2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二（下）联考数学试卷（文科）（7月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二（下）联考数学试卷（文科）（7月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二（下）联考数学试卷（文科）（7月份）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. |21−i|=(    )
A. 22 B. 1 C. 2 D. 2
2. 参数方程为x=t+1y=t2+2t(t为参数)的曲线必过点(    )
A. (1,2) B. (−2,1) C. (2,3) D. (0,1)
3. 如图，把空间中直线与平面的位置关系：①直线在平面内；②直线不在平面内；③直线与平面相交；④直线与平面平行，依次填入结构图中的E，F，G，H中，则正确的填写顺序是(    )

A. ①③②④ B. ②①③④ C. ③②①④ D. ①④③②
4. 用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是奇数”正确的假设为(    )
A. a，b，c都是偶数 B. a，b，c都是奇数
C. a，b，c中至少有两个奇数 D. a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
5. 新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本很大的比例，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2021年我国江西某企业的前5个月碳酸锂价格与月份的统计数据：
月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y(万元/kg)
0.5
0.6
1
1.4
1.5
由上表可知其线性回归方程为y =0.28x+a ，则a =(    )
A. 0.16 B. 0.18 C. 0.30 D. 0.32
6. 在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为(    )
A. ρcosθ=2 B. ρsinθ=2 C. ρsin(θ+π3)=4 D. ρsin(θ−π3)=4
7. 设P= 2，Q= 7− 3，R= 6− 2，则P，Q，R的大小顺序是(    )
A. P>Q>R B. P>R>Q C. Q>P>R D. Q>R>P
8. 德国数学家莱布尼兹(1646年−1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图(1692年−1765年)为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736年)开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值)，若输入n=10，则输出的结果是(    )


A. P=4(1−13+15−17+…+117) B. P=4(1−13+15−17+…−119)
C. P=4(1−13+15−17+…+121) D. P=4(1−13+15−17+…−121)
9. 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了6组观测数据，y(单位：个)与温度x(单位：℃)得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)，令zi=lnyi，并将(xi,zi)绘制成如图所示的散点图．若用方程y=aebx对y与x的关系进行拟合，则(    )

A. a>1，b>0 B. a>1，b<0
C. 00 D. 0 10. 我们知道：在平面内，点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax0+By0+C| A2+B2，通过类比的方法，若在空间中，点(m+1,−2,m)到平面2x+2y+z−1=0的距离为4，则满足条件的实数m的所有的值之和为(    )
A. −1 B. 1 C. 2 D. 3
11. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，双曲线C上有两点A，B满足OA+OB=0，且∠F1AF2=2π3，若四边形F1AF2B的周长l与面积S满足 3l2=80S，则双曲线C的离心率为(    )
A. 62 B. 72 C. 213 D. 2 3
12. 桌面排列着20个乒乓球，两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第20个乒乓球的人为胜利者，条件是：每次拿走球的个数为至少要拿1个，但最多又不能超过5个，这个游戏中，先手是有必胜策略的．请问：如果你是最先拿球的人，为了保证最后赢得这个游戏，你第一次该拿走的球的个数为(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在复平面内，复数3+4i与5+6i所对应的向量分别为OA和OB，其中O为坐标原点，则AB对应的复数为______ ．
14. 曲线x=sinθy=sin2θ(θ为参数)与直线y=a有两个公共点，则实数a的取值范围是______ ．
15. 已知曲线f(x)=aex+sinx在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y−4=0平行，则实数a的值为______ ．
16. 探险家在一次探险中发现了一个原始部落的遗迹，根据发现的结果表明，这个部落所用算术中的符号“+”、“−”、“×”、“÷”、“”、“=”与我们所学算术中的符号用法相同，也是十进制．虽然每个数字与我们的写法相同，但表示的实际值却不同．下面有几个原始部落的算式：8×8×8=8；9×9×9=5；9×3=3；(93+8)×7=837.请你按这个原始部落的算术规则计算73×89−833的结果应为(    )______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
如表是某学生在4月份开始进入冲刺复习至高考前的5次大型联考数学成绩(分)：
联考次数x(1≤x≤5,x∈N*)
1
2
3
4
5
数学分数y(0 117
127
125
134
142
(1)请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(2)若在4月份开始进入冲刺复习前，该生的数学分数最好为116分，并以此作为初始分数，利用上述回归方程预测高考的数学成绩，并以预测高考成绩作为最终成绩，求该生4月份后复习提高率.(复习提高率=净提高分卷面总分×100%，分数取整数)．
18. (本小题12.0分)
为调查学生住宿情况，某教育主管部门从甲、乙两所学校各抽取200名学生参与调查，调查结果分为“住校”与“走读”两类，结果统计如下表：

