湖南省长沙市师大思沁高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

这是一份湖南省长沙市师大思沁高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了 在锐角三角形中，，则，9B， 在中，，若，则的值为， 已知向量，则等内容，欢迎下载使用。
长沙市师大思沁高级中学2022-2023学年第二学期期末测试卷
高一数学
时量：120分钟总分：150分
一､单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 已知是虚数单位，复数，则的虚部为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的虚部.
【详解】，因此，复数的虚部为.
故选：C.
2. 在锐角三角形中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】解：在锐角三角形中，，由正弦定理得，
又，所以，且，故.
故选：A.
3. 甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为（ ）
A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.2
【答案】C
【解析】
【分析】利用相互独立事件概率计算公式、对立事件的概率计算公式直接求解.
【详解】甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.
则密码被破译的概率为: .
故选：C.
4. 若m、n、l表示不同的直线，a、b表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD，由线面垂直的性质可判断B选项.
【详解】在正方体中，记平面为平面，平面为平面
，为，为，为，
对于A选项，，，但和相交，所以A错；
对于C选项，，，但和相交，所以C错；
对于D选项，，，但与相交，所以D错；
对于B选项，由线面垂直的性质可知B对；
故选：B

5. 在中，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量基本定理结合已知条件，将用表示出来，从而可求出的值
【详解】因为，所以为上靠近点的三等份点，
所以


,
因为，
所以，
所以，
故选：A
6. 已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目计算新的数据的和，进而计算出平均数，再结合方差计算公式计算方差即可.
【详解】原19个数据的平均数为5，方差为2，
加入一个数5之后，这20个数的
平均数为，
方差为.
故选：C.
7. 在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知画出图形，连接上下底面中心，则的中点即为外接球球心，连接，求出即可计算得出外接球的面积．
【详解】由已知做出正三棱柱，则，
设点分别为正，正的中心，连接，则，连接并延长交于于点，则，，
设点为中点，连接，则点为正三棱柱外接球的球心，且平面，，
因为点为正的中心，
所以，
所以，则，
因为平面，
所以，
则正三棱柱外接球半径，
所以该球的表面积为：，
故选：B．

8. 已知M是内的一点，且，，，则的最小值是（ ）
A 4 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量数量积公式，结合三角形面积公式可得，设，，则，再利用基本不等式求解即可.
【详解】∵，，∴，
∴.
∵，
∴
设，，则，



当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值是8.
故选：C.
二､多选题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9. 已知向量，则（ ）
A. B. 若，则 C. 若，则 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A用向量相等判断，B用向量共线的坐标运算来判断，C用向量垂直的坐标运算来判断，D用向量模的运算来判断.
【详解】显然，A对，
得：或，B错，
，，C对，
，，D对．
故选：ACD
10. 在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，表示A的对立事件.以下结论正确的是（ ）
A. B. C. 若，则 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据对立事件及其概率关系，即，进行判别.
【详解】选项A，由对立事件的性质, 不一定正确；
由对立事件的概念得，即，B正确；
由对立事件的性质知，，故若，则，C正确；
由对立事件的概念得，即，D正确.
故选：BCD.
【点睛】此题考查对立事件及其概率的关系，需要对题目进行准确辨析.
11. 如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（ ）

A.
B.
C. 四边形ABCD的周长为
D. 四边形ABCD的面积为6
【答案】AD
【解析】
【分析】根据直观图与平面图的关系可得ABCD是直角梯形，计算直角梯形各边长，逐一判断选项中的结论即可.
【详解】如图过作于，

由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，
即，即A正确；
还原平面图为下图，

即，
过C作，由勾股定理得，即错误；
故四边形ABCD的周长为：，即C错误；
四边形ABCD的面积为：，即D正确.
故选：AD
12. 素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（ ）

A. 一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直
B. 该“十字贯穿体”的表面积是
C. 该“十字贯穿体”的体积是
D. 与所成角余弦值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据图形分别求出，结合勾股定理判断垂直；表面积是由4个正方形和16个与梯形全等的梯形组成，分别计算；体积用两个柱体体积减去重叠部分体积；由与的长度，通过图形构造直角三角形计算两条直线所成角的余弦．
【详解】如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE、DE，

则在矩形中，可知，为中点，连接，

由对称性可知，为中点，为中点，
，，，
显然，即CE、DE不垂直，A选项不正确；
，，
该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成
则表面积，B选项正确；
如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点I

