2022-2023学年湖南省长沙市师大思沁高级中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市师大思沁高级中学高一（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）在锐角三角形ABC中，a＝2bsinA，则B＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5．则密码被破译的概率为（ ）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.2
4．（5分）若m、n、l表示不同的直线，α、β表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m⊥l，n⊥l，则m∥nD．若m∥α，m∥β，则α∥β
5．（5分）在△ABC中，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为s2，则（ ）
A．＝5，s2＝2B．＝5，s2＞2C．＝5，s2＜2D．＞5，s2＜2
7．（5分）在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知M是△ABC内一点，且，，，则的最小值是（ ）
A．4B．8C．D．2
二、多选题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
（多选）9．（5分）已知向量，则（ ）
A．B．若，则x＝2
C．若，则D．
（多选）10．（5分）在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，表示A的对立事件．以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．若P（A）＝1，则D．
（多选）11．（5分）如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝2C′D′＝4，则（ ）
A．
B．
C．四边形ABCD的周长为
D．四边形ABCD的面积为6
（多选）12．（5分）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（ ）
A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．CE与BF所成角的余弦值是
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13．（5分）有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：J）如下：100，120，125，165，430，186，175，234，425，310．这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为 ．
14．（5分）设z1＝2+3i，z2＝m+i（m∈R），若z1z2为实数，则m的值为 ．
15．（5分）乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，2000年之后国际比赛用球的直径为40mm．现用一个底面为正方形的棱柱盒子包装四个乒乓球，为倡导环保理念，则此棱柱包装盒（长方体）表面积的最小值为 cm2．（忽略乒乓球及包装盒厚度）
16．（5分）如图，在平面中，圆O是半径为1的圆，OA＝2，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如图所示．
（1）求a的值；
（2）求所有受灾居民的经济损失的平均值；
（3）现按照分层抽样的方法从经济损失在[4000，8000）的居民中随机抽取8人，则在[4000，6000）的居民有多少人．
18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（2b﹣a）csC＝ccsA．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝3，求△ABC的周长取值范围．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面ACM；
（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
20．（12分）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求甲在第三场被淘汰的概率；
（2）求甲最终获胜的概率．
21．（12分）在四边形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，∠ABC＝∠BCD＝90°，设∠CBD＝α．
（1）当α＝15°时，求线段AD的长度；
（2）求△BCD面积的最大值．
22．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝，点D、E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．
（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．
2022-2023学年湖南省长沙市师大思沁高级中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．（5分）已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：＝，
则z的虚部为：．
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）在锐角三角形ABC中，a＝2bsinA，则B＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由a＝2bsinA，利用正弦定理可得：sinA＝2sinBsinA，化简即可求解．
【解答】解：∵a＝2bsinA，
由正弦定理可得：sinA＝2sinBsinA，
∵sinA≠0，
∴sinB＝，
∵△ABC为锐角三角形，
∴B＝．
故选：A．
【点评】本题考查正弦定理的应用，是基础题．
3．（5分）甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5．则密码被破译的概率为（ ）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.2
【分析】求得密码没有被破译的概率，用1减去没有被破译的概率，即为密码被破译的概率．
