2024届高考数学一轮复习第6章第5节空间向量及其运算学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第6章第5节空间向量及其运算学案，共20页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第五节　空间向量及其运算
考试要求：1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式．
2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．

一、教材概念·结论·性质重现
1．空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
长度(模)为0的向量
0
单位向量
长度(模)为1的向量

相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b
相反向量
方向相反且模相等的向量
a的相反向量为－a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量

2．空间向量中的有关定理
定理及推论
语言描述
共线向量定理
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1


空间向量基本定理的3点注意
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
(2)由于零与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零不能作为基向量．
(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.
3．空间向量的数量积
(1)两向量的夹角
①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
②范围：0≤〈a，b〉≤π.
(2)两个非零向量a，b的数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
4．空间向量的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
名称
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
a
a12+a22+a32
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos 〈a，b〉＝
a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32

5．常用结论
(1)证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
①PA＝λPB(λ∈R)．
②对空间任一点O，OP＝OA＋tAB(t∈R)．
③对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)．
(2)证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面：
①MP＝xMA＋yMB.
②对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB.
③PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面． (　√　)
(2)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)． (　×　)
(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c. (　×　)
(4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反． (　×　)
(5)若a·b