人教版七年级上册数学第三章《一元一次方程》 章末测试卷（含答案解析）

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人教版七年级上册数学第三章《一元一次方程》 章末测试卷
（时间100分钟 满分120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列等式的变形中，正确的是（   ）
A．如果，那么a=b B．如果|a|=|b|，那么a=b
C．如果ax =ay，那么x= y D．如果a=b，那么
【答案】A
【分析】根据等式的性质逐项分析即可．
【解析】A.如果，那么两边都乘以c可得a=b，故正确；
B.当a=2，b=-2时，满足|a|=|b|，但a≠b，故不正确；
C.当a=0时，满足ax =ay，但x与 y不一定相等，故不正确；
D.如果a=b，当c=0时，不成立，故不正确；
故选A．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．
2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可
【解析】解：①不含未知数，故错
②未知数的最高次数为2，故错
③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
④左边不是整式，故错
⑤不是等式，故错
⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
故选：B
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键
3．下列变形正确的是（    ）
A．方程的解是 B．把方程移项得：
C．把方程去括号得： D．方程的解是
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的解法分别判断即可．
【解析】解：A、方程的解是，故错误；
B、把方程移项得：，故错误；
C、把方程去括号得：，故错误；
D、方程的解是，故正确；
故选D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
4．方程 的解为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，即可求解．
【解析】解：





故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
5．若是关于的方程的解，则的值为（    ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】将代入方程即可求解．
【解析】解：将代入方程得：
解得
故答案为D．
【点睛】此题考查了方程解的含义，掌握方程解的含义是解题的关键．
6．如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程有解确定出a的范围即可．
【解析】解：∵关于的方程有解，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．
7．某同学在解关于x的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则a的值为（    ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】把x＝2代入看错的方程计算即可求出a的值．
【解析】解：把x＝2代入方程5a＋x＝13得：5a+2＝13，
解得：a＝，
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为（    ）
A． B．2.5 C．1 D．
【答案】A
【分析】先将两个一元一次方程的解求出，然后根据这两个解互为相反数求解即可得．
【解析】解：，
解得：，
，
解得：，
∵方程的两个解互为相反数，
∴，
解得：
故选：A．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程的方程，相反数的定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
9．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案
【解析】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4
设物价是钱，则根据可得：

故选D．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．
10．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据关于x的一元一次方程的解为x=2得出关于y的一元一次方程中的2y+1=2，再求出方程的解即可．
【解析】解：∵关于x的一元一次方程的解为x=2，
∴关于y的一元一次方程中的2y+1=2，
解得：y=，
即方程的解是y=，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是等量代换得出一元一次方程2y+1=2．

二、填空题
11．方程是关于x的一元一次方程，那么k的值是______
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义得出 ，且 ，解绝对值及不等式即可得出答案．
【解析】由题意得，  
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，正确把握一次项系数不能为零是解题的关键．
12．的值与的值互为相反数，那么的值是___________．
【答案】
【分析】将两个整式相加得0，即可求出x的值．
【解析】解：∵与的值互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数的定义和解一元一次方程，解题关键是能正确列出方程与解方程．
13．关于x的方程的解与的解相同，则a的值为______．
【答案】8
【分析】先求出的解，然后代入，即可求出答案．
【解析】解：∵，
解得：；
把代入中，得
，
解得：；
故答案为：8；
【点睛】本题考查的是同解方程的概念，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
14．若关于的方程的解为整数，则整数的值为___________．
【答案】或或或
【分析】先求出，再讨论当和当，结合关于的方程的解为整数进行求解即可．
【解析】解：∵，
∴，
当，即时，方程无解，不符合题意；
当时，则，
∵x为整数，
∴或，
∴或或或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，根据m值的限定条件对m的值进行取舍是解题的关键．
15．已知关于x的方程的解是，则___．
【答案】
【分析】直接把代入方程即可求得的值．
【解析】解：∵是方程的解，
∴，
解得，
故答案为：
【点睛】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
16．如图，乐乐将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等．现在a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为______．

