初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件精品同步练习题

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第1章 全等三角形
1.3探索三角形全等的条件

课程标准
课标解读
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
3．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）.
1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；
2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
3．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.
知识点01 全等形的判定
1.全等三角形判定1——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
【微点拨】
如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
【即学即练1】如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．

【答案】见详解
【分析】根据全等三角形证明△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=FC，
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB=CD．
2. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
【微点拨】
如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
3. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
4.全等三角形判定3——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
【微点拨】
如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
【即学即练2】如图，已知，，，求证：．

【答案】见解析
【分析】由“”可证，可得结论．
【详解】证明：，
，
，
在和中，
，
，
．
5.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
【微点拨】
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
6.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
【即学即练3】已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．

【答案】见解析
【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．
【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）
∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）
∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）
∠ACE＝90°（已证）
∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）
∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）
∠B＝90°（已证）
∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）
∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等）
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
知识点02 判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
【即学即练4】证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，画出图形如下，请根据题意写出已知和求证部分，并写出证明过程．

【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可．
【详解】解：已知：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AD与A’D’分别为BC与B’C’边上的中线，且AD=A’D’，
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ ．
证明：∵∠C=∠C’=90°，AD=A’D’，AC=A’C’，
∴Rt△ADC≌Rt△A’D’C’(HL)，
∴CD=C’D’，
∵AD与A’D’分别为BC与B’C’边上的中线，
∴点D和点D’分别是BC与B’C’的中点，
∴BC=2CD，B’C’=2C’D’，则BC=B’C’，
又∵∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，
∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’(SAS)．
考法01 判断方法的选择
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【典例1】如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．

(1)求证：BE＝CG；
(2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)BE+CF＞EF，见解析
【分析】（1）根据题中条件，证得△BDE≌△CDG（ASA），可证得BE＝CG；
（2）先连接AG，再利用全等的性质可得 DE＝DG，再根据DF⊥GE，从而得出 FG＝EF，依据三角形两边之和大于第三边得出 BE+CF>EF，
【详解】(1)解：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AB∥CG，
∴∠B＝∠DCG，
在△BDE和△CDG中，
∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴BE＝CG；
(2)BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG，

∵△BDE≌△CDG，
∴DE＝DG，
又∵FD⊥EG，
∴FD垂直平分EG，
∴EF＝GF，
又∵△CFG中，CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞EF．
考法02 判断直角三角形全等的特殊方法---斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”
【典例2】如图，△ABC中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．

(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．
【答案】(1)见解析；(2)60°
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由题意先求得∠ACB的度数和∠BAE的度数，再由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
【详解】(1)证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
(2)解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°．
题组A 基础过关练
1．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，，
∴，故B正确．
故选：B．
2．如图，于点，于点，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．
【详解】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，
∴∠ADC＝∠BFE＝90°，
∵CD＝EF，
∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF．
故选：C．
3．如图，在四边形ABCD中，，，则的依据是（       ）．

A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【答案】C
【分析】根据SAS判定两三角形全等解答即可．
【详解】解：在△ABD与△CDB中，
∵，
∴（SAS）
故选：C．
4．下列命题中，假命题是（　　）
A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等
B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等
C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等
D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等
【答案】B
【详解】A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理边角边，是真命题．
B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等．因为两边相等，其夹角不一定相等，所以两三角形不一定全等，故是假命题．
C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理角边角，是真命题．
D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等．两角相等，则根据三角和内角和定理可推出三个角分别相等，有一边相等，所以符合判定定理角边角，是真命题．
故选：B．
5．用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是_______（用字母写出）．
【答案】
【详解】解：①设已知角的顶点为O，以O为圆心，任意长度为半径画圆，交角两边为A，B两点；
②用直尺画一条射线，端点为M，以M为圆心，用同样的半径画圆，该圆为圆M，交射线为C点；
③以A为圆心，以AB为半径画圆，然后以C点为圆心，以同样的半径画圆，交圆M于D，E两点，随意连MD或者ME；得到的∠CMD就是所求的角；由以上作角过程不难看出有三个对应边相等．

