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2022-2023学年广东省佛山市禅城区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省佛山市禅城区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省佛山市禅城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 据我市气象台预报，2023年7月某日最高气温32°C，最低气温26°C，则当天气温t(°C)的变化范围是( )
A. t≥26 B. t≤32 C. 26
A. B. C. D.
3. 已知分式m+nn(m,n均为正数)，若分式中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( )
A. 扩大为原来3倍 B. 缩小为原来的13 C. 不变 D. 缩小为原来的19
4. 下列各式中，能进行因式分解的是( )
A. x2+y2 B. x2+x−1 C. x−y D. x2−y2
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，则AB边的长度是( )
A. 3
B. 4
C. 2 3
D. 2 5
6. 在▱ABCD中，∠A：∠B=1：2，则∠A的度数是( )
A. 60° B. 80° C. 120° D. 140°
7. 如图，直线y=kx+b经过点(0,3)和点(2,0)，则关于x的不等式kx+b<0的解集是( )
A. x>2
B. x<2
C. x>3
D. x<3
8. 若a2−ab=0(b≠0)，则aa+b=( )
A. 0 B. 12 C. 0或12 D. 1或 2
9. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
10. 体育锻炼能促进青少年享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志.某校积极开展“阳光体育”活动.在一次体育活动中，小超和小明进行1000米测试，小超的速度是小明的1.25倍，小超比小明快30秒到达终点.若设小明的速度是x米/秒，则所列方程正确的是( )
A. 1250x−1000x=30 B. 30×1.25x−30x=1000
C. 1000x−10001.25x=30 D. 10001.25x−1000x=30
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 要使分式1x有意义，则x满足的条件是______．
12. 因式分解：x2−4xy+4y2= ______ ．
13. “岭南四大名园”之一的佛山“梁园”里不仅有秀水、奇石、名帖，还有随处可见的古典窗棂(如图①所示)，这也是岭南建筑艺术之一.图②是这种窗棂中的部分图案.其中∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1+∠2+∠3+∠4=280°，则∠D的度数是______ ．
14. 如图，点A、B在直线l上，D为直线l外一点，连结AD，分别以点B、D为圆心，AD、AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连结CD、BC，则四边形ABCD是平行四边形的理由是______ ．
15. 如图，将形状大小完全相同的“O”按照一定的规律(如图所示)摆放，其中图①的“O”的个数为a1，图②中的“〇”的个数为a2，图③中的“〇”的个数为a3，…以此类推，则1a1+1a2+1a3+⋯1an的值是______ (n为正整数)．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组：2(x+1)>43x≤x+5．
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x−2x−1⋅x2−1x2−4x+4，并在1，2，3中选择一个合适的值代入求值．
18. (本小题8.0分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
19. (本小题9.0分)
角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等.”是一条常用定理，灵活应用这个定理解决实际问题，往往能起到事半功倍的效果；如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线．
(1)若CD=6cm，求BC的长；
(2)判断AB、BC、CD之间的数量关系，并说明理由．
20. (本小题9.0分)
阅读塑造精神，阅读滋养情感，阅读增长智慧.在“书香校园”的系列活动中，某校计划购进一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书共需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书共需284元．
(1)每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为多少元？
(2)学校计划购进科技类图书和文学类图书共60本，且总费用不超过2100元，那么最多可购进科技类图书多少本？
21. (本小题9.0分)
已知，如图，点A、G、H、C在同一条直线上，AB//DC，AB=DC，AH=CG.求证：
(1)△ABG≌△CDH；
(2)四边形GBHD是平行四边形．
22. (本小题12.0分)
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.请你利用“数形结合”的思想解决以下问题.如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
(1)请直接用含a和b的代数式表示S1= ______ ，S2= ______ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式：______ (用式子表达)；
(2)请依据(1)得到的公式计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1；
(3)请用(1)中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
23. (本小题12.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AC，AB上，AD=AE，连接DE，BD，点F，P，G别为DE，BD，BC的中点．
(1)线段PF与PG的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
(2)把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接PF，PG，FG，判断△FPG的形状，并说明理由；
(3)若AD=3，AB=7，△ADE绕点A在平面内旋转过程中，请直接写出△FPG的面积取得最大值时BD的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意，当天最高气温是32℃，最低气温是26℃，包括26℃和32℃，即26≤t≤32．
故选：D．
根据2023年7月某日最高气温32°C，最低气温26°C，可列出不等式组．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是抓住关键词语，最高和最低，从而可列出不等式组．
2.【答案】A
