数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品当堂检测题

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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线的方向向量；平面的法向量；线线平行；线面平行；面面平行；线线垂直；线面垂直；面面垂直。
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
一．直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
⑵．平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面的法向量为．
③求出平面内两个不共线向量的坐标．
④根据法向量定义建立方程组.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
二、用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.
⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.
⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.
三、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.
⑵线面垂直
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.
②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若
考点讲解
⑶面面垂直。 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.

考点1：直线的方向向量
例1．（多选）设，是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量的坐标可以是（       ）
A．（2，1，3） B．（4，1，6）
C． D．
【方法技巧】
利用是空间直线l上的两点，以及向量的坐标运算法则，即可求出空间直线l的方向向量..
【变式训练】
【变式】．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（       ）
A． B． C． D．
考点2：平面的法向量
例2．（多选）已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（       ）
A．与是共线向量
B．平面ABC的一个法向量是（1，－1，3）
C．与夹角的余弦值是
D．与方向相同的单位向量是（1，1，0）
【方法技巧】
设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.
【变式训练】
【变式1】．已知平面，写出平面的一个法向量______．
【变式2】．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)求平面的一个法向量；
(2)求平面的一个法向量．
考点3：线线平行
例3：若直线，的方向向量分别为，，则，的位置关系是（       ）
A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合
【方法技巧】
1.建立合适的空间直角坐标系
2.求出需要直线的方向向量。看方向向量是否共线
【变式训练】
（多选）已知，，若，则与的值可以是（       ）.
A．2， B．， C．， D．，2
考点4：线面平行
例4：如图，四边形为正方形，平面，，.

证明：平面.
【方法技巧】
建立合适的空间空间直角坐标系。求出平面的法向量和直线的方向向量。求出方向向量与法向量的关系即可
【变式训练】
【变式】如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明：

平面．
考点5：面面平行
例5：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA=2，DC=3，DD1=4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点.求证：平面AMN∥平面EFBD.

【方法技巧】
首先建立空间直角坐标系，利用坐标法证明直线和平面平行或者两个平面的法向量共线最后根据面面平行判定定理得证.
【变式训练】
【变式】：如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面.

考点6：线线垂直
例6．如图，空间四边形中，.求证：.

【方法技巧】
建立合适的空间的空间直角坐标系。求的两条直线的方向向量，利用向量的运算即可。
【变式训练】
【变式1】设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为，
点E在侧棱上，点F在侧棱上，且,．
求证：；
考点7：线面垂直
例7.如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．

【方法技巧】
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.
②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若

【变式训练】
【变式】：若直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．
考点8：面面垂直
例8．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面.

【方法技巧】
若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.
【变式】如图，在直三棱柱中，，，，点E在棱上，，D，F，G分别为，，的中点，EF与相交于点H．

(1)求证：平面ABD．
(2)求证：平面平面ABD．
知识小结

⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.
⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.
⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.
（4）线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.
（5）线面垂直
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.
②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若
（6）面面垂直。 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.
巩固提升

一、单选题
1．“点在直线上，但不在平面内”，用数学符号表示正确的是（       ）
A．且A∉a B．且
C．且A∉a D．且
2．已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（       ）
A． B． C．1 D．2
3．已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．在直三棱柱中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(       )
A． B． C． D．
5．如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是（       ）

A．平面
B．平面
C．
D．
6．若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则（　　）
A．l∥α或l⊂α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α斜交
二、多选题
7．下列命题是真命题的有（       ）
A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D．平面α经过三点是平面α的法向量，则
8．已知，分别为直线的，方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（       ）．
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.
10．若点，，，则平面ABC的一个法向量______．
11．在三棱锥中，，，，，则直线SC与BC的位置关系是______.
12．已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的________条件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”）
四、解答题
13．已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．

14．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD的中点．求证：．

15．如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：

（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．
16．如图，正方体中，、分别为、的中点．

(1)用向量法证明平面平面；
(2)用向量法证明平面．