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2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷（含解析）
展开这是一份2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省天一大联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数z满足i⋅z=4−2i，则|z|=( )
A. 2 3 B. 2 5 C. 4 D. 5
2. 一组数据a，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为( )
A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8
3. 已知向量a=(2,4)，b=(2,λ)，若(a+2b)//(2a+b)，则实数λ的值为( )
A. 4 B. −4 C. 2 D. −2
4. 设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，下列结论：
①若l⊥α，l⊥β，则α//β；
②若m⊥β，α⊥β，则m//α；
③若l//β，l⊂α，则β//α；
④若α⋂β=l，m//l，则m至少与α，β中一个平行．
则下列说法正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③
5. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：eix=cosx+sinx(x∈R,i为虚数单位)，这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知( 22+ 22i)4=( )
A. −1 B. 1 C. −i D. i
6. 某圆台的侧面展开是一个半圆环(如图所示)，且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为( )
A. 14 33π B. 26 33π C. 263π D. 523π
7. 甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制(当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束)，假设每场比赛甲班获胜的概率为35，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为( )
A. 727 B. 925 C. 36125 D. 81125
8. 在△ABC中，AB=2，cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，P为△ABC所在平面内的动点，且PA=1，则PB⋅PC的取值范围是( )
A. [−32,92] B. [−12,112]
C. [3−2 3,3+2 3] D. [3− 3,3+ 3]
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是( )
A. 若z1=z−2，则z−1=z2 B. 若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部相等
C. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0 D. 若z12+z22=0，则z1=z2=0
10. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩(满分100分)按照[50,60)，[60,70)，⋯，[90,100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )
A. 图中x=0.1
B. 估计样本数据的第60百分位数约为85
C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5
D. 若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在[60,70)内的学生应抽取10人
11. 已知正方形ABCD的边长为2，向量a，b满足AB=2a，BC=b−2a，则( )
A. |b|=2 B. a⋅b=2
C. a在b上的投影向量的模为 2 D. (b−4a)⊥b
12. 如图，已知点P在圆柱O1O的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，A1A，B1B为圆柱的两条母线，且A1A=3，OA=1，∠BOP=60°，则( )
A. PB⊥平面A1AP
B. 直线A1P与平面ABP所成的角的正切值为 32
C. 直线A1P与直线AB所成的角的余弦值为 34
D. 点A到平面A1BP的距离为32
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如图，一个水平放置的△ABO的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若B′A′=B′O′=1，则原三角形ABO的面积为______ ．
14. 甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是______ ．
15. 在△ABC中，点D满足DC=2AD，若线段BD上的一点P满足AP=xAB+yAC(x>0,y>0)，则y−x的取值范围是______ ．
16. 如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥.高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平.如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切.设AB=a，则该模型中5个球的表面积之和为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知复数z=m+(4−m2)i(m为正实数)，且z+5i∈R．
(1)求z；
(2)若z1=z−(a+i)在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a的取值范围．
18. (本小题12.0分)
如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，△ABF是等边三角形，EF//AD，且EF=12AD=2，M，N分别是AD，CB的中点．
(1)证明：平面NMF//平面ECD；
(2)若平面ABF⊥平面ABCD，求四棱锥E−ABCD的体积．
19. (本小题12.0分)
根据城市空气质量污染指数的分级标准，空气污染指数(API)不大于100时，空气质量为优良.某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，x，y，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110．
(1)若x
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a−b+cc=ba+b−c．
(1)求A；
(2)若b−c= 33a，证明：△ABC是直角三角形．
21. (本小题12.0分)
为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P−A1B1C1D1，下部分是正四棱柱ABCD−A1B1C1D1，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的52倍.