【解析】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称和轴对称的知识，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由题意得：3m+3n3n=m+nn，
∴若分式中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值不变，
故选：C．
根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、x2+y2，两平方项同号，不能进行因式分解，故本选项不符合题意；
B、x2+x−1，在实数范围内不能进行因式分解，故本选项不符合题意；
C、x−y，不能进行因式分解，故本选项不符合题意；
D、x2−y2，符合平方差公式，能进行因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
根据多项式特点，结合平方差公式的形式与完全平方公式的结构特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式、完全平方公式的结构特点是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4．
故选：B．
直接根据直角三角形的性质得出结论．
本题考查的是含30度角的直角三角形，熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A：∠B=1：2，
∴3∠A=180°，
∴∠A=60°．
故选：A．
根据平行四边形的邻角互补，即可求得∠A的度数．
此题考查了平行四边形的性质与平行线的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由图象可得：当x>2时，kx+b<0，
所以关于x的不等式kx+b<0的解集是x>2．
故选：A．
观察函数图象得到即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式的值，解题的关键是要注意题目有两个答案，容易漏掉值为0的情况．
首先求出a=0或a=b，进而求出分式的值．
【解答】
解：∵a2−ab=0(b≠0)，
∴a=0或a=b，
当a=0时，aa+b=0．
当a=b时，aa+b=12，
故选：C．
9.【答案】B
【解析】解：∵DE是AC的中垂线，
∴DA=DC，
∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC，
∵AB=4，BC=7，
∴△ABD的周长=4+7=11，
故选：B．
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵小超的速度是小明的1.25倍，且小明的速度是x米/秒，
∴小超的速度是1.25x米/秒．
根据题意得：1000x−10001.25x=30．
故选：C．
根据小超及小明速度间的关系，可得出超的速度是1.25x米/秒，利用时间=路程÷速度，结合小超比小明快30秒到达终点，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11.【答案】x≠0
【解析】解：要使分式1x有意义，则x满足的条件是x≠0．
故答案为：x≠0．
根据分式有意义的条件是分母不等于零，进行计算即可得出答案．
本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件进行求解是解决本题的关键．
12.【答案】(x−2y)2
【解析】解：x2−4xy+4y2=x2−4xy+(2y)2=(x−2y)2，
故答案为：(x−2y)2
运用完全平方公式因式分解即可得出答案．
本题考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式是解题关键．
13.【答案】100°
【解析】解：如图，由多边形的外角和可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=280°，
∴∠5=360°−280°=80°，
∴∠CDE=180°−80°=100°，
故答案为：100°．
根据多边形外角和是360°，可求出∠5的度数，再由补角的定义进行计算即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是360°以及邻补角的定义是正确解答的前提．
14.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】解：根据尺规作图的画法可得，AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
先根据分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，得出AB=DC，AD=BC，再判断四边形ABCD是平行四边形的依据．
本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
15.【答案】nn+1
【解析】解：由题可知a1=2×1，a2=3×2，a3=4×3，a4=5×4a3=4×3，a4=5×4，…，
∴an=(n+1)n，
∴1a1+1a2+1a3+⋯1an
=12×1+13×2+14×3+…1(n+1)n
=1−12+12−13+13−14+…1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1．
故答案为：nn+1．
先根据图形得出a1，a2，a3，a4，a3，a4，…an的值，然后代入原式进行拆分，再合并计算可得结果．
此题考查了数字与图形的规律，能够把原式根据分母规律进行拆分是解题的关键．
16.【答案】解：2(x+1)>4①3x≤x+5②，
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x≤52，
则不等式组的解集为1
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：x−2x−1⋅x2−1x2−4x+4
=x−2x−1⋅(x−1)(x+1)(x−2)2
=x+1x−2，
∵x−1≠0，x−2≠0，
∴x≠1，x≠2，
∴当x=3时，
原式=3+13−2
=4．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件选取合适的数代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)先根据平移的定义分别画出点A1，B1，C1，再顺次连接即可得；
(2)先根据中心对称的定义分别画出点A2，B2，C2，再顺次连接即可得．
本题主要考查了作图−平移变换、作图−旋转变换，熟练掌握平移和中心对称图形的画法是解题关键．
19.【答案】解：(1)过D点作DE⊥AB于点E，则∠AED=∠BED=90°，
在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线．
∴DE=CD=6cm，∠B=45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE=DE=6cm，
∴BD= DE2+BE2= 62+62=6 2(cm)，
∴BC=CD+BD=(6+6 2)cm；
(2)AB=BC+CD，
理由：在Rt△ACD和Rt△AED中，
CD=EDAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AC，
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD=BC+CD，
