第03讲 矩形的性质-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

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第03讲 矩形的性质

1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性质定理.

一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点：
（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

考点一：矩形性质的判定
一、单选题
例1．关于矩形的性质、下面说法错误的是（    ）
A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的两组对边分别相等
C．矩形的两组对边分别平行 D．矩形的对角线互相垂直平分且相等
例2．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（    ）
A．对边平行且相等 B．对角线相等
C．对角相等 D．对角线互相平分
例3．已知矩形的两条对角线、相交于点O，则下列结论不一定正确的是（    ）
A． B． C． D．
考点二：利用矩形的性质求线段长
例4．矩形中，，，则的长为（    ）
A．5 B．4 C．3 D．2
例5．如图，矩形ABCD的对角线，则BD的长为（    ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
例6．矩形的一条边长是a，两条对角线的夹角为，则矩形的另外一条边长等于（    ）
A． B． C． D．
例7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　）

A．3 B． C．3 D．
例8．如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作的垂线分别交于E，F两点，若，则的长度为（    ）

A．1 B．2 C． D．
例9．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，，且，则的长度是（　　）

A． B．2 C．8 D．
例10．如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为（　　）

A．22 B．24 C．25 D．26
例11．如图，矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿运动到点停止．过点作交射线于点，联结．设是线段的中点，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值是（　　）

A． B． C． D．
考点三：利用矩形的性质求角度
例12．如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（    ）

A． B． C． D．
例13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ）

A．40° B．35° C．30° D．25°
例14．将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（    ）

A． B． C． D．
例15．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于(    )

A．110° B．115° C．120° D．125°
例16．若矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）
A． B． C． D．
例17．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（    ）

A．36° B．30° C．27° D．18°
例18．如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
例19．如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则的度数为（　　）

A． B． C． D．不能确定
例20．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
例21．如图，矩形的对角线相较于点O，的平分线交于点E，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
例22．如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
考点四：利用矩形的性质求面积
例23．矩形的对角线长为10，两邻边之比为，则矩形的面积为（    ）
A．48 B．24 C．50 D．以上答案都不对
例24．矩形的边长是4cm，一条对角线的长是cm，则矩形的面积是（    ）
A． B． C． D．
例25．如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为（   ）

A． B． C． D．
例26．如图，四边形和四边形是两个矩形，点在边上，若，，则矩形的面积为（    ）

A．2 B． C． D．
例27．如图，矩形ABCD中，点在AD上，且EB平分，若AB＝3，AE＝1，则的面积为______．

例28．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE＋PF＝________．

例29．如图，矩形的对角线与交于点，过点作，交于点，过点作，垂足为，，，，则矩形的面积为______．

考点五：矩形的性质与平面坐标系
例30．如图，在长方形中，，，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．
例31．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____．

例32．在平面直角坐标系中，一个长方形三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为__________．
例33．如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为______．

考点六：根据矩形的性质证明
例34．如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，，求证：．

例35．如图，已知矩形中，点，分别是，上的点，，且．

（1）求证：；
（2）若，求：的值．

一、填空题
1．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则__________．

2．（2021·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．若，，则的长为_____．


二、解答题
3．（2021·贵州安顺·统考中考真题）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为．

（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
4．（2022·西藏·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．

(1)若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；
(2)若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图:

(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．
①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
②求四边形AGCH的面积．
(2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四边形AGCH的面积
一、单选题
1．下列性质中，矩形一定具有的是（    ）
A．四边相等 B．对角线垂直 C．邻边相等 D．对角线相等
2．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，则的长为（   ）

A．4 B．8 C． D．
3．如果矩形的一边与对角线的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角的度数为（     ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
4．矩形的对角线交于点O，且，的周长为23，则矩形的两条对角线的和是 （      ）
A．18 B．28 C．36 D．46
5．如图，在矩形中，，，点E在边上，若平分，则的长为(   )

A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（    ）

A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，E是的中点，于点F，则的长是（　　）

A．1 B． C． D．2
8．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（    ）
  
A．3 B． C． D．
9．如图，在矩形中，点从点出发沿向点运动，点、分别是、的中点，则的长随着点的运动（        ）
  
A．不变 B．变长 C．变短 D．先变短再变长
10．在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，．连接，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④，其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
11．矩形的对角线长13，一边长为5，则它的面积为_____．
12．矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，则______．

13．如图，矩形的对角线相交于点O，若，，则的长是______．

14．如图，过矩形的对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积与矩形的面积的大小关系是_____；（填“＞”或“＜”或“=”）

15．如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 ___________．
  
16．在矩形中，，，若点E是边的中点，连接，过点B作于点F，则长为________．

17．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为________．

18．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧．

（1）当点运动到点时，的长为______；
（2）点在线段上从点至点运动过程中，的最小值为______．

三、解答题
19．已知：如图，过矩形的顶点作，交的延长线于点E．求证：．

20．已知：如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．

求证：AE＝BE．
21．已知：如图，四边形是矩形，，对角线与相交于点O．

求证：
（1）；
（2）．
22．已知：如图，矩形的对角线相交于点O，．

(1)判断的形状．
(2)求矩形对角线的长．
23．如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接BD、EF．

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若EF⊥BD，求AE的长度．
24．如图所示，在矩形中，平分.
（1）求的度数；
（2）求证：.

25．在矩形中,点在上,,⊥，垂足为.
（1）求证.
（2）若,且,求.

26．在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M．

(1)求证：；
(2)当点E是边的中点时，求的长；
(3)当时，求的长．
27．如图，矩形的对角线交于点O，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，将四边形沿方向向右平移（），设所得四边形与重叠部分的周长为T．
①当时，求T的值；
②若，求a的取值范围．