住校人数
走读人数
合计
甲校
80
120
200
乙校
60
140
200
合计
140
260
400
(1)分别估计甲，乙两所学校学生住校的概率；
(2)能否有95%的把握认为住校人数与不同的学校有关？
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=|x−a|+|x+2|．
(1)若a=1，求不等式f(x)≤7的解集；
(2)若f(x)≥2a+1，求a的取值范围．
20. (本小题12.0分)
在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2 5sinθ，直线l的参数方程为x=1+ty= 5−2t(t为参数)．
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l相交于A，B两点，若点P的直角坐标为(1, 5)，求|PA|2+|PB|2的值．
21. (本小题12.0分)
我国机床行业核心零部件对外依存度较高，我国整机配套的中高档功能部件大量依赖进口，根据中国机床工具工业协会的数据，国内高档系统自给率不到10%，约90%依赖进口．因此，迅速提高国产数控机床功能部件制造水平，加快国产数控机床功能部件产业化进程至关重要．通过对某机械上市公司近几年的年报公布的研发费用x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据进行统计，得到下表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
x
2
3
4
6
8
10
13
y
15
22
27
40
48
54
60
根据数据，可建立y关于x的两个回归模型：
模型①：y​=4.1x+10.9；
模型②：y​=21.3 x−14.4．
(1)根据表格中的数据，分别求出模型①，②的相关指数R2的大小(结果保留三位有效数字)；
(2)①根据(1)选择拟合精度更高、更可靠的模型；②若2022年该公司计划投入研发费用17亿元，使用①中的模型预测可为该公司带来多少直接收益．
回归模型
模型①
模型②
i=17(yi−y​i)2
79.13
18.86
附： 17≈4.1．
22. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x=a+cosαy=b+sinα(α为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=π2．
(1)若a>0，b>0，且圆C与极轴、直线l均相切，求圆C的极坐标方程；
(2)若a=4，b=0，且直线l1：x=tcosβy=−2+tsinβ(t为参数)上至少存在一点M，使得以M为圆心，1为半径的圆M与圆C有公共点，求tanβ的取值范围．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：∵21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，
∴|21−i|=|1+i|= 1+1= 2，
故选：C．
先根据复数的运算法则进行化简，再利用求模公式求解即可．
本题主要考查复数的运算法则，复数模长的计算，比较基础．

2.【答案】C 
【解析】解：x=t+1y=t2+2t(t为参数)，
则y=(x−1)2+2(x−1)=x2−1，
通过检验选项中的点，(2,3)满足y=x2−1．
故选：C．
首先把参数方程转化为直角坐标方程，代入检验即可．
本题主要考查参数方程化成普通方程，属于基础题．

3.【答案】B 
【解析】解：空间中直线与平面的位置关系是：
直线不在平面内直线与平面相交直线与平面平行直线在平面内；
所以依次填入结构图中的E，F，G，H是②①③④．
故选：B．
根据空间中直线与平面的位置关系结构图，即可得出依次填入结构图中的E，F，G，H是什么．
本题考查了空间中直线与平面的位置关系知识结构图，是基础题．

4.【答案】A 
【解析】解：利用反证法，则需假设“自然数a，b，c都不是奇数”，即“自然数a，b，c都是偶数”．
故选：A．
根据反证法的步骤直接得到答案．
本题主要考查反证法的应用，属于基础题．

