2023八年级数学下册第1章直角三角形角平分线的判定同步练习新版湘教版
展开1.4.2角平分线的判定同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1. 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（ ）
A．6 B． 5 C． 4 D． 3
2.如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（ ）
A．DE=DF B．AE=AF
C．△ADE≌△ADF D．AD=DE+DF
3. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B． 7 C． 5 D． 4
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（ ）
A．
B． 2 C． 3 D． +2
5. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB边的距离为( )
A．18 B．16 C．14 D． 12
6. 如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B． 二处 C． 三处 D． 四处
7. 在△ABC中，∠B=∠ACB，CD是∠ACB的角平分线，已知∠ADC=105°，则∠A的度数为( )
A．40° B．36° C．70° D．60°
8. 如图， ∠AOB和一条定长线段A，在∠AOB内找一点P，使P 到OA、OB的距离都等于A，做法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=A，H为垂足．（2）过N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P．（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（ ）
A．平行线之间的距离处处相等
B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
D．到线段的两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上
二、填空题(本大题共6小题)
9. 已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC= 。
10. 如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为 .
11. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，
∠EBC= °
12. 如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是 。
13. 如图，点M在∠ABC内，ME⊥AB于E点，MF⊥BC于F点，且ME=MF，∠ABC=70°，则∠BME= °．
三、计算题(本大题共4小题)
14. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AD⊥EF．
15. 如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：
（1）PE=PF；
（2）点P在∠BAC的角平分线上．
16. 如图，已知AD∥BC， ∠DAB和∠ABC的平分线交于E， 过E的直线交AD于D， 交BC于C， 求证: DE=EC．
17. 如图16所示，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C＝90°，求证：AB＝AC＋CD．
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1. A
分析：过点p作PE⊥OB于点E。根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可解答得到。
解：解：过点P作PE⊥OB于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，
∴PE=PD，
∵PD=6，
∴PE=6，
即点P到OB的距离是6．
故选：A．
2.D
分析：题目的已知条件比较充分，满足了角平分线的性质要求的条件，可直接应用性质得到结论，与各选项进行比对，得出答案．
解：∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PE=PF，又有AD=AD
∴△APE≌△APF（HL）
∴AE=AF故选D．
3. C
分析：角平分线的性质.
解：作
于F，
平分
故选C.
4. C
分析：运用在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半来求解。
解： ∠B=30° BD=2DE=2 ∠CAD=30° CD=BD/2=1 BC=CD+BD=1+2=3.故选C
5. C
分析：做DE垂直于AB,求证ΔACD全等ΔAED(AAS),CD等于DE,用比例设X,求出CD,BD长,DE就是距离。
解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC交BC于D，而∠C=90°，
∴CD=DE，
∵BC=64，且BD：CD=9：7，
∴CD=64×
=28，∴DE=28，
则点D到AB边的距离为28．故选C．
6. D
分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
解：如图所示，加油站站的地址有四处．
故选D．
7. 在△ABA
分析：可根据角平分线的性质及其三角形外角的性质列方程解答。
解：因为∠B=∠ACB，故可设∠B=∠ACB=x，则根据题意列方程得到：
x=105°, ∠B=∠ACB=70°, ∠A的度数40°,故选A。
8. B
分析：题目要求满足两个条件，其一是到角OA，OB的距离相等，作角平分线，根据到角的两边距离相等的点在角平分线上，可得答案．
解：根据角平分线的性质，（3）的依据是到角的两边的距离相等的点在角平分线上，
故选B．
二、填空题(本大题共6小题)
9. 分析：本题考查的是角平分线的性质,利用角平分线分角成一半和三角形内角和定理或连接AO并延长，利用三角形的外角性质
解：因为∠A=80°，∠B的平分线与∠C的平分线交点O，
则∠B+∠C=180°-80=100°，∠BOC=180°-（∠B+∠C）÷2=180°-50°=130°．
10. 分析：过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PF=PG=PH，从而得解
解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，
∴PF=PG=4，PG=PH，
∴PF=PG=PH=4．故答案为：4．
11. 解：∵∠C=90°，∠A=36°，
∴∠ABC=54°，
又∵∠C=90°，DE⊥AB于D，且EC=ED，
∴BE平分∠ABC，
∴∠EBC=27°．
故答案为：27．
12. 分析：根据角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等即可得到结果
解：根据角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等即可得到结果，
BD是∠ABC的内角平分线，DE⊥BC、DG⊥AB，
CD是∠ACB的外角平分线，DE⊥BC、DF⊥AC，
13. 分析：根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出BM平分∠ABC，然后求出∠ABM，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
解：解：∵ME⊥AB，MF⊥BC，ME=MF，
∴BM平分∠ABC，
∴∠ABM= 
∠ABC= ×70°=35°，
∴∠BME=90°-∠ABM=90°-35°=55°．
故答案为：55°．
三、计算题(本大题共4小题)
14. 分析：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD．
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF．
15. 证明：（1）如图，连接AP并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP=∠AFP=90°
又AE=AF，AP=AP，
∵在Rt△AFP和Rt△AEP中
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上．
16.证：在AB上截取AF=AD。∵AE是∠DAF的平分线(已知)
∴∠DAE=∠FAE(角平分线定义)
在△DAE和△FAE中，
∴△DAE≌△FAE(SAS)
∴DE=FE(全等三角形对应边相等)∴∠D=∠AFE(全等三角形对应角相等)
∵∠AFE+∠BFE=1800(邻补角定义)
又AD∥BC(已知)
∴∠D+∠C=1800(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠BFE=∠C(等角的补角相等)
∵BE是∠ABC的平分线(已知)∴∠FBE=∠CBE(角平分线定义)
在△FBE和△CBE中
∴△FBE≌△CBE(AAS)
∴FE=CE(全等三角形对应边相等) ∴DE=EC．
17. 证明：证一（截长法）：如图1所示，过点D作BD⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠CAD＝∠EAD，又∠DEA＝∠DCA且AD公共，∴△ADE≌△ACD（AAS），∴ AE＝AC，CD＝DE
在△DEB中，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，
∴△EBD是等腰直角三角形．∴DE＝EB，∴CD＝EB．
∴AC＋CD＝AE＋EB，即AC＋CD＝AB．
证法二（补短法）：
如图2所示，在AC的延长线上截取CM＝CD，连结DM．
在△MCD中，∠MCD＝90°，CD＝CM
∴△MCD是等腰直角三角形．∴∠M＝45°
又∵在等腰直角三角形中，∠B＝45°
∴∠M＝∠B＝45° 又∵AD平分∠CAD
∴在△MAD与△BAD中
∴△MAD≌△BAD（AAS）∴MA＝AB，即AC＋CD＝AB．
