2022-2023学年广东省佛山市顺德区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省佛山市顺德区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省佛山市顺德区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形是中心对称图形的是(    )
A. 平行四边形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 正五边形
2. 已知x>y，下列不等式正确的是(    )
A. −3x>−3y B. x−a2y
3. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=5，则BC=(    )


A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
4. 若分式x+2x的值为零，则x等于(    )
A. −2 B. 0 C. 2 D. 0和−2
5. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数为(    )
A. 30°
B. 45°
C. 55°
D. 60°
6. 如图，在▱ABCD中，AD=12，AC=26，∠ADB=90°，则AD与BC间的距离为(    )

A. 5 B. 10 C. 2 61 D. 26
7. 已知ab=6，a+b=7，那么代数式a2b+ab2的值为(    )
A. 6 B. 7 C. 13 D. 42
8. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF.若∠BAC=112°，则∠AFC=(    )

A. 34° B. 62° C. 68° D. 70°
9. 点O是四边形ABCD对角线的交点，给出下列四个条件：①AB//CD，AD=BC；②AB=CD，AD=BC；③OA=OC，OB=OD；④AB=BC，AD=CD，能判定四边形ABCD是平行四边形的有(    )
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④
10. 关于x的分式方程x+1x−1−4x2−1=1的增根为(    )
A. 1 B. −1 C. ±1 D. 不存在
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 在平行四边形ABCD中，∠A=50°，则∠C=______°.
12. 七边形内角和的度数是______．
13. 不等式的解集如图所示，写出一个符合要求的不等式：______ ．


14. 关于x的不等式2x−a>0的解集为x>4，则a的值是______ ．
15. 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2−b2+ac−bc=0，则△ABC是 ______ .(等腰三角形，等边三角形，直角三角形，等腰直角三角形)．
三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题6.0分)
解不等式组：−2x<62x+43<3−x．
17. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，线段AB两端点的坐标分别为A(1,1)、B(2,4)，平移线段AB，使得点A移到点A1(5,2)，连接AA1、BB1，写出点B1的坐标，判断四边形ABB1A1的形状并说明理由．

18. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，∠BAD、∠BCD的平分线分别交对角线BD于点E、F.求证：AE=CF．


19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：a2+aa2+2a+1−a−1a2−1，a是在−2 20. (本小题8.0分)
某商店购买甲、乙两种商品，购买1个甲商品比购买1个乙商品多花15元，并且花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商品的数量相等.求购买1个甲商品和1个乙商品各需多少元？
21. (本小题8.0分)
如图，AD是△ABC的平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若AB=4，∠B=60°，求点D到AB的距离．

22. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点D、E分别在BC、AB上.给出下列三个信息：①AD是角平分线：②DE⊥AB；③CD=BE.请选择其中两个作为条件，第三个作为结论构成一个真命题并证明．

23. (本小题10.0分)
如图，已知函数y1=−x+b，y2=mx−1，其中y1的图象经过点(3,0)．
(1)当y1>0时，x的取值范围是______ ；
(2)当x>2时，对于x的每一个值，都有y1 (3)若m=1，3x+1(3−x)(x−1)=Ay1+By2，求A、B的值．

24. (本小题13.0分)
如图，△ABC是等边三角形，AB= 3，点F是∠BAC的平分线上一动点，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到AE，连接CF、EF．
(1)尺规作图：在AF的上方找点D，使得DE⊥AF且DE=AC；
(2)在(1)的条件下，连接CD、DF．
①求证：AE+CD>AC；
②求证：△CDF是等边三角形；
③当△DEF是等腰三角形时，求AF的长度？


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、是中心对称图形．故正确；
B、不是中心对称图形．故错误；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2.【答案】D 
【解析】解：A.根据不等式的性质，由x>y得−3x<−3y，故A不符合题意．
B.根据不等式的性质，由x>y得x−a>y−a，故B不符合题意．
C.根据不等式的性质，由x>y得x2>y2，故C不符合题意．
D.根据不等式的性质，由x>y，那么2x>2y，故D符合题意．
故选：D．
根据不等式的性质解决此题．
本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．不等式的性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

3.【答案】C 
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE=12BC，
∵DE=5，
∴BC=10．
故选C．
利用三角形的中位线定理求得BC即可．
此题主要是根据三角形的中位线定理进行分析计算．

4.【答案】A 
【解析】解：由题意得，x+2=0，且x≠0，
即x=−2，
故选：A．
根据分式的值为0，令分子为0，分母不为0即可．
本题考查分式的值为0的条件，掌握“分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0”是正确解答的前提．

