高考数学一轮复习第6章第5节空间向量及其运算学案

这是一份高考数学一轮复习第6章第5节空间向量及其运算学案，共10页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第五节　空间向量及其运算考试要求：1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式．2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．一、教材概念·结论·性质重现1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量长度(模)为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量 相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量 2．空间向量中的有关定理 语言描述共线向量定理对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1 空间向量基本定理的3点注意(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．(2)由于零与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零不能作为基向量．(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．3．空间向量的数量积(1)两向量的夹角①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：0≤〈a，b〉≤π．(2)两个非零向量a，b的数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．4．空间向量的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝5．常用结论(1)证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：①＝λ(λ∈R)．②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)．③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．(2)证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面：①＝x＋y．②对空间任一点O，＝＋x＋y．③∥(或∥或∥)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)空间中任意两个非零向量a，b共面． (　√　)(2)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)． (　×　)(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c． (　×　)(4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反． (　×　)(5)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．  (　×　)2．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(　　)A．3   B．4  C．5   D．6C　解析：因为α⊥β，所以u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，解得t＝5．3．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋c  B．a＋b＋cC．－a－b＋c  D．a－b＋cA　解析：＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c．4．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．　解析：||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，所以||＝，所以EF的长为．考点1　空间向量的线性运算——基础性1．在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于(　　)A．a－b＋c  B．－a＋b＋cC．a＋b－c  D．a＋b－cB　解析：＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c．2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心．若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　)A．1,1   B．1，C．，   D．，1C　解析：＝＋＝＋＝＋(＋)，故x＝，y＝．3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：－－＝________；(2)用，，表示，则＝______．(1)　(2)＋＋　解析：(1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝．(2)因为＝＝(＋)，所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋．进行向量线性运算时，需注意以下几个问题：一是结合图象明确图中各线段的几何关系；二是要准确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义(易出现用错运算法则)；三是注意平面向量的三角形法则和平行四边形法则在空间仍然成立．考点2　 共线向量定理、共面向量定理及其应用——应用性(1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)A．2，   B．－，C．－3,2   D．2,2A　解析：因为a∥b，所以b＝ka(k∈R)，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，所以解得或(2)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于________．　解析：由题意，可设a＝xb＋yc，故(2，－1,3)＝x(－1,4，－2)＋y(7,5，λ)，即解得λ＝．(3)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．①判断，，三个向量是否共面，并说明理由；②判断点M是否在平面ABC内，并说明理由．解：①由已知得＋＋＝3，所以－＝(－)＋(－)，即＝＋＝－－，所以，，共面．②由①知，，共面且过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．证明点共线、点共面的方法(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明，共线，即证明＝λ (λ≠0)．(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D为BC边上的中点，求证：A1B∥平面AC1D．证明：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝a＋c，＝＋＝＋＝－a＋b，＝＋＝－＋＝b－a＋c，所以＝－2．因为A1B⊄平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D．考点3　空间向量的数量积及其应用——应用性考向1　空间数量积的运算已知点O为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动．当·取得最小值时，的坐标是________．　解析：因为点Q在直线OP上，所以设点Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－．当λ＝时，·取得最小值－．此时＝．空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．考向2　空间数量积的应用如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°．(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)求证：AA1⊥BD．(1)解：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1．因为＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，所以||＝|a＋b＋c|＝＝＝＝．所以线段AC1的长为．(2)解：设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝．因为＝a＋b＋c，＝b－c，所以·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，||＝＝＝＝，所以cos θ＝＝＝，故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为．(3)证明：因为＝c，＝b－a，所以·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，所以⊥，所以AA1⊥BD．空间向量数量积的两个应用求夹角设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)A．－1   B．0  C．1   D．不确定B　解析：如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0．