2020-2021学年河南省天一大联考高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年河南省天一大联考高一（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省天一大联考高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）过点（﹣1，3）且斜率为的直线在x轴上的截距为（　　）
A．﹣8 B．﹣7 C． D．
2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x＞3}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{0，1，2} B．{1，2} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}
3．（5分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（　　）
A．f（x）＝x，g（x）＝lg10x
B．，g（x）＝x﹣1
C．，
D．f（x）＝1，g（x）＝x0
4．（5分）设点P（1，1，1）关于原点的对称点为P'，则|PP'|＝（　　）
A． B． C． D．6
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（　　）

A．2π B．3π C．4π D．16π
6．（5分）已知a＝ln2，，，则（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c
7．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，且，则直线B1C1与平面ABC1所成的角的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．（5分）若函数在（2，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4） C．（﹣4，4] D．[﹣4，4]
9．（5分）若a2+b2＝c2（c≠0），则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝2所截得的弦长为（　　）
A． B． C．2 D．
10．（5分）已知函数是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足，若a，b∈R，且a+b＞0，则f（a）+f（b）的值（　　）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
11．（5分）已知点（x，y）是曲线上任意一点，则的取值范围是（　　）
A．（0，2） B．[0，2] C． D．
12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）（x1，x2，x3，x4互不相等），则x1+x2+x3+x4的取值范围是（　　）（注：函数h（x）＝x+在（0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数f（x）＝的定义域为　 　．
14．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝4，则a＝　 　．
15．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0与圆O2：x2+y2+4x﹣8y﹣16＝0的公切线条数是　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，若f（loga3）≥f（1）（a＞0且a≠1），则a的取值范围为　 　．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）设集合，B＝{x|0≤lnx≤1}，C＝{x|t+1＜x＜2t，t∈R}．
（Ⅰ）求A∩B；
（Ⅱ）若A∩C＝C，求t的取值范围．
18．（12分）已知直线l经过两直线l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交点，且与直线x﹣2y﹣3＝0垂直．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若第一象限内的点P（a，b）到x轴的距离为2，到直线l的距离为，求a+b的值．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，点M是棱PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACM的体积．

20．（12分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A万元，则奖励log2（A+1）万元，没超出部分仍按5%进行奖励．记奖金为y万元，年销售利润为x万元．
（Ⅰ）写出y关于x的函数解析式；
（Ⅱ）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？
21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝AB，E为CC1的中点．
（Ⅰ）证明：AC1∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：平面BDE⊥平面ACC1；
（Ⅲ）求二面角E﹣BD﹣C的大小．

22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0．
（Ⅰ）若过点A（0，5）的直线l与圆C相切，求直线l的斜率；
（Ⅱ）从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，若|PM|＝|PA|，求|PM|最小时点P的坐标．

2020-2021学年河南省天一大联考高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）过点（﹣1，3）且斜率为的直线在x轴上的截距为（　　）
A．﹣8 B．﹣7 C． D．
【分析】设直线的方程为方程y﹣3＝（x+1），令y＝0，即可求得答案．
【解答】解：依题意知，该直线方程为y﹣3＝（x+1），
令y＝0，则x＝﹣7．
所以直线在x轴上的截距是﹣7．
故选：B．
2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x＞3}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{0，1，2} B．{1，2} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}
【分析】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩∁UB，再利用集合的基本运算即可求解．
【解答】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩∁UB，
∵全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＞3}，
∴∁RB＝{x|x≤3}，
∴A∩∁RB＝{0，1，2，3}，
故选：D．
3．（5分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（　　）
A．f（x）＝x，g（x）＝lg10x
B．，g（x）＝x﹣1
C．，
D．f（x）＝1，g（x）＝x0
【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．
【解答】解：A．f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝x，定义域为R，
两个函数的定义域和对应法则相同，是相等函数．
B．f（x）＝x﹣1（x≠﹣1），g（x）＝x﹣1的定义域为R，
两个函数的定义域不相同，不是相等函数，
C．f（x）＝|x|，定义域为{x|x≠0}，g（x）＝x（x≥0），
两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是相等函数，
D．g（x）＝1（x≠0），f（x）＝1的定义域为R，
两个函数的定义域不相同，不是相等函数，
故选：A．
4．（5分）设点P（1，1，1）关于原点的对称点为P'，则|PP'|＝（　　）
A． B． C． D．6
【分析】利用点P与P'关于原点对称，求出P'的坐标，然后利用空间两点间距离公式求解即可．
【解答】解：点P（1，1，1）关于原点的对称点为P'的坐标为（﹣1，﹣1，﹣1），
由空间两点间距离公式可得|PP'|＝．
故选：B．
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（　　）

