湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（原卷及解析版）

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时量：120分钟分值：150分
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则=（..）
A.B.C.D.
2.设复数满足（是虚数单位），则（..）
A.B.C.D.
3.在中，“”是“”的（..）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（..）
A.B.C.D.
5.下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（..）
A.B.
C.D.
6.设平面向量，，且，则=（..）
A.1B.14C.D.
7.若，则（..）
A.B.C.D.
8.把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（..）
A.B.C.D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（..）
A.的平均数等于的平均数
B.的中位数等于的中位数
C.的标准差不小于的标准差
D.的极差不大于的极差
10.如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（..）
A.点的坐标为，5， B.点关于点对称的点为，8，
C.点关于直线对称的点为，5， D.点关于平面对称的点为，5，
11.已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（..）
A.若，则
B.若，则
C.若，则至少有一条与直线垂直
D.若，则
12.已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则下列结论正确的是（..）
A.函数的图象关于直线对称
B.当时，的零点有6个
C.
D.若，则
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知随机事件A，B，事件A和事件B是互斥事件，且，，则__________．
14.如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.
15.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为___________.
16.已知（）满足，，且在上单调，则的最大值为________.
四､解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.已知函数，求：
（1）的最小正周期；
（2）取最大值时自变量x的集合.
18.如图，已知在三棱锥中，，点分别为棱的中点，且平面平面.
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（1）求证：平面；
（2）求证：.
19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过的部分按0.5元收费，超过但不超过的部分按0.8元收费，超过的部分按1.0元收费.
（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：）的函数解析式
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求，的值；
（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75%分位数.
20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD上的中点.
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（1）求证：PB平面AEC；
（2）设PA=AB=1，求平面AEC与平面AED夹角的余弦值.
21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，.
（1）求B及a，c；
（2）若线段MN长为3，其端点分别落在边AB和AC上，求△AMN内切圆半径的最大值.
22.某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立.
（1）求丙每局都获胜的概率
（2）求甲获得比赛胜利概率.