高中数学选必一专项07 圆锥曲线大题练习卷

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07 圆锥曲线大题
一、巩固基础知识
1．如图所示，椭圆的左、右焦点分别为、，一条直线经过与椭圆交于、两点。
(1)求的周长；
(2)若直线的倾斜角为，求的面积。


【解析】由椭圆方程知：、、，
(1)的周长为；
(2)由知、，又，∴直线的方程为，
由联立消去并整理得：，恒成立，
设、，∴，，
∴，
∴。
2．已知点到点的距离比点到直线的距离小。
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若曲线上存在两点、关于直线：对称，求直线的方程。
【解析】(1)∵动点到点的距离比点到直线的距离小，
∴动点到点的距离与到直线的距离相等，
∴动点在以点为焦点，为准线的抛物线上运动，
∴抛物线的方程为；
(2)设、，则代入做差可得，
又∵直线的斜率为，∴，即，
∴中点的坐标为，∴直线的方程为：，即，
经检验，此时直线与抛物线有两个不同的交点，满足题意。
3．已知、分别是椭圆的左、右焦点，过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且(为坐标原点)为锐角，求直线的斜率的取值范围。
【解析】显然直线不满足题设条件，故设直线：，、，
联立得，
由，得或①，
∴，，
又，∴，
又，
∴，即，∴②，
综合①②，得直线的斜率的取值范围为。
4．如图所示，椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点、在轴上，离心率。
(1)求椭圆的方程；
(2)求的角平分线所在直线的方程。


【解析】(1)由题意可设椭圆方程为()，∵，即，
∴，又，∴椭圆方程为，
又∵椭圆过点，∴，解得，∴椭圆方程为；
(2)由(1)知、，
∴直线的方程，即，直线的方程为，
设为角平分线上任意一点，则点到两直线的距离相等，
即，∴或，
即或，
由图形知，角平分线的斜率为正数，
故所求的平分线所在直线方程为。
二、扩展思维视野
5．已知椭圆：()的左右焦点分别为、，椭圆过点，直线交轴于，且，为坐标原点。
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的上顶点，过点分别作出直线、交椭圆于、两点，设这两条直线的斜率分别为、，且，证明：直线过定点。
【解析】(1)，∴，∴，，，
∴、，即；
(2)由题意可知直线一定存在斜率，设方程为，
代入椭圆方程得，成立，
设、，则，，
又，，
∴，
解得，代入得：，∴直线必过。
6．已知抛物线：()，直线与交于、两点，且，其中为坐标原点。
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为、，证明：为定值。
【解析】(1)联立方程组，消元得：，恒成立，
设、，∴，，
又， ∴，从而；
(2)∵，，∴，，
∴
，
又，，则，
即为定值。
7．已知点直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且满足
。
(1)求动点的轨迹方程；
(2)、是轨迹上异于坐标原点的不同两点，轨迹在点、处的切线分别为、，且，、相交于点，求点的纵坐标。
【解析】(1)设，则，∵，
∴，即，即，
∴动点的轨迹的方程；
(2)设、，∵、分别是抛物线在点、处的切线，
∴直线得斜率、直线得斜率，
∵，∴，即，∵、是抛物线上的点，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
由解得，∴点的纵坐标为。
8．已知椭圆：()的离心率为，且椭圆过点。
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于、两点(点、均在第一象限)，且直线、、的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值。
【解析】(1)由题意可得，又，解得，故椭圆：；
(2)由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为()，
设、，联立，消去得：，
则，
且 ，
故，
又直线、、的斜率成等比数列，则，
整理得，又，得，
又结合图像可知，∴直线的斜率为定值。
三、提升综合素质
9．已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从、上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：










(1)求、的标准方程；
(2)若直线：()与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围。
【解析】(1)设抛物线：()，则有()，
据此验证个点知、在抛物线上，易求：，
设椭圆：()，把点、代入得：，
解得，，∴的方程为：；
(2)设、，将()代入椭圆方程，消去得：
，
∴，即①，
由根与系数关系得，则，
∴线段的中点的坐标为，
又线段的垂直平分线的方程为，
由点在直线上，得，
即，∴，
由①得，∴，即或，
∴实数的取值范围是。
10．已知椭圆：()的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点。 当的斜率为时，坐标原点到的距离为。
(1)求、的值；
(2)上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点的坐标与的方程；若不存在，说明理由。
【解析】(1)椭圆的右焦点为，直线的斜率为时，则其方程为，即，
原点到距离：，∴，
又，∴，∴；
(2)由(1)知椭圆的方程为，设弦的中点为，
由可知，点是线段的中点，点的坐标为，
∴，①
若直线的斜率不存在，则轴，这时点与重合，，
点不在椭圆上，故直线的斜率存在，
由得：，∴，②
由①和②解得：、，
∴当、时，，点坐标为，
直线的方程为，
当、时，，点坐标为，
直线的方程为。
11．已知直线：与椭圆：()相交于、两点。
(1)若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；
(2)若向量与向量相互垂直(其中为坐标原点)，当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值。
【解析】(1)由题意可知，，∴，，，
∴椭圆的方程为，
联立，消去得：，设、，
则，，
∴；
(2)设、，∵，∴，即，
由，消去得，
由，整理得，
∵，，
∴，
∴，
整理得：，
又∵，代入上式得，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴，∴，适合条件，
∴，故长轴长的最大值为。