2021年人教版数学九年级上册《切线的性质与判定》证明题专项练习（含答案）

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人教版数学九年级上册
《切线的性质与判定》证明题专项练习
1.如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是 弧DE的中点.
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若PA=6，求PB的长







2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若CF=2，CE=4，求⊙O的半径.






3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．





4.如图，Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，⊙O为△ADB的外接圆，DH⊥AB于点H，现将△AHD沿AD翻折得到△AED，AE交⊙O于点C，连接OC交AD于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，求线段OG的长．







5.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．






6.如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；
（2）若AC=4，CE=2，求⊙O半径的长．







7.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.
（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.








8.如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA.
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE.








9.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长.







10.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF=2，DF=4，求⊙O的直径的长.







11.如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．
(1)求的度数．
(2)如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF=AB，求∠OCE的度数．







12.如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F，已知BC=8，DE=2.
(1)求⊙O的半径；(2)求CF的长.







13.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．
（1）求证：∠A=∠BDC；
（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．






14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，
∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF=FD；
（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．




















15.已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．










16.如图,已知直线PA交⊙0于A、B两点,AE是⊙0的直径.点C为⊙0上一点,且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA,垂足为D.
(1)求证：CD为⊙0的切线；
(2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB的长度.
















17.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；
（3）已知：CD=1，EH=3，求AF的长.










18.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线
BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
（3）求证：CD=HF.

参考答案
1.（1）证明： 连接DE，OA.

∵PD是直径， ∴∠DEP=90°，
∵PB⊥FB， ∴∠DEP=∠FBP， ∴DE∥BF，
∵ ， ∴OA⊥DE， ∴OA⊥BF，
∴直线l是⊙O的切线.
（2）作OH⊥PA于H.
∵OA=OP，OH⊥PA， ∴AH=PH=3，
∵OA∥PB， ∴∠OAH=∠APB，
∵∠AHO=∠ABP=90°， ∴△AOH∽△PAB，

2.（1）证明：连接OE.

∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠C，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r.
过点O作OH⊥BF交BF于H，
由题意可知四边形OECH为矩形，
∴OH=CE=4，CH=OE=r，
∴BH=FH=CH－CF=r－2，
在Rt△BHO中，∵OH2+BH2=OB2，
∴42+（r－2）2=r2， 解得r=5.
∴⊙O的半径为5.
3.解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB=DH，
∴AC与⊙D相切
4.解：（1）连接OD，

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
由翻折得：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，
∴∠ODA=∠EAD，
∴OD∥AE，
∴∠E+∠ODE=180°，
∴∠ODE=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵将△AHD沿AD翻折得到△AED，
∴∠OAD=∠EAD=30°，
∴∠OAC=60°，
∵OA=OD，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOG=60°，
∵∠OAD=30°，
∴∠AGO=90°，
∴OG=2.5．
5.（1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE=DE，OE⊥BD，=，
∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠BOE=∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC=90°，
∴∠OBC=90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，
∴OC==10，
∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，
∴BE===4.8，
∴BD=2BE=9.6，
即弦BD的长为9.6．

6.解：（1）连接OA，

∵∠ADE=25°，
∴由圆周角定理得：∠AOC=2∠ADE=50°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC=90°，
∴∠C=180°﹣∠AOC﹣∠OAC=180°﹣50°﹣90°=40°；
（2）设OA=OE=r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2=OC2，
即r2+42=（r+2）2，
解得：r=3，
答：⊙O半径的长是3．
7.（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°；
又∵∠P=35°，
∴∠AB=90°﹣35°=55°.
（2）证明：如图，连接OC，OD、AC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ACP=90°；
又∵D为AP的中点，
∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；
又∵AP是⊙O的切线，A是切点，
∴AB⊥AP，
∴∠OAD=90°，
∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线.
8.（1）证明：如图1，连结OC，
∵点O为直角三角形斜边AB的中点，
∴OC=OA=OB.
∴点C在⊙O上，
∵BD=OB，
∴AB=DO，
∵CD=CA，
∴∠A=∠D，
∴△ACB≌△DCO，
∴∠DCO=∠ACB=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，
∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴BE=BCcos60°=8×=4.

9.解：(1)证明：如图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，

∴∠ACB=90°，即∠ACO＋∠OCB=90°.
∵OA=OC，∠BCD=∠A，
∴∠ACO=∠A=∠BCD，
∴∠BCD＋∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD.
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
(2)由(1)及已知得∠OCD=90°，OB=OC=3，CD=4，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD=5，
∴BD=OD－OB=5－3=2.
10.解：(1)证明：如图，连接OD，CD.

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=90°.
又∵E为BC的中点，
∴DE=BC=CE，
∴∠EDC=∠ECD.
∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC＋∠ODC=∠ECD＋∠OCD=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE.
又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线.
(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，根据勾股定理，得OD2＋DF2=OF2，
即x2＋42=(x＋2)2，解得x=3.
∴⊙O的直径的长为6.
11.解：(1)连接OB，
∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，
∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，∴OB⊥OA，
∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，
∴的度数为45°；
(2)连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH=t，
∵OH⊥EC，∴EF=2HE=2t，
∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=CO=EF=2t，
∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA=t，
则HO===t，
∵OC=2OH，
∴∠OCE=30°．

12.解：(1)设⊙O的半径为x，
∵E点是的中点，O点是圆心，
∴OD⊥BC，DC==4，
在Rt△ODC中，OD=x﹣2，
∴OD2+DC2=OC2
∴(x﹣2)2+42=x2
∴x=5，即⊙O的半径为5；
(2)∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥CF
又∵E是的中点.
∴OD⊥BC，
∴OC2=OD•OF，即52=3•OF,
∴
在Rt△OCF中，OC2+CF2=OF2
∴

13.解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，
又∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠CDB+∠ODB=90°，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠A=∠BDC；
（2）∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM=∠ACM，
又∵∠A=∠BDC，
∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，
∵∠ADB=90°，DM=1，
∴DN=DM=1，
∴MN=．
14.解：

15.解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，
∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，
∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；
（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣108°=72°，∴∠BAF=90°﹣∠B=90°﹣72°=18°．

16. (1)证明：连接OC,
∵点C在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，
有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO。
∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。
又∵点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，∴CD为⊙0的切线．
(2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形OCDF为矩形，∴0C=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得.
即，化简得：
解得x=2或x=9。由AD 从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6.
17.解：


18.（1）证明：（1）如图，连接OE.
∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，
∴BF是圆O的直径，
∴OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，
∴BEC=∠BEH，
∵BF是⊙O是直径，
∴∠BEF=90°，
∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，
∴∠FEH=∠FEA，
∴FE平分∠AEH.
（3）证明：如图，连结DE.
∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC=EH.
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠HFE，
∵∠C=∠EHF=90°，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD=HF，