【解答】解：密码被破译的概率为1﹣（1﹣0.4）（1﹣0.5）＝0.7．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
4．（5分）若m、n、l表示不同的直线，α、β表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m⊥l，n⊥l，则m∥nD．若m∥α，m∥β，则α∥β
【分析】对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，由线面垂直的性质得m∥n；对于C，m与n相交、平行或异面；对于D，α与β平行或相交．
【解答】解：m、n、l表示不同的直线，α、β表示不同的平面，
对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质得m∥n，故B正确；
对于C，若m⊥l，n⊥l，则m与n相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若m∥α，m∥β，则α与β平行或相交，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
5．（5分）在△ABC中，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理得到＝3﹣2，再与已知对比得到λ，μ的值即可．
【解答】解：∵，
∴＝+＝+＝+（﹣），
∴＝3﹣2，∵，
∴λ＝﹣2，μ＝3，
∴＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．
6．（5分）已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为s2，则（ ）
A．＝5，s2＝2B．＝5，s2＞2C．＝5，s2＜2D．＞5，s2＜2
【分析】推导出＝＝5，从而s2＝[19×2+（5﹣5）2]＝1.9，由此能求出结果．
【解答】解：某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，
此时这20个数据的平均数为，方差为s2，
则＝＝5，
∴s2＝[19×2+（5﹣5）2]＝1.9＜2．
故选：C．
【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知画出图形，连接上下底面中心MN，则MN的中点即为外接球球心，连接CO，求出CO即可计算得出外接球的面积．
【解答】解：由已知做出正三棱柱ABC﹣A1B1C1，则AB＝BC＝AC＝AA1＝2，
设点M，N分别为正△ABC，正△A1B1C1的中心，连接MN，则MN＝2，连接CM并延长交于AB于点D，则AD＝BD＝1，，
设点O为MN中点，连接CO，则点O为正三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的球心，且MN⊥平面ABC，ON＝OM＝1，
因为点M为正△ABC的中心，
所以CD⊥AB，
所以，则，
因为CM⊂平面ABC，
所以MN⊥CM，
则正三棱柱外接球半径，
所以该球的表面积为：．
故选：B．
【点评】本题考查球的表面积相关知识，属于中档题．
8．（5分）已知M是△ABC内一点，且，，，则的最小值是（ ）
A．4B．8C．D．2
【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，以及三角形面积公式，可得＝，再根据三角形之间的面积关系和柯西不等式，即可求解．
【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵＝，
∴S△MAB+S△MAC＝，
设S△MAB＝x，0＜x＜，
则，
∴由柯西不等式可得，＝＝
≥，
当且仅当，即x＝时，等号成立，
故的最小值是8．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，掌握柯西不等式是解本题的关键，属于难题．
二、多选题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
（多选）9．（5分）已知向量，则（ ）
A．B．若，则x＝2
C．若，则D．
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，向量，若＝，则有，无解，则必有≠，A正确；
对于B，若，则有2＝x（x﹣1），解可得x＝2或﹣1，B错误；
对于C，若⊥，则•＝x+2（x﹣1）＝0，解可得x＝，C正确；
对于D，﹣＝（1﹣x，x﹣3），则，必有，D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量平行的判断，属于基础题．
（多选）10．（5分）在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，表示A的对立事件．以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．若P（A）＝1，则D．
【分析】根据题意，由对立事件的定义依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由对立事件的定义，P（A）+P（）＝1，P（A）＝P（）不一定正确，A错误；
对于B，A+为必然事件，则P（A+）＝1，B正确；
对于C，若P（A）＝1，A是必然事件，则为不可能事件，则P（）＝0，C正确；
对于D，A与不会同时发生，则P（A）＝0，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查对立事件的定义和性质，注意对立事件和互斥事件的不同，属于基础题．
（多选）11．（5分）如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝2C′D′＝4，则（ ）
A．
B．
C．四边形ABCD的周长为
D．四边形ABCD的面积为6
【分析】根据斜二测画法的定义，求得边长，再求周长与面积即可．
【解答】解：由图易得，由斜二测画法得，
在原图直角梯形ABCD中，＝，
易得，所以四边形ABCD的周长为，
面积为．
故选：AD．
【点评】本题考查斜二测画法，考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（ ）
A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．CE与BF所成角的余弦值是
【分析】对A，根据图形分别求出，结合勾股定理判断垂直；
对B，表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成，分别计算；
