2022-2023学年陕西省西安市大联考高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省西安市大联考高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市大联考高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知函数，则函数的定义域为(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(    )A.  B.  C.  D. 4.  函数的零点所在的一个区间是(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知函数，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  设，表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是(    )A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则7.  已知在四面体中，、分别是、的中点，若，，则与所成的角为(    )A.  B.  C.  D. 8.  在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是(    )A.  B.  C.  D. 9.  在长方体中，，，则二面角的正切值为(    )A.  B.  C.  D. 10.  正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 11.  已知，，，则的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 12.  若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  ______．14.  若且，则实数的取值范围是______ ．15.  已知一个球的表面积为，则这个球的体积为______ ．16.  设直线与圆：相交于，两点，若，则圆的面积为          ．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知函数，且．
求的值；
证明的奇偶性；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．18.  本小题分
某村电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收取管理费元，月用电量不超过度时，每度元；超过度时，超过部分按每度元收取：
方案二：不收取管理费，每度元．
求方案一的收费元与用电量度间的函数关系若老王家九月份按方案一缴费元，问老王家该月用电多少度？
老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？19.  本小题分
直线经过两点，．
求直线的方程；
圆的圆心在直线上，并且与轴相切于点，求圆的方程．20.  本小题分
是正三角形，线段和都垂直于平面，设，，且为的中点，如图：
求证：平面；
求证：；
求平面与平面所成的二面角的大小．
21.  本小题分
已知命题：，；命题：函数在区间上单调递减．
Ⅰ若命题为真命题，求的取值范围；
Ⅱ若命题为假命题，求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：从全集中，去掉，，，剩下的元素构成A.
故选：．
从中去掉中的元素就可．
集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合．
 2.【答案】 【解析】解：要使函数有意义，则，
即，
即，
函数的定义域为．
故选：．
根据函数成立的条件建立条件关系即可得到结论．
本题主要考查函数定义域的求法，要求掌握常见函数成立的条件，比较基础．
 3.【答案】 【解析】解：为非奇非偶函数，不满足条件．
B.是偶函数，不满足条件．
C.是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．
D.设，则，则函数为奇函数，
当时，，此时为增函数，
当时，，此时为增函数，综上在上函数为增函数．
故选：．
根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性，比较基础．
 4.【答案】 【解析】解：函数是连续增函数，
，；
．
所以函数的零点在．
故选：．
判断函数的连续性，利用零点判定定理求解即可．
本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
．
故选：．
由已知条件，直接利用分段函数的定义先求出，由此能求出．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数定义的合理运用．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，空间想象能力和推理能力，属于基础题．
由线面平行的定义可判断；由线面的位置关系可判断；由线面的位置关系和面面垂直的定义可判断；由面面垂直的判定定理可判断．
【解答】
解：若，，则，或，异面，故A错误；
若，，则，或，故B错误；
若，，则或与相交，或，故C错误；
若，，由面面垂直的判定定理可得，故D正确．
故选：．  7.【答案】 【解析】【分析】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，考查三角形中位线定理，属于中档题．
设为的中点，连接，，由三角形中位线定理可得，，则即为与所成的角，结合，，，在中，即可得到答案．【解答】解：设为的中点，连接，，

则，分别为，的中位线．
，且，，且，
则与所成角的度数等于与所成角的度数
又，，
，
则为直角三角形，，，，
在直角中，，
．
故选D．  8.【答案】 【解析】解：如图，取中点，连接、、，
依题意知三棱柱为正三棱柱，
易得平面，故为与平面所成的角．
设各棱长为，则，
，，
．
故选：．
本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过点做的垂线，垂足为，则底面，且为中点，则为点在平面上投影，则即为所求线面夹角，解三角形即可求解．
求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：先判断直线和平面的位置关系．当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造--作出或找到斜线与射影所成的角；设定--论证所作或找到的角为所求的角；计算--常用解三角形的方法求角；结论--点明斜线和平面所成的角的值．
 9.【答案】 【解析】解：，，由二面角的平面角的定义知，就是二面角的平面角，

又，所以．
故选：．
因为，，可得就是二面角的平面角，又因为，在直角三角形中计算正切值即可．
本题考查二面角的正切值的求法，属基础题．
 10.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查四棱锥外接球的表面积，属于基础题．
利用正四棱锥的底面边长和高求出外接球的半径，进而可得表面积．【解答】解：由题可知正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，