5.【答案】B 
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
故选：B．
根据旋转的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC，OB=OD，
∴OA=13，
在Rt△ADO中，由勾股定理得，
DO= AO2−AD2= 132−122=5，
∴BD=2OD=10，
∴AD与BC间的距离为10，
故选：B．
利用平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再利用勾股定理求出DO，从而得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：∵a+b=7，ab=6，
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=6×7
=42．
故选：D．
直接把a2b+ab2用提公因式法分解因式，再整体代入计算即可计算．
本题主要考查用提公因式分解因式，熟练掌握提公因式法是解决本题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=112°，
∴∠B=(180°−112°)÷2=34°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF=AF，
∴∠BAF=∠B=34°，
∴∠AFC=∠BAF+∠B=68°．
故选：C．
先由等腰三角形的性质求出∠B的度数，再由垂直平分线的性质可得出∠BAF=∠B，由三角形内角与外角的关系即可解答．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

9.【答案】C 
【解析】解：①AB//CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；不符合题意；
②AB=CD，AD=BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；符合题意；
③OA=OC，OB=OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；符合题意；
④AB=BC，AD=CD；不能判定四边形ABCD为平行四边形；不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．

10.【答案】A 
【解析】解：x+1x−1−4x2−1=1，
两边同乘(x2−1)，去分母得：(x+1)2−4=x2−1，
整理得：2x=2，
解得：x=1，
将x=1代入(x2−1)中可得1−1=0，
则x=1是原分式方程的增根，
故选：A．
解分式方程后按照解分式方程的增根的定义即可求得答案．
本题考查分式方程的增根的定义及解分式方程，注意解分式方程时必须进行检验．

11.【答案】50 
【解析】
【分析】
此题考查了平行四边形的性质．
由在平行四边形ABCD中，∠A=50°，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=50°．
故答案为：50．  
12.【答案】900° 
【解析】解：由n边形内角和度数为(n−2)⋅180°，n=7得：
七边形内角和的度数是(7−2)×180°=900°，
故答案为：900°．
根据n边形内角和公式即可得到答案．
本题考查多边形内角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式：n边形内角和度数为(n−2)⋅180°．

13.【答案】x>4(答案不唯一) 
【解析】解：数轴上所表示的不等式的解集为x>4，
故答案为：x>4(答案不唯一)．
根据在数轴上表示不等式解集的方法进行判断即可．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式解集的方法是正确解答的前提．

14.【答案】8 
【解析】解：由2x−a>0，得x>a2，
因为关于x的不等式2x−a>0的解集为x>4，
所以a2=4，
解得a=8．
故答案为：8．
根据解一元一次不等式的方法和题意，可以求得a的值，本题得以解决．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．

15.【答案】等腰三角形 
【解析】解：已知等式变形得：(a+b)(a−b)+c(a−b)=0，即(a−b)(a+b+c)=0，
∵a+b+c≠0，
∴a−b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

16.【答案】解：−2x<6①2x+43<3−x②，
解不等式①得：x>−3，
解不等式②得：x<1，
∴原不等式组的解集为：−3 【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

17.【答案】解：∵A(1,1)平移到点A1(5,2)，
∴平移规律为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，
∴点B(2,4)平移后得点B1的坐标为(2+4,4+1)，即(6,5)，
∵AB平行且等于A1B1，
∴四边形ABB1A1的形状为平行四边形． 
【解析】根据A(1,1)平移到点A1(5,2)，可得平移规律为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，再根据平移的变换规律即可求出点B1的坐标，根据AB平行且等于A1B1，即可判断四边形ABB1A1的形状．
本题主要考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，∠BAD=∠BCD．
∴∠ADB=∠CBD．
∵∠BAD、∠BCD的平分线分别交对角线BD于点E、F，
∴∠EAD=12∠BAD，∠FCB=12∠BCD，
∴∠EAD=∠FCB．
在△AED和△CFB中，
∠ADE=∠CBFAD=CB∠EAD=∠FCB,
∴△AED≌△CFB(ASA)，
∴AE=CF． 
【解析】由在▱ABCD中，可得AD=BC，AD//BC，∠BAD=∠BCD，又由∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，可证得∠EAD=∠FCB，继而可证得△AED≌△FCB(ASA)，由全等三角形的性质即可得到AE=CF．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△AED≌△FCB是证题的关键．

19.【答案】解：a2+aa2+2a+1−a−1a2−1
=a(a+1)(a+1)2−a−1(a−1)(a+1)
=aa+1−1a+1
=a−1a+1，
∵a2−1≠0，a+1≠0，
∴a≠±1，
∵a是在−2 ∴当a=0时，
原式=0−10+1
=−1． 
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件选取合适的数代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