对C，体积用两个柱体体积减去重叠部分体积；
对D，将异面直线平移成相交直线，解三角形，即可求解．
【解答】解：对A选项，如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE、DE，
则在梯形BDEF中，可知，
设∠DEF＝α，∠BEF＝β，则，
根据立体图可得，显然CE2+DE2≠CD2即CE、DE不垂直，A不正确；
对B选项，该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成，
则表面积；
对C选项，如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGEST，取CS的中点I，
则多面体CDGEST可以分成8个全等三棱锥C﹣GEI，则，
该“十字贯穿体”的体积即为正确；
对D选项，如图，过C，D分别作CI，DJ垂直于EF直线，垂足点分别为I，J，
连接PM，CD，则易知E为IJ的中点，IJ＝CD＝PM＝，
∴IE＝，又CI＝DJ＝BF＝2，
∴CE＝＝＝，
又BF∥DJ∥CI，∴∠ICE即为所求，
而cs∠ICE＝＝＝，∴D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13．（5分）有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：J）如下：100，120，125，165，430，186，175，234，425，310．这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为 210 ．
【分析】10个数从小到大排列，计算出10×60%＝6，求出第六个和第七个数的平均数即可．
【解答】解：10个数据从小到大排列为：100，120，125，165，175，186，234，310，425，430．
10×60%＝6，而第6个数为186，第7个数为234，
又，
故答案为：210．
【点评】本题考查了百分位数的定义及算法，属于基础题．
14．（5分）设z1＝2+3i，z2＝m+i（m∈R），若z1z2为实数，则m的值为 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实数的定义，即可求解．
【解答】解：z1＝2+3i，z2＝m+i，
则z1z2＝（2+3i）（m+i）＝2m﹣3+（2+3m）i，
∵z1z2为实数，
∴2+3m＝0，解得m＝﹣．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及实数的定义，属于基础题．
15．（5分）乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，2000年之后国际比赛用球的直径为40mm．现用一个底面为正方形的棱柱盒子包装四个乒乓球，为倡导环保理念，则此棱柱包装盒（长方体）表面积的最小值为 256 cm2．（忽略乒乓球及包装盒厚度）
【分析】比较三种情形下的表面积即可得：一种四个球排列一列，四个球心在同一直线上；第二种四个球平放，四个球心构成正方形；第三种四个球心构成正四面体．
【解答】解：设A，B，C，D是四个球的球心，以下面积单位是cm2，
（1）A，B，C，D四点共线，则S＝2×42+4×4×16＝288；
（2）A，B，C，D四点构成一个正方形，则S＝2×82+4×8×4＝256；
（3）A，B，C，D四点构成一正四面体，如图，设E是△BCD中心，
则AE⊥平面，，
正四棱柱为正方体，棱长为，
表面积为，
比较可得表面积最小值为256cm2．
故答案为：256．
【点评】本题考查了柱体表面积的计算，属于中档题．
16．（5分）如图，在平面中，圆O是半径为1的圆，OA＝2，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是 [﹣2，6] ．
【分析】若D为BC中点，令夹角为θ，由，将其化为关于和θ的关系式，讨论csθ≤1、csθ≥﹣1结合求目标式的范围．
【解答】解：若D为BC中点，令夹角为θ，如下图示，
∴
＝，又，且csθ≤1，
∴，
此时，当时最小值为﹣2；
由csθ≥﹣1，则；
此时，当时最大值为6；
综上，的取值范围是[﹣2，6]．
故答案为：[﹣2，6]．
【点评】本题考查向量数量积的范围的求解，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如图所示．
（1）求a的值；
（2）求所有受灾居民的经济损失的平均值；
（3）现按照分层抽样的方法从经济损失在[4000，8000）的居民中随机抽取8人，则在[4000，6000）的居民有多少人．
【分析】（1）根据直方图中频率和为1列方程求参数；
（2）根据直方图计算平均值；
（3）根据分层抽样的等比例性质求在[4000，6000）的居民数量．
【解答】解：（1）依题意，（0.00003×2+a+0.00015+0.0002）×2000＝1，解得a＝0.00009．
（2）所有受灾居民经济损失的平均值为1000×0.3+3000×0.4+5000×0.18+7000×0.06+9000×0.06＝3360元．
（3）由（1）得经济损失在[4000，6000）和在[6000，8000）的人数比例为3：1，
由分层抽样知，经济损失在[4000，6000）的居民有人．
【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（2b﹣a）csC＝ccsA．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝3，求△ABC的周长取值范围．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：（2sinB﹣sinA）csC＝sinCcsA，利用三角形内角和定理整理可得2sinBcsC＝sinB，由sinB≠0，解得csC的值，结合范围0＜C＜π，可求C的值．
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得a+b+c＝＝6sin（A+）+3，由C，A的范围可求A+∈（，），利用正弦函数的性质即可计算得解△ABC 周长的取值范围．
【解答】解：（1）由于（2b﹣a ）csC＝ccsA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）csC＝sinCcsA，
即2sinBcsC＝sinAcsC+sinCcsA，即2sinBcsC＝sin（A+C），可得：2sinBcsC＝sinB，
因为sinB≠0，
所以csC＝，
因为0＜C＜π，
所以C＝．
（2）因为C＝，c＝3，由正弦定理可得＝2，