5.【答案】A 
【解析】由表中数据可得x=15(1+2+3+4+5)=3,y−=15(0.5+0.6+1+1.4+1.5)=1，
则其样本点的中心为(3,1)，代入线性回归方程得1=0.28×3+a ，
解之得a =0.16，
故选：A．
先求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程，解之即得a​的值
本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．

6.【答案】A 
【解析】解：如图．⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，
CO⊥Ox，OA为直径，|OA|=4，l和圆相切，
l交极轴于B(2,0)，点P(ρ,θ)为l上任意一点，
则有cosθ=|OB||OP|=2ρ，
解得ρcosθ=2．
∴圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为ρcosθ=2．
故选：A．
由⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，作图CO⊥Ox，OA为直径，|OA|=4，l和圆相切，则l交极轴于B(2,0)，点P(ρ,θ)为l上任意一点，从而cosθ=|OB||OP|=2ρ，由此能求出圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程．
本题考查圆的切线方程的求法，考查圆、极坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．

7.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用作差法比较代数式的大小，属于基础题．
P−R=2 2− 6>0，故P>R，R−Q=( 6+ 3)−( 7+ 2)，而( 6+ 3)2=9+2 18>( 7+ 2)2=9+2 14，故R>Q，故可比较P，Q，R的大小．
【解答】
解：∵P−R= 2− ( 6− 2)=2 2− 6>0，
∴P>R，
R−Q= 6− 2−( 7− 3)=( 6+ 3)−( 7+ 2)，
而( 6+ 3)2=9+2 18，( 7+ 2)2=9+2 14，
而18>14，
∴ 6+ 3> 7+ 2，即R>Q，
综上，P>R>Q，
故选：B．
  
8.【答案】B 
【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]的值，
∵输入n=10，∴跳出循环的i值为11，
∴输出P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]=4(1−13+15−…−119).
故选：B．
模拟程序的运行可得算法的功能是求P=4S=4[(−1)02×1−1+(−1)12×2−1+(−1)22×3−1…+(−1)92×10−1]的值，根据条件确定跳出循环的i值，即可计算得解．
本题考查程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题．

9.【答案】A 
【解析】解：因为y=aebx，令z=lny，则z与x的回归方程为z=bx+lna，
根据散点图可知z与x正相关，所以b>0，
由回归直线图象，可知回归直线的纵截距大于0，即lna>0，所以a>1，
故选：A．
令z=lny，可得z与x的回归方程为z=bx+lna，根据散点图，可得z与x正相关，所以b>0，根据纵截距大于0，可得a的范围，即可得答案．
本题考查了散点图的应用，考查了非线性回归与线性回归的转化，属于基础题．

10.【答案】C 
【解析】解：平面内点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式d=|Ax0+By0+C| A2+B2，
类比平面内点到直线的距离公式，
可得空间中点(m+1,−2,m)到平面2x+2y+z−1=0的距离为d=|2(m+1)−2×2+m−1| 12+22+22=4，
即|3m−3|3=4，∴|m−1|=4，解得m=−3或5，
则满足条件的实数m的所有的值之和为5−3=2．
故选：C．
类比平面中的结论得到空间中的结论，再解绝对值方程即可求得所有的m的值．
本题考查类比思想，类比平面结论得到空间中的结论来求解，属于基础题．

11.【答案】A 
【解析】解：不妨设|AF1|=m，|AF2|=n(m>n)，由双曲线的定义可知，m−n=2a，则m2+n2−2mn=4a2①，又∠F1AF2=2π3，
所以由余弦定理可得m2+n2+mn=4c2②，由①②可得mn=4c2−4a23,m2+n2=8c2+4a23，
所以(m+n)2=16c2−4a23.又四边形F1AF2B为平行四边形，故四边形F1AF2B的周长l=2(m+n)，
则l2=4(m+n)2=16(4c2−a2)3，面积S=2×12× 32mn= 36(4c2−4a2)，因为 3l2=80S，所以 3×16(4c2−a2)3=80× 36×(4c2−4a2)，整理得2c2=3a2，
故双曲线C的离心率为ca= 62，
故选：A．
设|AF1|=m，|AF2|=n(m>n)，由双曲线的定义和余弦定理求得m+n，从而可得周长l=2(m+n)，再求得四边形面积S，由已知等式得a，c关系，从而得离心率．
本题考查双曲线的离心率相关问题，属于中档题．

