高考数学科学创新复习方案提升版第43讲空间向量及其运算学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第43讲空间向量及其运算学案（Word版附解析），共20页。

1．空间向量及其有关定理
2.空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则a·b＝eq \x(\s\up1(07))|a||b|·cs〈a，b〉．
3．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
1．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
(1)eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))(t∈R)；
(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．
2．证明空间四点共面的方法
点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明eq \(PA,\s\up6(→))＝xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))，或对空间任一点O，有eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))或eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可．
1．(人教B选择性必修第一册1.1.3练习B T5改编)已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2，eq \f(1,2) B．－eq \f(1,3)，eq \f(1,2)
C．－3，2 D．2，2
答案 A
解析 ∵a∥b，∴b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＝k（λ＋1），,2μ－1＝0，,2λ＝2k，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2).))故选A.
2．(人教B选择性必修第一册1.1.3练习B T8改编)已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
A．－2 B．－eq \f(14,3)
C.eq \f(14,5) D．2
答案 D
解析 由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选D.
3．(人教A选择性必修第一册习题1.1 T2(2)改编)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝( )
A.eq \(D1B1,\s\up6(→)) B.eq \(D1B,\s\up6(→))
C.eq \(DB1,\s\up6(→)) D.eq \(BD1,\s\up6(→))
答案 D
解析 eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(→)).故选D.
4．(多选)(2023·宁德期末)已知a＝(1，0，1)，b＝(－1，2，－3)，c＝(2，－4，6)，则下列结论正确的是( )
A．a⊥b
B．b∥c
C．〈a，c〉为钝角
D．向量c在向量a上的投影向量为(4，0，4)
答案 BD
解析 因为1×(－1)＋0×2＋1×(－3)＝－4≠0，所以a，b不垂直，A错误；因为c＝－2b，所以b∥c，B正确；因为a·c＝1×2＋0×(－4)＋1×6＝8，所以cs〈a，c〉>0，所以〈a，c〉不是钝角，C错误；向量c在向量a上的投影向量为|c|cs〈a，c〉eq \f(a,|a|)＝eq \f(a·c,|a|2)a＝eq \f(8,2)(1，0，1)＝(4，0，4)，D正确．故选BD.
5．已知O是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且eq \(OA,\s\up6(→))＝2xeq \(BO,\s\up6(→))＋3yeq \(CO,\s\up6(→))＋4zeq \(DO,\s\up6(→))，则2x＋3y＋4z＝________．
答案 －1
解析 ∵eq \(OA,\s\up6(→))＝2xeq \(BO,\s\up6(→))＋3yeq \(CO,\s\up6(→))＋4zeq \(DO,\s\up6(→))，∴eq \(OA,\s\up6(→))＝－2xeq \(OB,\s\up6(→))－3yeq \(OC,\s\up6(→))－4zeq \(OD,\s\up6(→))，∵O是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴－2x－3y－4z＝1，∴2x＋3y＋4z＝－1.
6．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________．
答案 eq \f(65,7)
解析 由题意可知，存在实数x，y使得c＝xa＋yb，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7＝2x－y，,5＝－x＋4y，,λ＝3x－2y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(33,7)，,y＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7).))
例1 (1)已知向量a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)c－2a，则c＝( )
A．(0，3，－6) B．(0，6，－20)
C．(0，6，－6) D．(6，6，－6)
答案 B
解析 ∵向量a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)c－2a，∴c＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．故选B.
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
①化简eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝________；
②用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))表示eq \(OC1,\s\up6(→))，则eq \(OC1,\s\up6(→))＝________．
答案 ①eq \(A1A,\s\up6(→)) ②eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
解析 ①eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→)).
②因为eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，所以eq \(OC1,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)).
空间向量线性运算中的三个关键点
(2023·天津一中期末)如图，空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，且OM＝2MA，BN＝NC，则eq \(MN,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c
C．－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c D.eq \f(1,2)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)c
答案 C
解析 由题意知，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.故选C.
例2 如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．
(1)向量eq \(MN,\s\up6(→))是否与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
解 (1)因为eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(BC,\s\up6(→))＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(B1C1,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(B1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－k(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AA1,\s\up6(→))，
所以由共面向量定理知向量eq \(MN,\s\up6(→))与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内．
当0