2024届高考数学一轮复习课时质量评价28含答案

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课时质量评价(二十八)
A组　全考点巩固练
1．C　解析：因为a·b＝－1，|a|＝2，|b|＝1，
所以cos 〈a，b〉＝a·bab＝－22，且〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝3π4.
2．D　解析：由已知可得：a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝1×1×12＝12.
A：因为(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝12＋2×1＝52≠0, 所以本选项不符合题意；
B：因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×12＋1＝2≠0，所以本选项不符合题意；
C：因为(a－2b)·b＝a·b－2b2＝12－2×1＝－32≠0，所以本选项不符合题意；
D：因为(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×12－1＝0，所以本选项符合题意．
3．C　解析：因为向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，所以|a－2b|＝a-2b2＝a2-4a·b+4b2＝1-4a·b+4×3＝3，
两边平方得，13－4a·b＝9，解得a·b＝1.
4．B　解析：因为向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13，所以a·b＝abcos 120°＝－32b.因为a+b2＝a2＋b2＋2a·b，所以13＝b2－3b＋9，所以|b|＝－1(舍去)或|b|＝4.故选B.
5．D　解析：由题意可知|b＋a|2＝b2＋2a·b＋a2＝3＋2a·b＝4，解得a·b＝12，∴cos 〈a，b〉＝a·bab＝122＝24.
6．AD　解析：对于选项A，a⊥b，则2x＋1×(x＋1)＝0，则x＝－13，即选项A正确；
对于选项B，a∥b，则2(x＋1)＝x，则x＝－2，即选项B错误；
对于选项C，x＝1，则|a－b|＝12+-12＝2，即选项C错误；
对于选项D，x＝1，则b＝(1，2)，则a·b＝2×1＋1×2＝4>0，又a与b不共线，即a与b的夹角为锐角，即选项D正确．
7．B　解析：由已知可得|a－b|2＝(sin θ－1)2＋(3－cos θ)2＝5－4sin θ+π3.因为|θ|≤π3，所以0≤θ＋π3≤2π3，所以当θ＝－π3时，|a－b|2的最大值为5－0＝5，故|a－b|的最大值为5.
8．0　3　解析：计算可得(a＋b)·c＝(4，0)·(0，1)＝0，a·b＝4－1＝3.
9．210　解析：因为a⊥b，a＝(m，2)，b＝(1，－3)，所以a·b＝m－6＝0，解得m＝6，所以|a|＝62+22＝210.
10．35　解析：由题意，得a－λb＝(1－3λ，3－4λ)．因为(a－λb)⊥b，所以3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝35.
11．解：由已知得，a·b＝4×8×-12＝－16.
(1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a＋b|＝43.
②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，所以|4a－2b|＝163.
(2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，
所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，所以k＝－7.
当k＝－7时，(a＋2b)⊥(ka－b)．
12．解：(1)由题设知AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，则AB+AC＝(2，6)，AB-AC＝(4，4)．
所以|AB+AC|＝210，|AB-AC|＝42，故所求的两条对角线的长分别为210，42.
(2)由题设知，OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋t)，
由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115.
B组　新高考培优练
13．AD　解析：根据向量的坐标运算易知A选项正确；因为|b|＝52，|a|＝5，所以B选项错误；因为a－b＝(－4，3)，3×3≠4×(－4)，所以C选项错误；因为cos 〈a，b〉＝a·bab＝255×52＝22，所以a与b的夹角为45°，D选项正确．
14．ABD　解析：对于A，∵a－b＝(e1＋2e2)－(2e1－e2)＝-e1＋3e2，∴a－b＝(－1，3)，A正确；
对于B，∵|a|＝e1+2e22＝1+4+2×1×2×-12＝3，∴B正确；
对于C，∵a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－e2)＝2e12+3e1·e2-2e22＝2＋3×-12－2＝－32≠0，∴C错误；对于D，设a在b上的投影向量为λb, 则a·b＝λb·b＝λb2，因为|b|＝2e1-e22＝4e12+e22-4cos2π3＝5+2＝7，
所以 －32＝λ×7, 则λ＝－314，
所以a在b上的投影向量的坐标为-37，314，所以D正确．
15．D　解析：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∠C＝90°，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：

则A(3，0)，B(0，4)，C(0，0)，
设P(x，y)，因为PC＝1，所以x2＋y2＝1，
又PA＝(3－x，－y)，PB＝(－x，4－y)，
所以PA·PB＝－x(3－x)－y(4－y)＝x2＋y2－3x－4y＝－3x－4y＋1，
设x＝cos θ，y＝sin θ，
所以PA·PB＝－(3cos θ＋4sin θ)＋1＝－5sin (θ＋φ)＋1，其中tan φ＝34，
当sin (θ＋φ)＝1时，PA·PB有最小值为－4，
当sin (θ＋φ)＝－1时，PA·PB有最大值为6，
所以PA·PB∈[－4，6].
16．π3，π　解析： f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b，设a和b的夹角为θ，因为f(x)有极值，所以Δ＝|a|2－4a·b>0，即Δ＝|a|2－4|a|·|b|·cos θ>0，即cos θ