于是，a+b+c＝2（sinA+sinB）+3
＝2[sinA+sin（﹣A）]+3
＝6sin（A+）+3，
因为△ABC中，C＝，
所以 A∈（0，），A+∈（，），
所以 sin（A+）∈（，1]，可得：a+b+c∈（6，9]，
所以△ABC 周长的取值范围为：（6，9]．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面ACM；
（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
【分析】（1）连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，由O为AC的中点，知O为BD的中点，再由M为PD的中点，知PB∥MO，由此能够证明PB∥平面ACM．
（2）取DO中点N，连接MN，AN，由M为PD的中点，知MN∥PO，且MN＝PO＝1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，故∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，由此能求出直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
【解答】（1）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，
∵O为AC的中点，∴O为BD的中点，
又∵M为PD的中点，
∴PB∥MO，
∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，
∴PB∥平面ACM．
（2）解：取DO中点N，连接MN，AN，
∵M为PD的中点，
∴MN∥PO，且MN＝PO＝1，
由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，
∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，
在Rt△DAO中，∵AD＝1，AO＝，∠DAO＝90°，∴DO＝，
∴AN＝，
在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，
即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．
20．（12分）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求甲在第三场被淘汰的概率；
（2）求甲最终获胜的概率．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解．
【解答】解：（1）甲在第三场被淘汰的概率为；
（2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
则甲赢的基本事件包括BCBC，ABCBC，ACBCB，BABCC，BACBC，BCACB，BCABC，BCBAC，
所以，甲赢的概率．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
21．（12分）在四边形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，∠ABC＝∠BCD＝90°，设∠CBD＝α．
（1）当α＝15°时，求线段AD的长度；
（2）求△BCD面积的最大值．
【分析】（1）在△ABD中，直接利用正弦定理可求得AD的长度；
（2）利用正弦定理可求得BD，进而求得BC、CD，利用三角形的面积公式、弦化切以及基本不等式可求得△BCD面积的最大值．
【解答】解：（1）当α＝15°时，在△ABD中，AB＝2，∠ABD＝75°，∠ADB＝45°，
由正弦定理，得．
（2）在△ABD中，∠ABD＝90°﹣α，∠ADB＝180°﹣60°﹣（90°﹣α）＝α+30°，
由正弦定理，
在Rt△BCD中，，，
此时
＝，
当且仅当时等号成立，故△BCD面积的最大值为．
【点评】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，以及三角恒等变换的应用，属中档题．
22．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝，点D、E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．
（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．
【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可证PE⊥AC，可证PE⊥AB．又EF∥BC，可证AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，可证AB⊥平面PEF．
（Ⅱ）设BC＝x，可求AB，S△ABC，由EF∥BC可得△AFE∽△ABC，求得S△AFE＝S△ABC，由AD＝AE，可求S△AFD，从而求得四边形DFBC的面积，由（Ⅰ）知PE为四棱锥P﹣DFBC的高，求得PE，由体积VP﹣DFBC＝SDFBC•PE＝7，即可解得线段BC的长．
【解答】解：（Ⅰ）如图，由DE＝EC，PD＝PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC，
所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．
因为∠ABC＝，EF∥BC，
故AB⊥EF，
从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，
所以AB⊥平面PEF．
（Ⅱ）设BC＝x，则在直角△ABC中，AB＝＝，
从而S△ABC＝AB•BC＝x，
由EF∥BC知，得△AFE∽△ABC，
故＝（）2＝，即S△AFE＝S△ABC，
由AD＝AE，S△AFD＝＝S△ABC＝S△ABC＝x，
从而四边形DFBC的面积为：SDFBC＝S△ABC﹣SAFD＝x﹣x＝x．
由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P﹣DFBC的高．
在直角△PEC中，PE＝＝＝2，
故体积VP﹣DFBC＝SDFBC•PE＝x＝7，
故得x4﹣36x2+243＝0，解得x2＝9或x2＝27，由于x＞0，可得x＝3或x＝3．
所以：BC＝3或BC＝3．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/18 9:34:18；用户：高中数学；邮箱：wcjc070@xyh.cm；学号：32117335