A．2π B．3π C．4π D．16π
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出球的半径，最后求出球的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体；
如图所示：
设几何体的外接球半径为R，
则：，解得R＝1，
所以．
故选：C．
6．（5分）已知a＝ln2，，，则（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵0＜ln2＜lne＝1，∴0＜a＜1，
∵＝﹣log2e＜0，
∴b＞a＞c，
故选：D．
7．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，且，则直线B1C1与平面ABC1所成的角的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】由BC1⊥AC，AB⊥AC，得AC⊥平面ABC1，由直线B1C1∥直线BC，得∠ABC是直线B1C1与平面ABC1所成的角，由此能求出直线B1C1与平面ABC1所成的角的大小．
【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，
∴AB⊥AC，又AB∩BC1＝B，AB⊂平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，
∴AC⊥平面ABC1，∵直线B1C1∥直线BC，
∴∠ABC是直线B1C1与平面ABC1所成的角，
∵∠BAC＝90°，BC1⊥AC，且，
∴∠ABC＝30°，
∴直线B1C1与平面ABC1所成的角的大小为30°．
故选：A．

8．（5分）若函数在（2，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4） C．（﹣4，4] D．[﹣4，4]
【分析】由题意知函数f（x）＝log2（x2﹣ax+3a）是由y＝log2t和t（x）＝x2﹣ax+3a复合而来，由复合函数单调性结论，只要t（x）在区间（2，+∞）上单调递增且t（x）＞0即可．
【解答】解：函数y＝log2（x2﹣ax+3a）在（2，+∞）是增函数，
令t（x）＝x2﹣ax+3a，由题意知：
t（x）在区间（2，+∞）上单调递增且t（x）＞0，
故有，
解得﹣4≤a≤4，
故选：D．
9．（5分）若a2+b2＝c2（c≠0），则直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝2所截得的弦长为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】求出圆心到直线的距离，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长，即可求出结果．
【解答】解：圆的圆心（0，0）到直线ax+by+c＝0的距离为：，
因为a2+b2＝c2（c≠0），
所以＝＝1，
半弦长为：＝1，
所以直线ax+by+c＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为：2．
故选：C．
10．（5分）已知函数是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足，若a，b∈R，且a+b＞0，则f（a）+f（b）的值（　　）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，根据函数的单调性确定m的值，结合幂函数的性质判断f（a）+f（b）的值即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣m﹣5＝1，解得：m＝3或m＝﹣2，
若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足，
则f（x）在（0，+∞）单调递增，
m＝3时，f（x）＝x3，符合题意，m＝﹣2时，f（x）＝，不合题意，
故f（x）＝x3，由于a，b∈R，且a+b＞0，
所以a＞﹣b，由于函数为单调递增函数和奇函数，故f（a）＞f（﹣b），
所以f（a）＞﹣f（b），
所以f（a）+f（b）＞0，
即f（a）+f（b）的值恒大于0，
故选：A．
11．（5分）已知点（x，y）是曲线上任意一点，则的取值范围是（　　）
A．（0，2） B．[0，2] C． D．
【分析】画出图形，利用直线的斜率，转化求解即可．
【解答】解：曲线表示以原点为圆心，半径为2的上半个圆，
的几何意义是半圆上的点与P（3，2）连线的斜率，如图：
A（0，2），B（2，0），kPA＝0，kPB＝＝2，
所以的取值范围是[0，2]．
故选：B．

