第08讲 认识一元二次方程(八大题型)-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

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第08讲 认识一元二次方程

1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；
2．会把一元二次方程化为一般形式．

一、一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
二、一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
　　 (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
三、一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.


考点1：一元二次方程的概念
例1．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．下列叙述正确的是（       ）
A．形如的方程叫一元二次方程 B．方程不含有常数项
C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0
D．是关于y的一元二次方程
例3．下列方程中，是一元二次方程的有（       ）个
①；②；③；④；⑤．
A． B． C． D．
例4．下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
例5．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（       ）
A． B． C． D．
例6．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．2，5，4 B．2，﹣5，4 C．﹣2，﹣5，4 D．2，﹣5，﹣4
例7．把化成一般形式为__________，二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________．
例8．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（       ）
A． B． C． D．
考点3：根据一元二次方程的概念确定参数
例9．已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝________．
例10．当___________时，方程是一元二次方程．
例11．关于x的方程是一元二次方程，则________．
例12．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
例13．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（       ）
A．3 B． C． D．0或
例14．要使方程是关于x的一元二次方程，则（       ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
例15．关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足______时，方程为一元二次方程，当m满足______时，方程为一元一次方程．
例16．关于x的一元二次方程，常数项为0，求m的值．下面是小莉和小轩的解题过程：小莉：由题意，得，所以．
小轩：由题意，得，且，所以．其中解题过程正确的是（       ）
A．两人都正确 B．小轩正确，小莉不正确
C．小莉正确，小轩不正确 D．两人都不正确
考点4：一元二次方程的解
例17．若关于的一元二次方程有一个解为，则的值是（       ）
A．1 B．3 C．－3 D．4
例18．若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（       ）
A．1 B． C．1或 D．
例19．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为（　　）
A．2﹣ B．2+ C．1 D．﹣1
考点5：根据一元二次方程的解整体代换及相关变形
例20．若m是方程的一个根，则的值为_____．
例21．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（       ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
例22．已知a是方程的一个根，则的值为（       ）．
A． B．2022 C．2021 D．无法计算
例23．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为______．
考点6：试根法和利用整体未知数求解方程的解法
例24．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（        ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定
例25．关于的方程必有一个根为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
例26．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（       ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
例27．如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有(    )
A．2个 B．3个 C．6个 D．8个
例28．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ）
A．2020 B． C．-2020 D．
考点7：复杂的一元二次方程的解的求值及其他问题
例29．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___．
例30．若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（）
A． B． C． D．
例31．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
考点8：一元二次方程的解的估算
例32．根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值．
x
1.63
1.64
1.65
1.66
…
x2+2x
5.9169
5.9696
6.0225
6.0756
…
根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是______（精确到0．01）

一、单选题
1．（2022·青海·统考中考真题）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（　　）
A．4 B． C．3 D．
2．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（    ）
A．0 B．1 C．−3 D．−1
3．（2022·四川遂宁·统考中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ）
A． B．0 C．2022 D．4044

二、填空题
4．（2019·四川资阳·统考中考真题）a是方程的一个根，则代数式的值是_______．
5．（2018·湖北荆门·统考中考真题）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____．


一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（  ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（        ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．下列方程中是一元二次方程的是（    ）
①；②；③； ④； ⑤；⑥．
A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③
4．一元二次方程成立的条件是（   ）
A． B． C．为任意实数 D．无法确定
5．已知方程的一个根是，则的值是（   ）
A． B． C． D．
6．已知是方程的一个根，则式子的值等于（      ）
A． B． C． D．
7．若是一元二次方程，则m的值为（      ）
A．2 B． C． D．
8．已知关于方程的两个实数根是，，则方程的两个实数根是（    ）
A．， B．，
C．， D．；
9．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（　　）
A． B．1 C．1或 D．或0
10．根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　）
x


1
4

0.06
0.02



A． B．
C． D．

二、填空题
11．若方程的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数项是_______．
12．方程是一元二次方程，则的值是________．
13．一元二次方程的一般形式是 _____________．
14．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为______．
15．若关于的一元二次方程（）的一个解是，则______．
16．若关于x的方程的一个根是3，则b的值为______．
17．若是一元二次方程的一个根，则的值是________________．
18．若m是关于x的方程的根，则的值为______．

三、解答题
19．判断下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．
20．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)
21．填表：
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项





















22．已知一元二次方程 ，
(1)如果方程有一个根是，那么，，之间有什么关系？
(2)如果方程有一个根是，那么，，之间有什么关系？
(3)如果方程有一个根是，那么未知项的系数或常数项有什么特征？
23．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根．
(1)（，，）．
(2)．
(3)．
(4)．
24．当k取何值时，关于x的方程（k﹣5）x2＋（k＋2）x＋5＝0
(1)是一元一次方程？
(2)是一元二次方程？
25．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；
(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
26．定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋3b；当a＜b时，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42
(1)x2*（x2﹣2）＝30，则x＝ ；
(2)小明在计算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的．