∴证明全等的方法是SSS．
故答案为：SSS．
6．如图，已知，请再添上一个条件_________，使（写出一个即可）．

【答案】
【分析】由题可知△ABC和△ADC有公共边AC，，可根据AAS来判定三角形全等．
【详解】添加一个条件：，
证明：在三角形△ABC和△ADC中 ，
∴
故答案为：
7．如图，，，，则______°．

【答案】25
【分析】先证明△ABC≌△ADC，得到∠DAC＝∠BAC，进一步求得∠DAC的度数，再求得∠DCA的度数即可．
【详解】解：∵，
∴△ABC和△ADC是直角三角形，
∵AC＝AC，，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）,
∴∠DAC＝∠BAC，
∵，
∴∠DAC＝∠BAD＝65°，
∴90°－∠DAC＝25°．
故答案为：25．
8．判别两个直角三角形全等的方法是________．
【答案】斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等或HL
【分析】根据全等三角形的常见判定定理填空．
【详解】判定两个直角三角形全等的方法是斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等或HL．
故答案为：斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等或HL．
9．如图，D是AB边上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE．求证：FC//AB．

【答案】见解析
【分析】由DE=FE，AE=CE，易证得△ADE≌△CFE，即可得∠A=∠ECF，则可证得FCAB．
【详解】证明：在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，
∴FC//AB．
10．如图，，．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】先利用三角形全等的判定定理（定理）证出，再根据全等三角形的性质即可得．
【详解】证明：在和中，，
，
．
题组B 能力提升练
1．如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（       ）

A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝DB
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【详解】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故选：A．
2．如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（       ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE

A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】C
【分析】①根据三角形的中线直接进行判断即可；
②一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线；
③根据“SAS”直接进行判断即可；
④根据三角形全等的性质直接判定∠F＝∠DEC，根据平行线的判定方法得出结果；
⑤根据全等三角形的性质可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE．
【详解】解：①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，故①正确；
②∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
③在△BDF和△CDE中
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
④∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠DEC，
∴，故④正确；
⑤∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误；
综上分析可知，①③④正确，故C正确．
故选：C．
3．如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（       ）

A．50° B．60° C．40° D．20°
【答案】D
【分析】首先根据已知条件可证得∠ADC＝∠AEB，即可证得△ACD≌△ABE（SAS），∠CAD＝∠BAE＝60°，再根据三角形的内角和定理及外角的性质，即可求得∠CAE的度数．
【详解】解：∵∠1＝∠2＝110°，
∴180°﹣∠1＝180°﹣∠2，
∵∠ADC＝∠180°﹣∠1，∠AEB＝180°﹣∠2，
∴∠ADC＝∠AEB，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴∠C＝∠1﹣∠CAD＝110°﹣60°＝50°，
∴∠CAE＝180°﹣∠2﹣∠C＝180°﹣110°﹣50°＝20°，
∴∠CAE的度数为20°，
故选：D．
4．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选定点B和F，使AB⊥BF，并在垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，因此证得△ABC≌△EDC，进而可得AB＝DE，即测得DE的长就是AB的长，则△ABC≌△EDC的理论依据是（       ）

A．SAS B．HL C．ASA D．AAA
【答案】C
【分析】根据已知条件CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，判断△ABC≌△EDC的依据即可．
【详解】解：∵证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，故C正确．
故选：C．
5．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC，若∠AEB＝50°，求∠EBC的度数是____．

【答案】25°
【分析】证明△ABE≌△DCE（AAS），得到∠EBC＝∠ECB，再去计算∠EBC．
【详解】∵在△ABE和△DCE中
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
∴BE＝EC，∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°，
故答案为：25°
6．如图，OP平分∠MON，过点P的直线与OM，ON分别相交于点A，B，只需添加一个条件即可证辱，这个条件可以是___（写出一个即可）．

