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分又不必要条件
【错解】当时圆心坐标为圆心到直线的距离为与半径相等，
故是直线和圆相切的充分条件，同理直线与圆相切时，
圆心到的距离为，
故是直线与圆相切的充分必要条件. 选A。
【错因】在运用点到直线的距离公式时,应先变为 再计算. 这里y的系数应为- 1而不是未变形前的1.
【正解】C， 当时，圆心到直线=0的距离为不一定刚好等于,
故不是充分条件, 当直线与圆相切时,到直线的距离应等于半径,
即, 解得或，故也不是必要条件,
综上可得，是直线与圆相切的既不充分也不必要条件.
六、忽视切线斜率不存在致错
8．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
【错解】选B，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则eq \f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝eq \f(4,3)，得切线方程为4x－3y＋4＝0.
【错因】没考虑斜率不存在的情况。
【正解】（1）当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；
当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
则eq \f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(4,3)，得切线方程为4x－3y＋4＝0.
综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
9．已知直线l过点(5,10)，且到原点的距离为5，则直线l的方程为____________．
【错解】设其斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0，
由点到直线的距离公式得eq \f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq \f(3,4).故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
答案：3x－4y＋25＝0
【错因】没考虑斜率不存在的情况。
【正解】 （1）当斜率不存在时，所求直线的方程为x－5＝0，满足题意；
（2）当斜率存在时，设其斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0，由点到直线的距离公式得eq \f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq \f(3,4).
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上，得切线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
10．若直线过点P(4,1)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是6，则该直线的方程为______________．
【错解】设直线的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y－4k＋1＝0，圆心到直线的距离d＝eq \f(|－4k＋1|,\r(k2＋1))，则2eq \r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|－4k＋1|,\r(k2＋1))))2)＝6，解得k＝－eq \f(15,8)，所以直线方程为15x＋8y－68＝0.
答案：15x＋8y－68＝0
【错因】没考虑斜率不存在的情况。
【正解】（1）当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x＝4，代入圆的方程解得y＝±3，
故该直线被圆截得的弦长为6，符合题意．
（2）当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y－4k＋1＝0，圆心到直线的距离d＝eq \f(|－4k＋1|,\r(k2＋1))，则2eq \r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|－4k＋1|,\r(k2＋1))))2)＝6，解得k＝－eq \f(15,8)，
所以直线方程为15x＋8y－68＝0.
综上所述，所求直线方程为x＝4或15x＋8y－68＝0.
答案：x＝4或15x＋8y－68＝0
七、混淆直线与圆有公共点与直线与圆相交致错
11.若曲线C：x2+(y+1)222=1与直线：x+y+a=0有公共点，则实数a的取值范围为__________．
【错解】因为曲线C与直线有公共点，故联立方程得，
消去x，化简得.2y2222+2(a+1)y+a222=0,则
则实数a的取值范围为。
【错因】忽略了直线与圆相切时的情况。
【正解】因为曲线C与直线有公共点，故联立方程得，
消去x，化简得.2y2222+2(a+1)y+a222=0,则，
则实数a的取值范围为。
八、忽略方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件致错
12、已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围．
【错解】将圆C的方程配方有(x＋eq \f(a,2))2＋(y＋1)2＝eq \f(4－3a2,4).
∴圆心C的坐标为(－eq \f(a,2),－1),半径r＝eq \f(\r(4－3a2),2).
当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线,
∴|AC|>r, 即>eq \f(\r(4－3a2),2),
化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－350.
【正解】将圆C的方程配方有(x＋eq \f(a,2))2＋(y＋1)2＝eq \f(4－3a2,4), ∴eq \f(4－3a2,4)>0,①
∴圆心C的坐标为(－eq \f(a,2),－1),半径r＝eq \f(\r(4－3a2),2).
当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,
∴|AC|>r,即 >eq \f(\r(4－3a2),2),化简得a2＋a＋9>0.②，
由①②得－eq \f(2\r(3),3)