12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）（x1，x2，x3，x4互不相等），则x1+x2+x3+x4的取值范围是（　　）（注：函数h（x）＝x+在（0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增）
A． B． C． D．
【分析】画出函数f（x）＝的图象，利用f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），转化求解x1+x2+x3+x4的取值范围．
【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，
如图，
x＝或2时，f（x）＝1，
令t＝f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），
设x1＜x2＜x3＜x4，则有x1+x2＝﹣2，x3•x4＝1，且≤x3＜1，
故x1+x2+x3+x4＝﹣2+x3+x4＝﹣2+x3+，
因为函数h（x）＝x+在（0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
故x3+的最小值趋近于1+＝2，最大值等于＝．
x1+x2+x3+x4的取值范围是（0，]，
故选：D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数f（x）＝的定义域为　{x|x≥2且x≠3}．　．
【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，即x≥2且x≠3，
即函数的定义域为{x|x≥2且x≠3}．
故答案为：{x|x≥2且x≠3}．
14．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝4，则a＝　﹣2或16　．
【分析】利用分段函数的解析式，分a＞0和a≤0两种情况，列出关于a的方程，求解即可．
【解答】解：当a＞0时，f（a）＝log2a＝4，解得a＝16；
当a≤0时，，解得a＝﹣2，
所以a＝﹣2或a＝16．
故答案为：﹣2或16．
15．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0与圆O2：x2+y2+4x﹣8y﹣16＝0的公切线条数是　2　．
【分析】判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数．
【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0的标准方程是：（x﹣1）2+（y+2）2＝25，其圆心坐标是（1，﹣2），半径是5；
圆O2：x2+y2+4x﹣8y﹣16＝0的标准方程是（x+2）2+（y﹣4）2＝36，其圆心坐标是（﹣2，4），半径为6，
6﹣5＜O1O2＝＝3＜5+6，
∴两个圆相交，
所以圆O1：x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0与圆O2：x2+y2+4x﹣8y﹣16＝0的公切线条数是2．
故答案是：2．
16．（5分）已知函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，若f（loga3）≥f（1）（a＞0且a≠1），则a的取值范围为　　．
【分析】先判断出函数为偶函数，然后研究x＞0时函数的单调性，得到f（x）的单调性区间，利用偶函数的性质和单调性将不等式转化为对数不等式，再求出a的取值范围．
【解答】解：因为函数f（﹣x）＝ln（1+|﹣x|）﹣＝ln（1+|x|）﹣＝f（x），
所以f（x）为偶函数，则只需考虑x＞0时f（x）的单调性．
因为y＝ln（x+1）和在（0，+∞）都是递增函数，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，
若f（loga3）≥f（1），则|loga3|≥1，所以，
解得，
所以a的取值范围为．
故答案为：．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）设集合，B＝{x|0≤lnx≤1}，C＝{x|t+1＜x＜2t，t∈R}．
（Ⅰ）求A∩B；
（Ⅱ）若A∩C＝C，求t的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出集合A，B，再求出A∩B；
（Ⅱ）由A∩C＝C，得C⊆A，当C＝∅时，t+1≥2t，当C≠∅时，，由此能求出t的取值范围．
【解答】解：∵（Ⅰ）集合＝{y|1≤y≤4}，
B＝{x|0≤lnx≤1}＝{x|1≤x≤e}，
∴A∩B＝{x|1≤x≤e}；
（Ⅱ）∵集合A＝{y|1≤y≤4}，C＝{x|t+1＜x＜2t，t∈R}，A∩C＝C，
∴C⊆A，
当C＝∅时，t+1≥2t，解得t≤1，
当C≠∅时，，解得1＜t≤2．
综上，t的取值范围是（﹣∞，2]．
18．（12分）已知直线l经过两直线l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交点，且与直线x﹣2y﹣3＝0垂直．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若第一象限内的点P（a，b）到x轴的距离为2，到直线l的距离为，求a+b的值．
【分析】（Ⅰ）联立方程组求出交点的坐标，然后利用垂直，求出斜率，由点斜式求出直线方程即可；
（Ⅱ）由P在第一象限，得到a＞0，b＞0，利用P到x轴的距离为2和到直线l的距离为，列式求解a和b，即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）联立方程组可得，解得x＝﹣2，y＝6，故交点A的坐标为（﹣2，6），
直线x﹣2y﹣3＝0的斜率为，又直线l与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，故直线l的斜率为﹣2，
设所求直线l的方程为y﹣6＝﹣2（x+2），即2x+y﹣2＝0；
（Ⅱ）因为点P（a，b）在第一象限，故a＞0，b＞0，P到x轴的距离为2，
所以b＝2，故P（a，2），
又P（a，2）到直线l的距离为，
所以，解得a＝5，
所以a+b＝7．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，点M是棱PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACM的体积．