12.【答案】A 
【解析】解：根据题意，第一次该拿走2个球，以后的取球过程中，对方取n个，自己取6−n个，
由于20−2=6×3，
则自己可以一定可以取到第20个球；
故选：A．
根据题意，根据游戏的规则，结合余数的性质，分析可得答案．
本题考查合情推理的应用，注意游戏的规则，属于基础题．

13.【答案】2+2i 
【解析】解：由题意，OA=(3,4)，OB=(5,6)，
则AB=OB−OA=(2,2)，
∴AB对应的复数为2+2i．
故答案为：2+2i．
由已知求得OA、OB的坐标，进一步可得AB的坐标，则答案可求．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

14.【答案】0 【解析】解：曲线 x=sinθy=sin2θ (θ为参数)，为抛物线段y=x2(−1≤x≤1)，借助图形直观易得0
把曲线 x=sinθy=sin2θ (θ为参数)化为普通方程，结合图形，求出实数a的取值范围．
本题考查把参数方程化为普通方程的方法，注意自变量的取值范围，体现了数形结合的数学思想．

15.【答案】−3 
【解析】解：因为f(x)=aex+sinx，所以f′(x)=aex+cosx，
则f′(0)=a+1，则a+1=−2，解得a=−3．
故答案为：−3．
根据导数的几何意义求导列式得f′(0)=a+1，即可实数a的值．
本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．

16.【答案】733 
【解析】解：设原始部落数据分别为8=a，9=b，5=c，3=d，7=e，则a3=a，
∴a=1或a=0，
∵b3=c，∴b=2，c=8，
∵2d=d，∴d=0.当a=0时，(20+0)e=e，∴e=0，
此时8，3，7均代表一个数0，不符合题意，
当a=1时，(20+1)e=100+e，∴e=5，
即原始部落数据8，9，5，3，7分别表示1，2，8，0，5，
∴73×89=833可表示为50×12−100=500，
而500按原始部落的算术规则可表示为733．
故答案为：733．
设原始部落数据分别为8=a，9=b，5=c，3=d，7=e，则a3=a，推导出a=1或a=0，推导出原始部落数据8，9，5，3，7分别表示1，2，8，0，5，由此能求出结果．
本题考查简单的归纳推理、原始部落的算术规则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

17.【答案】解：(1)∵x−=1+2+3+4+55=3，y−=117+127+125+134+1425=129，
i=15xiyi=1992，i=15xi2=55，x−2=45，
∴b =i=15xiyi−5x−y−i=15xi2−5x−2=1992−5×3×12955−45=5.7，a =y−−b x−=129−5.7×3=111.9．
∴y关于x的线性回归方程为y=5.7x+111.9；
(2)由上述回归方程可得高考应该是第六次考试，即x=6，
则y =5.7×6+111.9≈146分，
∴净分提高为146−116=30分．
∴该生的复习提高率为30150×100%=20%． 
【解析】(1)与已知结合最小二乘法求得b​与a​的值，可得y关于x的线性回归方程；
(2)在(1)中求得的线性回归方程中，取x=6求得y​，进一步得到净分提高数，则答案可求．
本题考查线性回归方程及其应用，考查运算求解能力，是基础题．

18.【答案】解：(1)由表格数据得，
甲校学生住校的概率P1=80200=0.4，
乙校学生住校的概率P2=60200=0.3．
(2)由题意可得K2=400×(80×140−60×120)2140×260×200×200=40091≈4.4>3.841，
所以有95%的把握认为住校人数与不同的学校有关． 
【解析】(1)根据古典概型公式列式计算即可；
(2)计算K2，对照教材中的观测值表，结合题意，即可得出正确的结论．
本题主要考查了独立性检验的相关程度问题，解题时应利用教材中的数表，是基础题．

