第06讲 特殊平行四边形（压轴题型归纳）-2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

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第06讲 特殊平行四边形（压轴题型归纳）
目录：一、存在性问题；二、动态几何；三、情景探究题；四、解答证明题；五、特殊平行四边形综合
一、存在性问题
一、解答题
1．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，．

(1)求直线的解析式；
(2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标；
(3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．
2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）．

(1)求直线的解析式；
(2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标；
(3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且．

(1)求点A的坐标；
(2)求过点P的反比例函数解析式；
(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．


(1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)；
(2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度．
(3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，．

(1)求点B的坐标．
(2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
6．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点关于y轴对称，点和点关于直线l对称，则称点是点P关于y轴，直线l的“二次对称点”．

(1)已知点，直线l是经过且平行于x轴的一条直线，则点A的“二次对称点”的坐标为__________；
(2)如图1，正方形ABCD的顶点坐标分别是，，，，点E的坐标为，点K是x轴上的一个动点，直线l经过点K且垂直于x轴，若正方形ABCD上存在点M，使得点是点M关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在射线OE上，则点K的横坐标x的取值范围是________________；
(3)如图2，是x轴上的动点，线段RS经过点T，且点R、点S的坐标分别是，，直线l经过且与x轴正半轴夹角为60°，在点T的运动过程中，若线段RS上存在点N，使得点是点N关于y轴，直线l的“二次对称点”，且点在y轴上，则点纵坐标y的取值范围是______________．
二、动态几何
一、解答题
1．已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．

(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
2．如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点C顺时针旋转至，旋转角为．

(1)当点恰好落在边上时，点到边的距离为____________，旋转角____________；
(2)如图2，G为的中点，且，求证：；
(3)小长方形绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．
3．如图，四边形为菱形，，，点E为边上动点（不含端点）点B关于直线的对称点为点F，点H为中点．

（1）若，求的长；
（2）作，垂足为G，当时，求的度数；
（3）在（2）的条件下，设射线交于M，求的长．
4．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．
（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1)．
①当点P与点A重合时，∠DEF=　　　　°，当点E与点A重合时，∠DEF=　　　　°．
②当点E在AB上时，点F在DC上时(如图2)，若AP=，求四边形EPFD的周长．
（2）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图3)，当AM=DE时，请求出线段AE的长度．

（3）若点P落在矩形的内部(如图4)，且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．
5．如图．四边形ABCD、BEFG均为正方形．
（1）如图1，连接AG、CE，请直接写出AG和CE的数量和位置关系（不必证明）．
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（），如图2，直线AG、CE相交于点M．
①AG和CE是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：
②连结MB，求证：MB平分．
（3）在（2）的条件下，过点A作交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系．


6．在正方形中，，点为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，．

(1)①如图1，判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若垂足为的中点，连接，交于点，连接，则______．
(3)若垂足在对角线上，正方形的边长为．
①如图3，若，，则______；
②如图4，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，则的最小值为______．
三、情景探究题
一、解答题
1．问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．
小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造△EFM和△HAM全等，进而可得△DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）猜想图1中DM、EM的数量关系 ，位置关系 ．
（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；
（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论 （“成立”或“不成立”）
拓展应用：
将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．

2．操作与证明：

如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；
结论：DM、MN的关系是：　 　；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
3．如图1，，、、为铅直方向的边，、、为水平方向的边，点在、之间，且在、之间，我们称这样的图形为“图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“图形”的等积线．

(1)下列四副图中，直线是该“图形”等积线的是_________(填写序号)

(2)如图2，直线是该“图形”的等积线，与边、分别交于点、，过中点的直线分别交边、于点、，则直线 (填“是”或“不是”)该图形的等积线．
(3)在图3所示的“图形”中，，，．
①若，在下图中画出与平行的等积线l(在图中标明数据)
②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边、分别交于、，求的最大值；
③如果存在与水平方向的两条边、相交的等积线，则的取值范围为 ．
4．定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．
如图①，在四边形中，若，则四边形是“准矩形”；
如图②，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”．

(1)如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”和“准菱形”．（要求：D、在格点上）；
(2)下列说法正确的有 　 　；（填写所有正确结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
(3)如图⑤，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D；
①若，求证：“准菱形”是菱形；
②在①的条件下，连接，若，，，请直接写出菱形的边长．
5．【问题情境】
(1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为______，位置关系为______．
【继续探究】
(2)若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图所示，

①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．
【拓展提升】
(3)在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为______．
6．【问题情境】（1）小明在学习过程中遇到这样的一道试题：
如图，正方形的边长为2，为边上一动点． ，垂足为，求证：．
请你帮助小明完成证明；

【问题探究】（2）小明在“问题情境”的基础上继续探究． 如图2，点在的延长线上，且满足． 连接，，．
①求证：；
②判断、的数量关系，并说明理由；
五、特殊平行四边形综合
一、解答题
1．如图，点O为矩形的对称中心，．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为，点F的运动速度为，点G的运动速度为．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动，在运动过程中，关于直线的对称图形是设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）

(1)当__________s时，四边形为正方形；
(2)当x为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形可能全等？
(3)是否存在实数t，使得点与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2．问题提出：

(1)如图①，在中，平分交边于点D，点E为边上的一个动点，连接，则线段长的最小值为　 　．
问题探究：
(2)如图②，在中，，点D为边的中点，且的两边分别交于点E、F．求四边形的面积．
问题解决：
(3)某观光景区准备在景区内设计修建一个大型儿童游乐园．如图③，四边形为儿童游乐园的大致示意图，并将儿童游乐园分成和四边形四部分，其中在和两区域修建益智区，在区域修建角色游戏区，在四边形区域修建木工区．根据设计要求：四边形是平行四边形，，点E、点F、点M分别在边、边和对角线上，且，四边形的面积为平方米，现需在四边形的四周修建护栏起到保护乐园的作用，为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由．
3．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：
（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值．



【问题探究】（3）在（2）的基础上，如图3，若为的中点，直接写出的最小值为_________．

四、解答证明题
一、解答题
1．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点、．

(1)求证：；
(2)判断与的关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
2．已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．

(1)求证：．
(2)如图2，在延长线上，且，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，，点是的中点，求的长．
3．如图，在矩形中，平分交于E，连接，．

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若点F是边上的一点，若，连结交于G，
①猜想的度数，并说明理由；
②若，求的值．
4．已知点是正方形对角线上一点，与交于点，，垂足为，直线与交于点．

(1)如图1，当在线段上时，求证；
(2)如图2，当在线段上时，的延长线交于点，若，求证：①四边形为菱形；②；
(3)如图3，若，在点从到的运动过程中，的最小值为______．
5．如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM、AN分别交BD于点P、Q，连接CQ、MQ．且．
（1）求证：
（2）求证：
（3）如图2，连接MN，当，，求的面积

图1                           图2
6．如图正方形，点、、分别在、、上，与相交于点．

(1)如图，当，
求证：；
平移图中线段础，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图，求证：；
(2)如图，当，边长，，则的长为______（直接写出结果）．