【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接OM，可得OM∥PB，再由直线与平面平行的判定可得PB∥平面ACM；
（Ⅱ）由M是棱PD的中点，可得VP﹣ACM＝VD﹣ACM＝VM﹣ACD＝，再由棱锥体积公式求解．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接BD交AC于O，则O为BD中点，连接OM，
∵M是棱PD的中点，∴OM∥PB，
∵OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM，
∴PB∥平面ACM；
（Ⅱ）解：∵M是棱PD的中点，
∴VP﹣ACM＝VD﹣ACM＝VM﹣ACD＝，
∵PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，底面ABCD为正方形，
∴VP﹣ACM＝VD﹣ACM＝VM﹣ACD＝＝．

20．（12分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A万元，则奖励log2（A+1）万元，没超出部分仍按5%进行奖励．记奖金为y万元，年销售利润为x万元．
（Ⅰ）写出y关于x的函数解析式；
（Ⅱ）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？
【分析】（1）由题意对销售利润分类讨论，即小于等于100和大于100时分别建立函数关系式；
（2）由（1）分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）由题意可知，当销售利润x≤100万元时，y＝5%x＝0.05x，
当销售利润x＞100万元时，y＝100×0.05+log2[（x﹣100）+1]，
所以y关于x的函数关系式为y＝，
（2）因为小张的奖金为10万元，设其销售的利润为x万元，
①当x≤100时，10＝0.05x，解得x＝200＞100，所以不符题意，
②当x＞100时，则10＝5+log2（x﹣99），解得x＝131，
故小张的年销售利润为131万元．
21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝AB，E为CC1的中点．
（Ⅰ）证明：AC1∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：平面BDE⊥平面ACC1；
（Ⅲ）求二面角E﹣BD﹣C的大小．

【分析】（Ⅰ）利用中位线定理得到AC1∥OE，由线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用长方体的几何性质可得CC1⊥底面ABCD，利用线面垂直的性质定理可得CC1⊥BD，由正方形的几何性质可得BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACC1，由面面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅲ）利用等腰三角形中线就是高，可得OE⊥BD，OC⊥BD，从而得到∠EOC即为二面角E﹣BD﹣C的平面角，在Rt△EOC中求解即可．
【解答】（Ⅰ）证明：设底面正方形的对角线AC与BD交于点O，则O为AC的中点，又E为CC1的中点，
所以AC1∥OE，因为AC1⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以AC1∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以CC1⊥BD，
又AC与BD为正方形ABCD的对角线，则BD⊥AC，又AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面ACC1，所以BD⊥平面ACC1，
又BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ACC1；
（Ⅲ）解：因为E为CC1的中点，所以DE＝BE，又BC＝CD，O为BD的中点，
所以OE⊥BD，OC⊥BD，
故∠EOC即为二面角E﹣BD﹣C的平面角，
不妨设长方体的底面边长为2，则，，
在Rt△EOC中，OC＝EC，所以∠EOC＝45°，
故二面角E﹣BD﹣C的大小为45°．

22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0．
（Ⅰ）若过点A（0，5）的直线l与圆C相切，求直线l的斜率；
（Ⅱ）从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，若|PM|＝|PA|，求|PM|最小时点P的坐标．
【分析】（Ⅰ）求出圆心和半径，根据题意可知直线l斜率存在，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得直线l的斜率；
（Ⅱ）设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|＝|PA|，可得x＝3y﹣12，利用二次函数的性质可求|PM|最小时y的值，从而可求得点P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，
其圆心为（1，2），半径r＝2，
若过点A（0，5）的直线l与圆C相切，直线l的斜率必定存在，设其斜率为k，
则切线l的方程为y＝kx+5，即kx﹣y+5＝0，
则有＝2，解可得：k＝，
即直线l的斜率为．
（Ⅱ）设P（x，y），PM为圆C的切线，则CM⊥PM，
因为|CP|2＝（x﹣1）2+（y﹣2）2，|CM|2＝4，
所以|PM|2＝（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣4，
因为|PA|2＝x2+（y﹣5）2，且|PM|＝|PA|，
所以x2+（y﹣5）2＝（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣4，
即x＝3y﹣12，所以|PM|2＝10y2﹣82y+169，
所以当y＝时，|PM|最小，
此时P点坐标为（，）．
声