19.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=|x−1|+|x+2|≤7，
当x≤−2时，不等式化为−x+1−x−2≤7，
∴x≥−4，此时−4≤x≤−2；
当−2 当x>1时，不等式化为x−1+x+2=2x+1≤7，
∴x≤3，此时1 综上所述，不等式的解集为[−4,3]；
(2)f(x)=|x−a|+|x+2|≥|x−a−x−2|=|a+2|，
若f(x)≥2a+1，则|a+2|≥2a+1，
当a<−12时，不等式恒成立，
当a≥−12时，不等式两边平方可得a2+4a+4≥4a2+4a+1，解得−1≤a≤1，
∴−12≤a≤1，
综上可得，a的取值范围是(−∞,1]． 
【解析】(1)根据绝对值的定义，将不等式转化为三个不等式组，最后求它们解集的并集即可得出答案；
(2)由f(x)=|x−a|+|x+2|≥|x−a−x−2|=|a+2|，推出|a+2|≥2a+1，分a<−12和a≥−12解不等式即可得出答案．
本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．

20.【答案】解：(1)ρ=2 5sinθ，则ρ2=2 5sinθρ，整理得到：x2+(y− 5)2=5；
(2)x=1+ty= 5−2t，则x=1+ 55my= 5−2 55m，代入圆方程得到m2+2 55m−4=0．
验证Δ>0，m1+m2=−2 55m1m2=−4，故|PA|2+|PB|2=m12+m22=(m1+m2)2−2m1m2=445． 
【解析】(1)直接利用极坐标方程公式化简得到答案．
(2)变换x=1+ 55my= 5−2 55m，代入圆方程得到m2+2 55m−4=0，利用韦达定理计算得到答案．
本题考查极坐标方程，考查学生的运算能力，属于中档题．

21.【答案】解：(1)因为y−=15+22+27+40+48+54+607=38，
所以i=1n(yi−y−)2=232+162+112+22+102+162+222=1750，
则模型①的相关指数R12=1−i=1n(yi−y i)2i=1n(yi−y−)2=1−79.131750≈0.955，
模型②的相关指数R22=1−i=1n(yi−y i)2i=1n(yi−y−)2=1−18.861750≈0.989；
(2)①由(1)知，R12 ②由回归方程y​=21.3 x−14.4，可得当x=17时，y =21.3 17−14.4=72.93，
所以若2022年该公司计划投入研发费用17亿元，大约可为该公司带来72.93亿元的直接收益． 
【解析】(1)根据所给数据公式求相关指数；
(2)①比较相关系数可得； ②x=17代入模型①回归方程计算．
本题考查了相关指数的计算和应用以及回归方程的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．

22.【答案】解：(1)圆C的一般方程为(x−a)2+(y−b)2=1，直线l为y轴，
∵圆C与极轴、直线l均相切，a>0，b>0，
∴a=b=1，则圆C：x2+y2−2x−2y+1=0，根据x=ρcosθ y=ρsinθ x2+y2=ρ2 ，
得到圆C极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−2ρsinθ+1=0，
即ρ2−2 2ρsin(θ+π4)+1=0．
(2)由已知得圆C的一般方程为(x−4)2+y2=1，圆心为(4,0)，
直线l1的方程为xtanβ−y−2=0，
∵直线l1上至少存在一点M，使得以M为圆心．
1为半径的圆M与圆C有公共点，∴点(4,0)到直线l1的距离应不大于2．
即|4tanβ−2| tan2β+1≤2，整理得3tan2β−4tanβ≤0，解得0≤tanβ≤43，故tanβ的取值范围是[0,43]． 
【解析】(1)直接利用圆的定义式求出圆的方程，并转换为极坐标式；
(2)利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：圆的方程的求法，圆的直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．