【答案】答案不唯一，如OA＝OB
【分析】添加OA=OB，根据OP平分∠MON，得出∠AOP=∠BOP，利用SAS证明△AOP≌△BOP
【详解】解：添加OA=OB，
∵OP平分∠MON，
∴∠AOP=∠BOP，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
故答案为OA=OB（答案不唯一）．
7．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．

【答案】2
【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解．
【详解】解： AB⊥AD，CE⊥BD，
，
在与中，
，
，
AD＝5，CD＝7，
，BD=CD＝7，

故答案为：2
8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，则EC＝_____．

【答案】2
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，即可利用ASA证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出BC＝EF＝6，即可根据线段的和差得解．
【详解】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴BC＝EF，
∵BF＝10，BC＝6，
∴EF＝6，CF＝BF﹣BC＝4，
∴EC＝EF﹣CF＝2，
故答案为：2．
9．已知：如图，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】先根据，得出，再根据，，利用“SAS”证明，即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴．
10．如图，点，，，在同一直线上，点，，在异侧，，，．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】利用平行线的性质得出，根据全等三角形的判定定理证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴.
题组C 培优拔尖练
1．下列选项可用SAS证明△ABC≌△A′B′C′的是（     ）
A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′ B．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′
C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′ D．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′
【答案】C
【分析】根据全等三角形SAS的判定逐项判定即可．
【详解】解：A、不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，不符合题意；
B、不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，不符合题意；
C、满足SAS，能证明△ABC≌△A′B′C′，符合题意；
D、不满足SAS，不能证明△ABC≌△A′B′C′，不符合题意，
故选：C．
2．下列命题中，真命题有（   ） 个
（1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
（2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
（3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
（4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质以及全等三角形的性质逐项分析判断即可
【详解】解：（1）两个锐角分别相等的两个直角三角形，形状相同，大小不一定相同，故不一定全等，故原命题为假命题；
（2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形，符合AAS，可以判定两个三角形全等，故为真命题；
（3）两条直角边分别相等的两个直角三角形，符合SAS，可以判定两个三角形全等，故为真命题；
（4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形，故为真命题，理由如下，
已知：在 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线且 AD=A'D'．

求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
证明：∵∠C=∠C'=90°，AD=A'D'，AC=A'C'，
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'（HL），
∴CD=C'D'．
∵AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，
∴点D和点D'分别是BC与B'C'的中点，
∴BC=2CD，B'C'=2C'D'，
∴BC=B'C'，
在△ABC和△A'B'C'中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（SAS）．
故真命题为：（2）（3）（4），
故选：C．
3．在ΔABC中给定下面几组条件：
①∠ACB=30°，BC=4cm，AC=5cm                 ②∠ABC=30°，BC=4cm，AC=3cm
③∠ABC=90°，BC=4cm，AC=5cm                 ④∠ABC=120°，BC=4cm，AC=5cm
若根据每组条件画图，则ΔABC不能够唯一确定的是（       ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据“SAS”“HL”可对①③进行判断；已知两边和其中一边所对的角对应相等的两三角形不一定全等可对②④进行判断．
【详解】解：①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°，满足“SAS”，所以根据这组条件画图，△ABC唯一；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°，根据这组条件画图，△ABC可能为锐角三角形，也可为钝角三角形；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；满足“HL”，所以根据这组条件画图，△ABC唯一；
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°，根据这组条件画图，△ABC唯一．
所以，ΔABC不能够唯一确定的是②．
故选：B
4．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠BPD的度数为（　　）