【答案】
【分析】根据三个数的和依次列式计算即可求解．
【解析】解：，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，
，，，
，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的加法及混合运算，代数式求值问题，解一元一次方程，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．
17．一个两位数，十位上的数是个位上的数的3倍减5，把个位数和十位数对调，新两位数比原两位数小9，则原两位数是____________．
【答案】43
【分析】设个位上的数字为：，则：十位上的数字为：，根据题意列方程进行求解即可．
【解析】解：设个位上的数字为：，则：十位上的数字为：，由题意得：
，
解得：，
则：，
∴原两位数是：43．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用：数字问题．熟练掌握一个两位数，可以表示为的形式，是解题的关键．
18．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A，B的“n节点”，如图1，在数轴上点A表示的数为，点P表示的数为，点B表示的数为4，点P以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，设运动的时间为t秒．当t为何值时，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的，若此时点P为点A，B的“n节点”，则___________，___________．

【答案】，7或，
【分析】先表示出运动t秒后，点P表示的数是，再根据数轴上两点距离公式分别求出，据此得到关于t的方程，解方程求出t，进而求出n即可．
【解析】解：由题意得，运动t秒后，点P表示的数是，
∴，，
根据题意得：，
∴或，
解得或，
当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
故答案为：，7或，．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点距离公式，绝对值方程，一元一次方程的应用等等，正确表示出，据此得到关于t的方程是解题的关键．

三、解答题
19．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）按解一元一次方程的一般步骤，去括号，再合并同类项即可；
（3）按解一元一次方程的一般步骤，求解即可；
（4）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程．
(1)
解：，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得；
(2)
解：，
去括号，得，
移项，得，
系数化为1，得；
(3)
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得；
(4)
解：，
整理，得，
移项，得，
合并，得，
所以．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：____，得      第一步去括号，得            第二步
移项，得               第三步
合并同类项，得                   第四步
方程两边同除以，得           第五步

任务：
①以上求解步骤中，第一步进行的是___________，这一步的依据是___________；
②以上求解步骤中，第___________步开始出现错误，具体的错误是___________﹔
③请直接写出该方程正确的解为___________．
【答案】去分母，等式的性质2，二， 去括号时没有变号，
【分析】先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化1，即可得到答案.
【解析】解：解方程：
①去分母，得 ，（依据是：等式的性质2）
②去括号，得  ，（原解法出现错误，去括号，没有改变符号）
移项，得  ，
合并同类项，得 ，
③方程两边同除以，得.
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键.
21．设，．若比大1，求x的值．
【答案】
【分析】根据题意得到关于x的方程，解方程即可得到答案．
【解析】解：由题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
22．某车间一共有110个工人，已知每个工人平均每天可以加工甲种零件15个，或乙种零件12个，问如何安排每天的生产，才能使每天的产品配套？个甲种零件，2个乙种零件为一套）
【答案】安排60名工人生产甲种零件，50名工人生产乙种零件
【分析】设应分配人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，然后列方程计算即可．
【解析】解：设应分配人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，
根据题意得：，
解得：，
．
答：安排60名工人生产甲种零件，50名工人生产乙种零件．
【点睛】本题考查是一元一次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确找出合适的等量关系，列出方程，继而求解．
23．若关于的一元一次方程有一个正整数解，则可取的最小正数是多少？并求出相应的解．
【答案】可取的最小正数是，
【分析】方程的解为，有一个正整数解，由此即可判断参数的值，并取最小的正数，由此即可求解．
【解析】解：由，得，，
∴，即，
要使为正整数，即最小的正整数是 ，取最小的正数，
当时，，
∴，
．
故可取的最小正数是，．
【点睛】本题主要考查一元一次方程解的取值，掌握一元一次方程解的不同取值判断参数的取值是解题的关键．
24．已知方程是关于的一元一次方程．
(1)求的值．
(2)已知方程和上述方程同解，求式子的值．
【答案】(1)
(2)-2