(1)若AB=6dm，OO1=5dm，求玻璃罩的容积是多少升(玻璃厚度不计)；
(2)若PA1=4dm，当PO1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？
22. (本小题12.0分)
某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人，分别对这两家餐厅进行评分，满分为60分.整理评分数据，将评分分成6组：[0,10)，[10,20)，⋯，[50,60]，得到A餐厅评分的频率分布直方图，以及B餐厅评分的频数分布表如下：
B餐厅评分的频数分布表
评分区间
频数
[0,10)
4
[10,20)
6
[20,30)
10
[30,40)
30
[40,50)
80
[50,60]
70
根据学生对餐厅的评分定义学生对餐厅的“满意度指数”如下：
评分
[0,30)
[30,50)
[50,60]
满意度指数
1
2
3
(1)在调查的200名学生中，求对A餐厅的满意度指数为2的人数；
(2)从该大学再随机抽取1名在A，B餐厅都用过餐的学生进行调查，用样本中不同的满意度指数的频率估计这名学生对应的满意度指数的概率，假设他对A，B餐厅的评分互不影响，求他对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低的概率．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：z=4−2ii=−2−4i，
所以|z|= (−2)2+(−4)2=2 5．
故选：B．
根据复数的运算律和复数的模的公式可得．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得a+5+6+7+7+8+11+128=8，解得a=8，
故这组数据的中位数为7+82=7.5．
故选：C．
先由平均数可求出a=8，再根据中位数的定义判定即可．
本题主要考查平均数公式，以及中位数的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为a=(2,4)，b=(2,λ)，
所以a+2b=(6,2λ+4)，2a+b=(6,λ+8)，
又(a+2b)//(2a+b)，∴6×(λ+8)−(2λ+4)×6=0，解得λ=4．
故选：A．
首先求出a+2b，2a+b的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于①，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以①正确；
对于②，若m⊥β，α⊥β，则m⊂α或m//α，所以②错误；
对于③，由l//β，得β//α或β与α相交，故③错误；
对于④，α⋂β=l，m//l，则m至少与α，β中一个平行，故④正确．
故选：C．
根据空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可．
本题考查空间中直线与平面的位置关系的判断，属基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可知，( 22+ 22i)4=(cosπ4+isinπ4)4=(eπ4i)4=eπi=cosπ+isinπ=−1．
故选：A．
根据所给公式，变形整理化简即可．
本题主要考查复数的指数性质，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，
则2πr=12×2π×2，2πR=12×2π×6，
所以r=1，R=3，且圆台的母线长为6−2=4，
则圆台的高为h= 42−(3−1)2=2 3，
所以圆台的体积为V=13(π⋅12+π⋅32+ π⋅12⋅π⋅32)×2 3=26 33π．
故选：B．
利用圆台的体积公式求解．
本题主要考查圆台的体积，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：甲班最终获胜有三种情况：
①甲班前两场获胜；
②甲班第1场和第3场获胜，第2场输；
③甲班第1场输，第2场和第3场获胜．
故甲班最终获胜的概率为(35)2+35×(1−35)×35+(1−35)×(35)2=81125．
故选：D．
根据题意甲班最终获胜分三种情况进行讨论，进而求出结果．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵A，B，C∈(0,π)，
∴A−B∈(−π,π)，B−C∈(−π,π)，C−A∈(−π,π)，
可得cos(A−B)∈(−1,1]，cos(B−C)∈(−1,1]，cos(C−A)∈(−1,1]，
若cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1，
则cos(A−B)=1，cos(B−C)=1，cos(C−A)=1，
可得A−B=0，B−C=0，C−A=0，
所以A=B=C，
所以△ABC是等边三角形．
建立如图所示的平面直角坐标系，
∵AB=2，
∴B(2,0)，C(1, 3)．
由题意设P(cosθ,sinθ)(0≤θ<2π)，
则PB=(2−cosθ,−sinθ)，PC=(1−cosθ, 3−sinθ)，
∴PB⋅PC=(2−cosθ)(1−cosθ)−sinθ( 3−sinθ)=3−2 3cos(θ−π6)．
因为cos(π6−θ)∈[−1,1]，
所以3−2 3cos(θ−π6)∈[3−2 3,3+2 3]．
故选：C．
先根据条件确定△ABC是等边三角形，再建立坐标系，用坐标法求数量积的范围．
本题考查平面向量与三角函数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，若z1=z−2，则z1和z2互为共轭复数，所以z−1=z2，故A正确；
对于B，若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部互为相反数，故B错误；
对于C，若z1z2=0，则|z1z2|=|z1|⋅|z2|=0，所以|z1|=0或|z2|=0，可得z1=0或z2=0，故C正确；
对于D，取z1=1，z2=i，可得z12+z22=1−1=0，故D错误．
