【寒假作业】高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题09+简单几何体的表面积与体积（七大考点）-练习

这是一份【寒假作业】高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题09+简单几何体的表面积与体积（七大考点）-练习，文件包含寒假作业高中数学高一寒假巩固提升训练专题09简单几何体的表面积与体积七大考点原卷版docx、寒假作业高中数学高一寒假巩固提升训练专题09简单几何体的表面积与体积七大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
思维导图
核心考点聚焦
考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积
考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积
考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积
考点五：球的表面积与体积（外接球）
考点六：球的表面积与体积（内切球）
考点七：球的表面积与体积（棱切球）
知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：
知识点诠释：
求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．
知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．
1、圆柱的表面积
（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．
（2）圆柱的表面积：．
2、圆锥的表面积
（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．
（2）圆锥的表面积：S圆锥表．
3、圆台的表面积
（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=．
（2）圆台的表面积：．
知识点诠释：
求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．
知识点三、柱体、锥体、台体的体积
1、柱体的体积公式
棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．
圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．
综上，柱体的体积公式为V=Sh．
2、锥体的体积公式
棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．
圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．
综上，锥体的体积公式为．
3、台体的体积公式
棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．
圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是
．
综上，台体的体积公式为．
知识点四、球的表面积和体积
1、球的表面积
（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．
（2）球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．
即球面面积等于它的大圆面积的四倍．
2、球的体积
设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．
球的体积公式为．
1、正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）．
2、球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝2a2，如图（2）．
3、长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝a2+b2+c22，如图（3）．
4、正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq \r(3)a．
5、正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝eq \f(\r(6),2)a．
6、有关球的截面问题
常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．
考点剖析
考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1．（2024·高一课时练习）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
例2．（2024·全国·高一课堂例题）如图，正四棱锥的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积．

例3．（2024·全国·高一随堂练习）正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥．
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积．
变式1．（2024·高一课时练习）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积
例4．（2024·高一课时练习）已知正六棱柱最长的对角线长为13cm，其一个侧面的面积为，求棱柱的体积.
例5．（2024·上海虹口·高二校考）已知长方体中，，求：

(1)长方体表面积；
(2)三棱锥的体积．
例6．（2024·福建厦门·高一福建省厦门第二中学校考阶段练习）如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．

(1)求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；
(2)求六棱锥的表面积和体积．
变式2．（2024·陕西榆林·高一校考）已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1．求
(1)该四棱台的侧棱长
(2)该四棱台的体积
变式3．（2024·江西·高二江西师大附中校考阶段练习）如图，在正四棱台中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2.
（1）求此正四棱台的侧面积；
（2）求此正四棱台的体积.
考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积
例7．（2024·西藏拉萨·统考一模）若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2024·福建漳州·高一校联考）已知圆台的上、下底面面积分别为和，高为，则圆台的侧面积为（ ）
A． B．C．D．
例9．（2024·广东佛山·高一罗定邦中学校联考阶段练习）如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.

(1)若圆柱的底面半径，求剩余部分体积；
(2)试求圆柱侧面积的最大值.
变式4．（2024·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.
(1)求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角；
(2)如图，若圆锥中内接一个高为的圆柱，求该圆柱的侧面积.
变式5．（2024·高一课时练习）如下图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm， 底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升）
考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积
例10．（2024·上海长宁·高二上海市复旦中学校考）如图，高与底面直径相等的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆锥与圆柱的体积之比为 ．
例11．（2024·广东广州·高一广州市第六十五中学校考阶段练习）圆台的上、下底面半径分别是，，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是 .
例12．（2024·高一课时练习）圆锥的高扩大到原来的倍,底面半径缩短到原来的，则圆锥变化后的体积与原体积的比值为 .
变式6．（2024·上海浦东新·高二校考期末）圆台的轴截面上、下底边长分别为和，母线长为，则圆台的体积是 .
考点五：球的表面积与体积（外接球）
例13．（2024·陕西榆林·高二统考期末）如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，则该长方体的外接球表面积是（ ）

A．B．C．D．
例14．（2024·江苏南京·统考二模）直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（ ）
A．B．1C．D．
例15．（2024·广东·统考一模）如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，是线段的三等分点，且．若该三棱柱的外接球的表面积为，则（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2024·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
变式8．（2024·安徽阜阳·高二校考阶段练习）某正方体的外接球体积，则此正方体的棱长为（ ）
A．6B．3C．D．
考点六：球的表面积与体积（内切球）
例16．（2024·湖南·高一校联考期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为 .
例17．（2024·高一单元测试）一个正四面体表面积为，其内切球表面积为S2.则= .
例18．（2024·四川南充·高二四川省阆中东风中学校校考阶段练习）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2024·广东肇庆·高一校考阶段练习）棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
变式10．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的体积为（ ）
A．4B．16C．8D．64
考点七：球的表面积与体积（棱切球）
例19．（2024·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是 ．
例20．（2024·山西朔州·高一校考阶段练习）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为 ．
例21．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在棱长为的正方体中，与其各棱都相切的球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
过关检测
一、单选题
1．（2024·四川南充·统考模拟预测）已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西咸阳·高三陕西咸阳中学校考阶段练习）如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高为的圆柱，上、下两端均是半径为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，斜高为1，则该正三棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·黑龙江·校联考模拟预测）若正四棱柱与以正方形的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知棱长为2的正方体的体积与球的体积相等，则球的半径为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·全国·模拟预测）某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
8．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为（ ）

A．B．C．D．以上都不对
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面圆的半径与球的半径相等，且圆锥，与球的表面积相等，则（ ）
A．圆锥的母线与底面所成角的余弦值为
B．圆锥的高与母线长之比为
C．圆锥的侧面积与底面积之比为3
D．球的体积与圆锥的体积之比为
10．（2024·广东惠州·高三统考阶段练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）

A．该圆台的高为1cmB．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的侧面积为D．该圆台的体积为
11．（2024·辽宁大连·高一辽师大附中校考阶段练习）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ）

A．圆柱的侧面积与球的表面积相等
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．圆柱的表面积为
D．圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和
12．（2024·湖南·高三雅礼中学校联考阶段练习）若某正方体的棱长为，则（ ）
A．该正方体的体积为5B．该正方体的内切球的体积为
C．该正方体的表面积为30D．该正方体的外接球的表面积为
三、填空题
13．（2024·江西·高一统考）已知正三棱锥的内切球半径为l，若底面边长为，则该棱锥体积为 .
14．（2024·广东·高三执信中学校联考）“升”是我国古代测量粮食的一种容器，在“升”装满后用手指成筷子沿升口刮平，这叫“平升”，如图所示的“升”，从内部测量，其上、下底面均为正方形，边长分别为和，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，那么这个“升”的“平升”可以装 mL的粮食．（结果保留整数）
15．（2024·河南郑州·高一郑州中学校考期末）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 ．
16．（2024·江西南昌·高三江西师大附中校考）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是 ．
四、解答题
17．（2024·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）正四棱锥的底面边长为4，高为1，求：
(1)求棱锥的体积和侧棱长；
(2)求棱锥的表面积．
18．（2024·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．

(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）
19．（2024·河北石家庄·高一校考）如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱、的中点．
(1)求四边形的周长；
(2)求多面体的体积．
20．（2024·内蒙古呼和浩特·高二呼市二中校考）如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4．圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积．
项目
名称
底面
侧面
棱柱
平面多边形
平行四边形
面积=底·高
棱锥
平面多边形
三角形
面积=·底·高
棱台
平面多边形
梯形
面积=·（上底+下底）·高