则多面体可以分成8个全等三棱锥，，
则，且平面，
则，
该“十字贯穿体”的体积即为，C选项正确；
，与所成角即，
在中，，D选项正确；
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：求解组合体的表面积和体积，关键是弄清它的结构特征，从而转化为简单几何体的表面积和体积，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减，求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量(单位：J)如下：100，120，125，165，430，186，175，234，425，310.这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为__________.
【答案】210
【解析】
【分析】10个数从小到大顺序排列，计算出，求出第6个和第7个数的平均值即得．
【详解】10个数据从小到大顺序排列为：，
，而第6个数据为186，第7个数据为234，．
所以第60百分位数为210．
故答案为：210．
14. 设，，若为实数，则m的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算化简，然后根据复数的概念列出方程，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为为实数，所以，解得.
故答案为：.
15. 乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，2000年之后国际比赛用球的直径为40.现用一个底面为正方形的棱柱盒子包装四个乒乓球，为倡导环保理念，则此棱柱包装盒(长方体)表面积的最小值为___________.(忽略乒乓球及包装盒厚度)
【答案】256
【解析】
【分析】比较三种情形下的表面积即可得：一种四个球排列一列，四个球心在同一直线上；第二种四个球平放，四个球心构成正方形；第三种四个球心构成正四面体．
【详解】设是四个球的球心，以下面积单位是
（1）四点共线，则．

（2）四点构成一个正方形，则

（3）四点构成一正四面体，如图，设是中心，则 平面，，， ，
正四棱柱为正方体，棱长为，表面积为，

比较可得表面积最小值为256．
故答案为：256
16. 如图，在平面中，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是_________.

【答案】
【解析】
【分析】若为中点，令夹角为，由，将其化为关于和的关系式，讨论、结合求目标式的范围.
【详解】若为中点，令夹角为，如下图示，

，又，
由，则，
此时，当时最小值为；
由，则；
此时，当时最大值为；
综上，的取值范围是.
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示．

（1）求a的值；
（2）求所有受灾居民的经济损失的平均值；
（3）现按照分层抽样的方法从经济损失在[4000,8000)的居民中随机抽取8人，则在[4000,6000)的居民有多少人．
【答案】（1）
（2）3360元 （3）6
【解析】
【分析】（1）根据直方图中频率和为1列方程求参数；
（2）根据直方图计算平均值；
（3）根据分层抽样等比例性质求在[4000,6000)的居民数量.
【小问1详解】
依题意，，解得．
【小问2详解】
所有受灾居民经济损失的平均值为元．
【小问3详解】
由（1）得经济损失在和在的人数比例为，
由分层抽样知，经济损失在的居民有人.
18. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（2b﹣a）cosC＝ccosA．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝3，求△ABC的周长取值范围．
【答案】（1）
（2）（6，9]
【解析】
【分析】（1）由正弦定理、正弦的两角和公式可求解；
（2）由正弦定理、辅助角公式及三角函数求范围可求得结果.
【小问1详解】
由于（2b﹣a）cosC＝ccosA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC＝sinCcosA，
即2sinBcosC＝sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC＝sin（A+C），可得：2sinBcosC＝sinB，
因为sinB≠0，
所以，因为，所以．
【小问2详解】
因为，由正弦定理可得，
于是，＝＝，
因为△ABC中，，
所以，，
所以，可得：，
所以△ABC周长的取值范围为：（6，9]．
19. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，O为的中点，平面，，M为的中点．

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接交AC于O，连接，由可证；
（2）取中点，连接，可得即为直线与平面所成角，求出和即可.
【详解】（1）底面为平行四边形，O为的中点，
连接交AC于O，连接，
分别是中点，，
平面，平面，
平面；

（2）取中点，连接，
中点，，且，
平面，即为直线与平面所成角，
，
是等腰直角三角形，，
则在直角三角形中，，
，
.

20. 甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求甲在第三场被淘汰的概率；
（2）求甲最终获胜的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）甲第三场被淘汰，则第一场和第三场均输，由独立事件概率公式可得概率．
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，甲胜这个事件可表示为：，，，，，，，，由互斥事件和独立事件的概率公式计算可得．
【详解】解：（1）记事件为甲在第三场被淘汰，则.
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则甲赢的基本事件包括，，，，，，，，
所以，甲赢的概率.
21. 在四边形中，，，，设．

（1）当时，求线段的长度；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，直接利用正弦定理可求得的长度；
（2）利用正弦定理可求得，进而求得、，利用三角形的面积公式、弦化切以及基本不等式可求得面积的最大值．
【小问1详解】
解：当时，在中，，，，
由正弦定理，得．
【小问2详解】
解：在中，，，
由正弦定理，
在中，，
，
此时
，
当且仅当时等号成立，故面积的最大值为．
22. 如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.
(Ⅰ)证明：AB平面PFE.
(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.

【答案】(1)见解析(2) BC=3或BC=3
【解析】
【分析】（Ⅰ）先由已知易得，再注意平面平面，且交线为，由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质可得到，再注意到，而，从而有，那么由线面垂的判定定理可得平面，
（Ⅱ）设则可用将四棱锥的体积表示出来，由已知其体积等于7，从而得到关于的一个一元方程，解此方程，再注意到即可得到的长．
【详解】证明：如题（20）图.由知，为等腰中边的中点，故
，

又平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，从而.
因.
从而与平面内两条相交直线，都垂直，
所以平面.
（2）解：设,则在直角中，
.从而
由，知，得,故，
即
由,,
从而四边形DFBC的面积为
由（1）知，PE 平面，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.
在直角中，,
体积,
故得，解得或由于，可得.
所以或.
考点：1. 空间线面垂直关系，2. 锥体的体积，3.方程思想.