易错点15 直线和圆（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题

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易错点15   直线和圆易错点1： 直线的方程若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验。注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。易错点2：圆的方程    (1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；   (2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单.  易错点3：直线与圆相离直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.易错点4：直线与圆相切直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得. 易错点5：直线与圆相交   直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理. 题组一：直线的方程 1.【2016·上海文科】已知平行直线，则的距离_______________．【答案】【解析】利用两平行线间距离公式得2.【2014四川】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是A．    B．   C．   D．【答案】B【解析】易知直线过定点，直线过定点，且两条直线相互垂直，故点在以为直径的圆上运动，故．故选B．【叮嘱】对于直线过定点，有以下常用结论：若直线：（其中为常数），则直线必过定点；若直线：（其中为常数），则直线必过定点；若直线：（其中为常数），则直线必过定点；若直线：（其中为常数），则直线必过定点；若直线：（其中为常数），则直线必过定点；若直线：（其中为常数），则直线必过定点。3.【2012浙江】设，则“”是“直线：与直线：平行”的A．充分不必要条件               B．必要不充分条件C．充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“直线：与直线：平行”的充要条件是，解得，或，所以是充分不必要条件。故选：.题组二：圆的方程4.【2020年北京卷】已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A.【解析】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.5．【2018·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】【解析】设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则，解得，则圆的方程为．6．【2015北京文】圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是A．             B．C．             D．【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为．  题组三：直线与圆相交7.【2021北京卷9】曲线，直线，变化时，直线截曲线的最小弦长为2，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C【解析】由圆的性质知，当时，圆心到直线的距离最大，弦长最小，故此时有，所以.8．【2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）】已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）A．1    B．2     C．3     D．4【答案】B【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.9.【2015全国1卷文】已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II），其中O为坐标原点，求.【答案】（I）（II）2【解析】(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.因为l与C交于两点，所以<1，解得<k<，所以k的取值范围为.（II）设.将代入方程,整理得,所以,由题设可得，解得，所以l的方程为.故圆心在直线l上，所以.题组四：直线与圆相切10．【2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，当直线时，， ，此时最小．∴即 ，由解得， ．所以以为直径的圆的方程为，即 ，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.11．【2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.12.【2020•全国2卷】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.题组五：直线与圆相离13.【2020年全国1卷】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.14．【2018年全国卷Ⅲ理数高考试题】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上,圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.15．【2016年全国普通高等学校招生统一考试】圆的圆心到直线的距离为1，则(    )A． B． C． D．2【答案】A【解析】由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.  1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（    ）A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0【答案】C【解析】AB的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为，圆x2＋y2－6x＝0的圆心为，则两圆圆心所在直线的方程为，即3x－y－9＝0.故选：C.2．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（    ）A．    B．    C．    D．【答案】D【解析】可化为，∴直线过定点，故选：D.3．圆的圆心到直线的距离为A．1          B．2           C．         D．2【答案】C【解析】圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C.4．已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是A．内切           B．相交          C．外切        D．相离【答案】B【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得，圆的圆心为，半径为，所以，，，因为，所以圆与圆相交，故选B．5．圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=A．−          B．−             C．            D．2【答案】A【解析】由题意知圆心为，由距离公式有，解得，故选A．6．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是A．             B．C．             D．【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为．7．直线与圆相切，则的值是A．－2或12     B．2或－12         C．－2或－12       D．2或12【答案】D【解析】圆的标准方程为，圆心到直线的距离，所以或．8．已知三点，，，则外接圆的圆心到原点的距离为A．       B．       C．        D．【答案】B【解析】由题意可得，，∴为等边三角形，故的外接圆圆心时的中心，又等边的高为，故中心为，故外接圆的圆心到原点的距离为．9．设点，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是A．     B．     C．      D．【答案】A【解析】当点的坐标为时，圆上存在点，使得，所以符合题意，排除B、D；当点的坐标为时，，过点作圆的一条切线，连接，则在中，，则，故此时在圆上不存在点，使得，即不符合题意，排除C，故选A．10．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是A．   B．   C．   D．【答案】D【解析】直线过点，斜率为，所以直线的方程为．