设球的半径为，
棱锥的高为，底面边长为，
，
，
该球的表面积为．
故选A．  11.【答案】 【解析】解：因为，，，
所以，时取等号，
所以的最小值是．
故选：．
利用乘“”法，把“”换成，整理后积为定值，利用基本不等式求最小值即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用问题，解题的关键是“”的代换．
 12.【答案】 【解析】解：时，不等式可化为对任意实数均成立；
时，不等式对任意实数均成立，等价于，
．
综上知，实数的取值范围是．
故选：．
分类讨论，结合不等式对任意实数均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数的取值范围．
本题考查恒成立问题，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：原式


．
故答案为：．
利用对数的运算法则即可求出．
本题考查了对数的运算法则，灵活应用运算法则是解决该类问题的基础．
 14.【答案】 【解析】解：，
当时，函数是一个增函数，不等式成立，
当时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有，
综上可知的取值是，
故答案为：
把变成底数的对数，讨论底数与的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．
本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与的关系，这里应用分类讨论思想来解题．
 15.【答案】 【解析】解：设球的半径为，则
球的表面积为，


球的体积．
故答案为：
利用球的表面积，我们可以求得球的半径，利用体积公式就可以求出球的体积．
本题主要考查球的表面积与体积公式，正确运用公式是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的弦长问题，点到直线的距离公式，属于一般题．
圆：的圆心坐标为，半径为，利用垂径定理，求出值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆：的圆心坐标为，半径为，
直线与圆：相交于，两点，且，
而圆心到直线的距离，
，
解得：，
故圆的半径，
所以圆的面积，
故答案为：．  17.【答案】解：，，解得．
证明：其定义域为．
，函数是奇函数．
解：函数，在上单调递增；
函数在上单调递增．
当时，取得最小值，．
不等式在上恒成立，
，．
．
实数的取值范围是． 【解析】利用，即可解出．
利用函数奇偶性的定义即可判断出．
由于函数，在上单调递增；可得函数在上单调递增．
不等式在上恒成立，，即可得出．
本题考查了函数奇偶性单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：，
当时，令，解得舍去．
当时，令，解得老王家该月用电度电．
令，由可得：显然为所求．
当时，令，解得，．
当时，令，解得则．
综上可得：选择方案一比选择方案二好． 【解析】，分类讨论解出即可得出．
令，由可得：显然为所求．分类讨论解出即可得出结论．
本题考查了分段函数的应用、函数的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 19.【答案】解：直线经过两点，，
直线的斜率，
直线的方程为，
即直线的方程为．
圆的圆心在直线上，
可设圆心坐标为，
圆与轴相切于点，
圆心在直线上，
，
圆心坐标为，半径，
圆的方程为． 【解析】本题考查了直线方程的求解，圆的方程的求解，属于中档题．
求出直线的斜率，即可得解；
求出圆心坐标，再求出半径，即可求出圆的方程．
 20.【答案】解：证明：如图所示，取中点，连、．
，，
，且．
又，且，
且．
四边形为平行四边形，．
平面，平面，
平面．
证明：平面，
．
又是正三角形，是的中点，
．
平面．
又，
平面．
平面平面．
，，
．
平面，
．
解：延长交延长线于，连．
由，知，为的中点，
．
又平面，．
平面．
为所求二面角的平面角．
在等腰直角三角形中，可得．
平面与平面所成的较小二面角是． 【解析】利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理即可证明；
利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明；
延长交延长线于，连，只要证明平面即可得到为所求的平面与平面所成二面角，在等腰直角三角形中即可得到．
熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理与线面、面面垂直的判定和性质定理及二面角的求法是解题的关键．
 21.【答案】解：Ⅰ命题：，，
若为真命题，则，
所以，解得，
所以的取值范围为；
Ⅱ因为命题：函数在区间上单调递减，
若为真命题，则，
又命题为假命题，
所以假且假，
则有，解得，
故的取值范围为． 【解析】Ⅰ利用一元二次恒成立的解法求出命题为真命题时的取值范围即可；
Ⅱ求出命题为真命题时的取值范围，再利用复合命题的真假得到假且假，列出不等式组，求解即可得到答案．
本题考查了复合命题及其真假的应用，涉及了一元二次不等式恒成立的求解、二次函数单调性的应用，解题的关键是求出命题和为真命题时的取值范围．