故选：AC．
对于A，B可直接利用复数的性质进行判断；对于C，通过取模运算即可判定；对于D，取特殊值可判定．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由图知10×(x+0.015+0.02+0.03+0.025)=1，解得x=0.01，A错误；
对于B，成绩在[50,80)内对应的频率为0.1+0.15+0.2=0.45<0.6，
成绩在[50,90)内对应的频率为0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.6，
因此第60百分位数m位于区间[80,90)内，m=80+0.6−0.450.3×(90−80)=85，
所以估计样本数据的第60百分位数约为85，B正确；
对于C，平均数约为x−=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5，C正确；
对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为0.1：0.15：0.2=2：3：4，
则应选取成绩在[60,70)内的学生人数为30×32+3+4=10，D正确．
故选：BCD．
利用频率分布直方图各小矩形面积和为1计算判断A；利用频率分布直方图结合第p百分位数、平均数的意义计算判断BC；利用分层抽样求出抽取的人数作答．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数和平均数的计算，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A，由已知可得b=2a+BC=AB+BC=AC，
在正方形ABCD中可得|AC|=2 2，故A错误；
对于B，a⋅b=12AB⋅AC=12|AB||AC|cos45°=12×2×2 2× 22=2，故B正确；
对于C，a在b上的投影向量的模为|a⋅b||b|=22 2= 22，故C错误；
对于D，(b−4a)⋅b=b2−4a⋅b=0，
又b−4a与b均不是零向量，
所以(b−4a)⊥b，故D正确．
故选：BD．
利用条件表示出b=AC，进而可以判断A错误；利用向量的数量积运算可以判断B正确；利用投影向量的定义即可判断C错误；由(b−4a)⋅b=b2−4a⋅b=0可以判断D正确．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由已知得AA1⊥平面ABP，PB⊂平面APB，所以AA1⊥PB，
又因为AB是底面圆的直径，P在圆周上且异于A、B两点，所以BP⊥AP，
又A1A∩AP=A，AA1、AP⊂平面A1AP，所以PB⊥平面A1AP，故A正确；
对于B，因为AA1⊥平面ABP，所以直线A1P与平面ABP所成的角为∠A1PA，
因为∠BOP=60°，则∠PAO=12∠BOP=12×60°=30°，
所以PB=12AB=12×2=1，PA= AB2−PB2= 22−12= 3，AA1=3，
故tan∠APA1=AA1AP=3 3= 3，
故直线A1P与平面ABP所成的角的正切值为 3，故B错误；
对于C，连接B1P，
因为AA1//BB1且AA1=BB1，故四边形AA1B1B为平行四边形，
所以AB//A1B1，
所以直线A1P与直线AB所成的角为∠B1A1P或其补角，
在△A1B1P中，A1P= AP2+A1A2= ( 3)2+32=2 3，
B1P= BP2+B1B2= 12+32= 10，
所以cos∠B1A1P=A1B12+A1P2−B1P22A1B1⋅A1P=22+(2 3)2−( 10)22×2×2 3= 34，故C正确；
对于D，设点A到平面A1PB的距离为h，
则VA−A1PB=VA1−APB，即13⋅S△A1PB⋅h=13⋅S△APB⋅AA1，
又S△APB=12AP⋅BP=12× 3×1= 32，S△A1PB=12A1P⋅PB=12×2 3×1= 3，
所以13× 3×h=13× 32×3，解得h=32，故D正确．
故选：ACD．
利用线面垂直的判定定理可判断A选项；利用线面角的定义可判断B选项；利用异面直线所成角的定义可判断C选项；利用等体积法求出点A到平面A1BP的距离，可判断D选项．
本题考查线面垂直的判断，线面角的求解，线线角的求解，点面距的求解，属中档题．
13.【答案】 2
【解析】解：根据题意可得O′A′= 2，
在△ABO中，OB=O′B′=1，
OA=2O′A′=2 2，
所以△ABO的面积为S=12×1×2 2= 2
故答案为： 2．
根据斜二测画法的规则，与x轴平行的线段在直观图中与x′轴平行，长度不变；与y轴平行的线段在直观图中与y′轴平行，长度减半，分别求出OA，OB的长度，即可求出面积．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
14.【答案】310
【解析】解：总的样本点的个数为A52=20，事件“他们加入的都是球类运动社团”包含的样本点有A32=6个，
故所求概率为620=310．
故答案为：310．
先找到5个社团选两个分给两个人的个数为A52=20，再找到3个球类运动社团选两个的个数有A32=6个，从而求得概率．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
15.【答案】(−1,13)
【解析】解：∵DC=2AD，∴AC=3AD，∴AP=xAB+3yAD．
∵B，P，D三点共线，
∴x+3y=1，∵x>0，∴y=13(1−x)<13，∴0
故答案为：(−1,13)．
利用向量三点共线定理得到x+3y=1即可．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
16.【答案】π3a2
【解析】解：如图所示，
设O为大球的球心，大球的半径为R，大正四面体的底面中心为E，棱长为a，高为h，CD的中点为F，
连接OA，OB，OC，OD，OE，BF，
则BE=23BF= 33a，
正四面体的高h=AE= AB2−BE2= 63a，
因为V正四面体=4VO−ABC，所以13×S△ABCh=4×13×S△ABC×R，
所以R=14h= 612a，