20.【答案】解：设购买1个乙商品需x元，则购买1个甲商品需(x+15)元，
根据题意得：400x+15=100x，
解得：x=5，
经检验，x=5是所列方程的解，且符合题意，
∴x+15=5+15=20．
答：购买1个甲商品需20元，购买1个乙商品需5元． 
【解析】设购买1个乙商品需x元，则购买1个甲商品需(x+15)元，利用数量=总价÷单价，结合花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商品的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出购买1个乙商品所需费用，再将其代入(x+15)中，即可求出购买1个甲商品所需费用．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
DE=DFBD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)解：∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∵AB=4，∠B=60°，
∴BD=12AB=2，
∴BE=12BD=1，
∴DE= 3BE= 3，
∵DE⊥AB，
∴点D到AB的距离为 3． 
【解析】(1)根据角平分线的性质得DE=DF，再通过HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可解决问题；
(2)根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识，证明Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键．

22.【答案】解：如果①AD是角平分线：②DE⊥AB；
那么③CD=BE．
证明：在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵DE⊥AB，∠B=45°，
∴DE=BE，
∴CD=BE． 
【解析】根据题意写出真命题，利用等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠B=45°，根据角平分线的性质得到CD=DE，等量代换证明结论．
本题考查的是角平分线的性质、等腰直角三角形的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．

23.【答案】x<3 
【解析】解：(1)由图象可得，当y1>0时，x的取值范围是x<3，
故答案为：x<3；
(2)∵y1=−x+b的图象经过点(3,0)．
∴y1=−x+3，
把x=2代入y1=−x+3得y1=1；
∵当x>2时，对于x的每一个值，都有y1 ∴x=2时，y2≥1，即2m−1≥1，
∴m≥1；
(3)m=1时，3x+1(3−x)(x−1)=A−x+3+Bx−1，
∴3x+1(3−x)(x−1)=(A−B)x−A+3B(3−x)(x−1)，
∴A−B=3−A+3B=1，
解得A=5B=2，
∴A的值为5，B的值为2．
(1)由图象直接可得答案；
(2)根据当x>2时，对于x的每一个值，都有y1 (3)m=1时，3x+1(3−x)(x−1)=A−x+3+Bx−1，可得A−B=3−A+3B=1，故A的值为5，B的值为2．
本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是列出相应的不等式或方程组解决问题．

24.【答案】(1)解：过E作ED⊥AF，在直线ED上取ED=AC即可，如图：

点D即为所求的点；
(2)①证明：连接BF，如图：

∵线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到AE，
∴AF=AE，∠FAE=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，EF=AF=AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵DE=AC，
∴AB=DE，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=30°，
∵DE⊥AF，
∴∠DEF=12∠AEF=30°=∠FAB，
∴△ABF≌△EDF(SAS)，
∴BF=DF，∠AFB=∠EFD，
∴∠BFE=∠DFA，
∵△ABC是等边三角形，AF平分∠BAC，
∴直线AF是△ABC的对称轴，
∴BF=CF，∠BFK=∠CFK，
∴DF=CF，
∵∠AFE=60°，
∴∠BFE+∠BFK=120°=∠DFA+∠CFK，
∴∠DFC=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD=DF，
∵EF+DF>DE，
∴AE+CD>AC；
②证明：由①可知，△CDF是等边三角形；
③解：当DF=EF时，如图：

∵∠EMF=90°，∠MFE=60°，
∴∠MEF=30°，
∵DE=AC=AB= 3，
∴EM=12DE= 32，
∴MF=EM 3=12，
∴AF=EF=2MF=1；
当DE=DF时，如图：

∵∠EKF=90°，∠EFK=60°，
∴∠KEF=30°，
∴∠DFE=30°，
∴∠DFK=30°，
∵DF=DE=AC=AB= 3，
∴DK=12DF= 32，
∴KF= 3DK=32，
∴AF=2KF=3；
当DE=EF时，如图：

∵AF=EF，
∴AF=DE=AC=AB= 3；
综上所述，AF的长度为1或3或 3． 
【解析】(1)过E作ED⊥AF，在直线ED上取ED=AC即可；
(2)①连接BF，可得△AEF是等边三角形，从而证明△ABF≌△EDF(SAS)，有BF=DF，∠AFB=∠EFD，而直线AF是△ABC的对称轴，知BF=CF，∠BFK=∠CFK，故DF=CF，可得∠DFC=60°，△CDF是等边三角形，CD=DF，即可得AE+CD>AC；
②同①可证△CDF是等边三角形；
③分三种情况：当DF=EF时，可得AF=EF=2MF=1；当DE=DF时，AF=2KF=3；当DE=EF时，AF=DE=AC=AB= 3．
本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形判定与性质，等腰三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．