A．110° B．125° C．130° D．155°
【答案】C
【分析】易证△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可知：∠A＝∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．
【详解】解：在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A＝∠B，∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCA＝∠ECD，
∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，
∴∠BCA+∠ECD＝100°，
∴∠BCA＝∠ECD＝50°，
∵∠ACE＝55°，
∴∠ACD＝105°
∴∠A+∠D＝75°，
∴∠B+∠D＝75°，
∵∠BCD＝155°，
∴∠BPD＝360°﹣75°﹣155°＝130°，
故选：C．
5．如图，小明想测量池塘两端A，B间的距离，为了安全起见，小明借助全等三角形的知识．用了这样一个间接测量A，B间的距离方法：在地上取一点可以直接到达A点和B点的点C，测得长20m，长为20m，在的延长线上找一点D，使得长为20m，在的延长线上找一点E，使得长为20m，又测得此时D和E的距离为25m，根据小明的数据，可知A，B之间的距离为________m．

【答案】25
【分析】由题意知AC＝DC，BC＝EC，根据∠ACB＝∠DCE即可证明△ABC≌△DEC，即可得AB＝DE，即可解题．
【详解】解：由题意知AC＝DC，BC＝EC，且∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB，
∵DE＝25m，
∴AB＝25m，
故答案为：25．
6．如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF=_______．

【答案】
【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明，则BG＝AC，，根据AE＝EF，得到，可证出，即得出AC＝BF，从而得出BF的长．
【详解】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，

在和中，

∴
∴BG＝AC，，
又∵AE＝EF，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF，
又∵BE＝7CE，AE＝，
∴BF＋EF＝，
即BF＋＝，
解得BF＝．
故答案为：
7．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝_____．

【答案】8
【分析】可先证明△BCE≌△CAD，可求得CE＝AD，结合条件可求得CD，则可求得BE．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
又∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
在△CBE和△ACD中，
，
∴△CBE≌△ACD（AAS），
∴BE＝CD，CE＝AD＝25，
∵DE＝17，∴CD＝CE﹣DE＝AD﹣DE＝25﹣17＝8，
∴BE＝CD＝8；
故答案为：8．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．

【答案】①②④
【分析】由角平分线的定义，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形内角和定理可得结论①；由△BPA≌△BPF可得结论②；由△APH≌△FPD可得结论④；若PH=HC，则PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故③错误；
【详解】解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠CAB+∠CBA）=45°，
△PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，
故①正确；
∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°，
∴∠F=∠DAC=∠DAB，
△BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP，
∴△BPA≌△BPF（AAS），
∴BA=BF，PA=PF，
故②正确；
△APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，故④正确；
若PH=HC，则PD=HC，
AD＞AC，则AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立，
故③错误；
综上所述①②④正确，
故答案为：①②④
9．如图，在△ABC和△BDE中，，为锐角，，，连接AE、CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．

(1)△ABE与△CBD全等吗？为什么？
(2)AE与CD有何特殊的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)全等，见解析
(2)AE与CD互相垂直，见解析
【分析】(1)利用“SAS”可判断△ABE≌△CBD；
(2)利用△ABE≌△CBD得到∠BAE=∠BCD，再根据三角形内角和得到∠NMC=∠ABN=90°，即可判断AE⊥CD
【详解】(1)解：△ABE与△CBD全等；
理由如下：
，
，即，
在和△CBD中，

；
(2)解：AE与CD互相垂直；
理由如下：
，
，
，
，
．
10．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．

(1)求证：AE＝AF；
(2)求∠EAF的度数．
【答案】(1)见解析；(2)90°
【分析】（1）利用SAS证明△AEB≌△FAC可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠E=∠CAF，由余角的定义可求得∠EAF的度数．
【详解】(1)证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠EBA=90°，
∴∠ACD=∠EBA，
在△AEB和△FAC中，
，
∴△AEB≌△FAC（SAS），
∴AE=FA；
(2)∵△AEB≌△FAC，
∴∠E=∠CAF，
∵∠E+∠EAG=90°，
∴∠CAF+∠EAG=90°，
即∠EAF=90°．