设小球的半径为r，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高h小=h−2R= 66a，所以r=14h小= 624a=R2，
故该模型中5个球的表面积之和为4πR2+4×4πr2=8πR2=8π×6144a2=π3a2．
故答案为：π3a2．
把正四面体分割成以内切球球心为顶点的4个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可．
本题主要考查了三棱锥的内切球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由z+5i=m+(9−m2)i为实数，可得9−m2=0，
解得m=±3，因为m>0，所以m=3，
所以z=3−5i；
(2)由(1)可知z−=3+5i，
所以z1=z−(a+i)=(3+5i)(a+i)=(3a−5)+(5a+3)i，
因为z1在复平面内对应的点在第二象限，
所以3a−5<05a+3>0，解得−35
【解析】(1)由题意可得9−m2=0，解方程即可得出答案；
(2)由共轭复数和复数的乘法运算化简z1，再由题意可知3a−5<05a+3>0，解不等式即可得出答案．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
18.【答案】解：(1)证明：因为EF//AD，EF=12AD=2，M是AD的中点，
所以EF//DM，且EF=DM，
所以四边形DEFM是平行四边形，
从而MF//DE．
因为MF⊄平面ECD，DE⊂平面ECD，
所以MF//平面ECD．
同理NF//平面ECD，
又MF⋂NF=F，
所以平面NMF//平面ECD．
(2)设AB的中点为H，连接FH，则FH⊥AB．
因为平面ABF⊥平面ABCD，
平面ABF⋂平面ABCD=AB，
FH⊂平面ABF，
所以FH⊥平面ABCD，
因为EF//AD，EF⊄平面ABCD，
所以EF//平面ABCD，
所以E到平面ABCD的距离为FH=2 3，
所以VE−ABCD=13×(4×4)×2 3=32 33．
【解析】(1)根据条件可以证明MF//平面ECD，NF//平面ECD，进而可以证明平面NMF//平面ECD；
(2)利用条件可以求出E到平面ABCD的距离，进而利用体积公式可以求出结果．
本题考查面面平行的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．
19.【答案】解：(1)由题意知15(90+110+x+y+150)=110，则x+y=200．
因为x
(90,110)，(90,x)，(90,y)，(90,150)，(110,x)，
(110,y)，(110,150)，(x,y)，(x,150)，(y,150)，共10种，
这2天的空气质量均为优良的结果为(90,x)，只有1种，
故所求的概率为P=110．
(2)方差s2=15×[(90−110)2+(110−110)2+(x−110)2+(y−110)2+(150−110)2]
=15[2000+(x−110)2+(90−x)2]=25(x−100)2+440，
因为90
本题主要考查古典概型概率公式，方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵a−b+cc=ba+b−c，
∴bc=b2+c2−a2，
由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
又0
由正弦定理得sinB−sinC= 33sinA=12，
∴sinB−sin(2π3−B)=sinB− 32cosB−12sinB=12sinB− 32cosB=sin(B−π3)=12，
∵B∈(0,2π3)，
∴B−π3∈(−π3,π3)，
∴B−π3=π6，即B=π2，
故△ABC是直角三角形．
【解析】(1)由题意得bc=b2+c2−a2，利用余弦定理，即可得出答案；
(2)利用正弦定理，把题中边的关系化为角的关系，求解即可证明结论．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)(1)∵OO1=5dm，∴PO1=2dm．
∴玻璃罩的容积V=13×62×2+62×5=24+180=204(dm3)=204(L)．
(2)连接A1O1，设PO1=xdm(0
则O1O=52xdm，A1O1= 16−x2dm，A1B1= 2 16−x2dm，
∴正四棱柱的侧面积S=4⋅52x⋅ 2 16−x2=10 2 (16−x2)x2．
∵S≤10 2×x2+16−x22=80 2，
当且仅当x= 16−x2，即x=2 2时，取等号．
∴当PO1=2 2dm时，正四棱柱侧面积最大，最大为80 2dm2．
【解析】(1)根据题意可知PO1=2dm，再根据锥体的体积公式和柱体的体积公式即可求出结果．
(2)连接A1O1，设PO1=xdm(0
22.【答案】解：(1)学生对A餐厅的评分在[30,50)的频率为(0.02+0.02)×10=0.4，
即学生对A餐厅的满意度指数为2的频率为0.4，
所以对A餐厅的满意度指数为2的人数为200×0.4=80；
(2)设“对A餐厅的满意度指数比对B餐厅的满意度指数低”为事件M，
记“对A餐厅的满意度指数为1”为事件A1，“对A餐厅的满意度指数为2”为事件A2，
“对B餐厅的满意度指数为2”为事件B2，“对B餐厅的满意度指数为3”为事件B3，
则P(A1)=(0.003+0.005+0.012)×10=0.2，P(A2)=0.4，
P(B2)=30+80200=0.55，P(B3)=70200=0.35，
所以P(M)=P(A1B2+A1B3+A2B3)
=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B3)
=0.2×0.55+0.2×0.35+0.4×0.35
=0.32．
【解析】(1)由频率分布直方图可得；
(2)由独立事件的概率公式可得．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了独立事件的概率公式，属于基础题．
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