【分析】（1）由一元一次方程的定义可知且，从而可求得a的值．
（2）求出方程的解，再代入方程求出m的值即可求解．
【解析】（1）方程是关于的一元一次方程，
且．
．
（2），
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
方程和方程同解，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，同解方程，掌握以上基础知识是解题的关键．
25．甲、乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别是200米分和160米分.
(1)若两人从同一地点同时向相反方向跑，多少分钟后两人第一次相遇？
(2)若两人从同一地点同时同向起跑，多少分钟后两人第一次相遇？
【答案】(1)分钟后两人第一次相遇；
(2)10分钟后两人第一次相遇

【分析】（1）设两人从同一地点同时向相反方向跑，分钟后两人第一次相遇，根据题意列出方程，解方程即可求解；
（2）设两人从同一地点同时同向起跑，经过分钟两人第一次相遇，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【解析】（1）解：设两人从同一地点同时向相反方向跑，分钟后两人第一次相遇，根据题意得出：
，
解得：.
答：设两人从同一地点同时向相反方向跑，分钟后两人第一次相遇；
（2）设两人从同一地点同时同向起跑，经过分钟两人第一次相遇，根据题意得：
，
解得：.
答：两人从同一地点同时同向起跑，10分钟后两人第一次相遇.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
26．列方程解应用题：
一商场经销的、两种商品，种商品每件进价40元，利润率为；种商品每件进价50元，售价80元．
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
按总售价打九折
超过600元
其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠

(1)种商品每件售价为　　元，每件种商品利润率为　　．
(2)若该商场同时购进、两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？
(3)在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买、商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？
【答案】(1)60；60；
(2)购进种商品40件；
(3)小华在该商场购买同样商品要付580元或660元

【分析】（1）根据利润等于进价乘以利润率，利润等于售价减进价，列式计算即可；
（2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据总进价为2100元，列出方程，进行求解即可；
（3）设小华打折前应付款为元，分①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，两种情况，分别列方程进行求解即可．
【解析】（1）设种商品每件售价为元，
则，
解得：．
故种商品每件售价为60元；
每件种商品利润率为．
故答案为：60；60；
（2）设购进种商品件，则购进种商品件，
由题意得，
解得：．
故购进种商品40件；
（3）设小华打折前应付款为元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得，
解得：；
②打折前购物金额超过600元，
，
解得：．
综上可得，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握：利润等于进价乘以利润率，利润等于售价减进价，折扣价等于原售价乘以折扣率，是解题的关键．注意分类讨论．
27．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由；
(2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(3)若关于x方程与是“美好方程”，求n的值．
【答案】(1)是，见解析
(2)1
(3)

【分析】（1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义验证即可求解；
（2）分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解；
（3）分别解一元一次方程，根据“美好方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解；
【解析】（1）解：是，理由如下：
由解得；
由解得：．

方程与方程是“美好方程”．
（2）解：由解得；
由解得．
方程与方程是“美好方程”
，
解得．
（3）解：由解得；                   
由解得；
∵关于x方程与是“美好方程”
∴，
解得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键．
28．、两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，点对应的有理数为，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设运动时间为秒．

(1)直接写答案：点与点间的距离为示为________，此时点与点间的距离表示为________；当点运动秒时，点表示的数可表示为_________
(2)当点与点间的距离为4个单位长度时，求的值；
(3)若有理数、、满足：在数轴上对应的点位于点与点之间，在数轴上对应的点位于原点与点之间，为0与1间的正数，且有等式成立，试求：的值．
【答案】(1),,.
(2)或.
(3).
【分析】（1）由两点间的距离公式可得A，B间的距离，再利用A，B间距离减去P的运动路程的绝对值即可得到P，B间的距离，再利用起点对应的数减去P的运动路程可得P运动后对应的数；
（2）由点与点间的距离为4个单位长度时，可得，再解绝对值方程即可；
（3）由题意可得，，，可得，，，可得，再把合并，再代入进行求值即可.
【解析】（1）解：，
点与点间的距离表示为，
当点运动秒时，点表示的数可表示为：.
（2）∵点与点间的距离为4个单位长度时，
∴，
∴或，
解得：或.
（3）∵在数轴上对应的点位于点与点之间，在数轴上对应的点位于原点与点之间，为0与1间的正数，
∴，，，
∴，，，
∴
，
∴




．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，有理数的加法法则、绝对值的性质，整式的加减运算的应用，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．