【解析】(1)过D点作DE⊥AB于点E，则∠AED=∠BED=90°，由角平分线的性质可得DE=CD=6cm，由等腰直角三角形的性质及判定可证明△BDE为等腰直角三角形，求得BE=DE=6cm，再利用勾股定理可求解；
(2)利用HL证明Rt△ACD≌Rt△AED可得AE=AC.进而可证明AB=BC+CD．
本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识的综合运用，作恰当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设每本科技类图书的价格为x元，每本文学类图书的价格为y元，
根据题意得：2x+3y=1564x+5y=284，
解得：x=36y=28．
答：每本科技类图书的价格为36元，每本文学类图书的价格为28元；
(2)设购进科技类图书m本，则购进文学类图书(60−m)本，
根据题意得：36m+28(60−m)≤2100，
解得：m≤52.5，
∴m的最大值为52．
答：最多购进科技类图书52本．
【解析】(1)设每本科技类图书的价格为x元，每本文学类图书的价格为y元，根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需284元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进科技类图书m本，则购进文学类图书(60−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2100元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】证明：(1)∵AB//CD，
∴∠BAG=∠DCH，
∵AH=CG，
∴AH−GH=CG−GH，
即AG=CH，
在△ABG和△CDH中，
AG=CH∠BAG=∠DCHAG=CH，
∴△ABG≌△CDH(SAS)；
(2)∵△ABG≌△CDH，
∴∠AGB=∠DHC，BG=DH，
∴∠BGH=∠DHG，
∴BG//DH，
又∵BG=DH，
∴四边形GBHD是平行四边形．
【解析】(1)根据SAS可证明△ABG≌△CDH；
(2)由全等三角形的性质证出∠AGB=∠DHC，BG=DH，证出BG//DH，由平行四边形的判定可得出结论．
此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的判定．
22.【答案】a2−b2 (a+b)(a−b) a2−b2=(a+b)(a−b)
【解析】解：(1)根据题意，S1=a2−b2，S2=(a+b)(a−b)，
∵S1=S2，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：a2−b2；(a+b)(a−b)；a2−b2=(a+b)(a−b)．
(2)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(24−1)(24+1)(28+1)+1
=(28−1)(28+1)+1
=(216−1)+1
=216；
(3)设一个奇数为2n−1，另一个相邻的奇数为2n+1，则(2n+1)2−(2n−1)2
=[(2n+1)+(2n−1)](2n+1)−(2n−1)]
=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)
=4n⋅2
=8n，
∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
(1)根据图形可知S1=a2−b2，S2=(a+b)(a−b)，根据两个面积相等即可求解；
(2)根据平方差公计算即可求解；
(3)设一个奇数为2n−1，另一个相邻的奇数为2n+1，根据(1)中结论，即可求解．
本题主要考查平方差公式的运算，掌握有理数的加减乘除混合运算法则是解题的关键．
23.【答案】PF=PG PF⊥PG
【解析】解：(1)∵点P，F是BD，DE的中点，
∴PF//BA，PF=12BE，
∵点P，G是BD，BC的中点，
∴PG//CD，PG=12CD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BE=CD，
∴PF=PG，
∵PF//BA，
∴∠DPF=∠DBA，
∵PG//CA，
∴∠DPG=∠ADB，
∵∠BAC=90°，
∴∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠FPG=∠DPF+∠DPG=∠DBA+∠ADB=90°，
∴PF⊥PG，
故答案为：PF=PG，PF⊥PG；
(2)△PFG是等腰直角三角形．
理由如下：∵点F，P分别是DE，BD的中点，
∴PF//BE，PF=12BE，
∵点P，G是BD，BC的中点，
∴PG//CD，PG=12CD，
由旋转知，∠CAD=∠BAE，
∵AC=AB，AD=AE，
∴△ACD≌△ABE(SAS)，
∴∠ACD=∠ABE，CD=BE，
∵PF=12BE，PG=12CD，
∴PF=PG，
∴△PFG是等腰三角形，
∵PF//BE，∠DPF=∠DBE=∠ABE+∠ABD，
∵PG//CD，∠BGP=∠DCG，
∴∠DPG=∠PGB+∠PBG=∠DCG+∠PBG，
∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ABE+∠ABD+∠DCG+∠DBG=∠ABE+∠DCG+∠ABD+∠DBG=∠ACD+∠DCG+∠ABC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠GPF=∠ACB+∠ABC=90°，
∴△GPF是等腰直角三角形；
(3)BD= 58．
由(2)知△GPF是等腰直角三角形，
∴S△GPF=12GP2，
∴当GP最大时，S△GPF最大．
∵GP=12CD，
∴CD最大时，GP最大．
∴当点D在CA的延长线上时CD最大，
∴BD= AB2+AD2= 49+9= 58．
(1)利用三角形的中位线得出PF=12BE，PG=12CD，进而判断出BE=CD，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出∠DPF=∠DBA，∠DPG=∠ADB，最后用互余即可得出结论；
(2)证明△ACD≌△ABE(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ACD=∠ABE，CD=BE，证出PF=PG，∠GPF=∠ACB+∠ABC=90°，则可得出结论；
(3)当GP最大时，S△GPF最大．得出CD最大时，GP最大．由勾股定理可求出答案．
本题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2022-2023学年广东省佛山市禅城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 据我市气象台预报，2023年7月某日最高气温32°C，最低气温26°C，则当天气温t(°C)的变化范围是( )
A. t≥26 B. t≤32 C. 26
A. B. C. D.
3. 已知分式m+nn(m,n均为正数)，若分式中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( )
A. 扩大为原来3倍 B. 缩小为原来的13 C. 不变 D. 缩小为原来的19
4. 下列各式中，能进行因式分解的是( )
A. x2+y2 B. x2+x−1 C. x−y D. x2−y2
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，则AB边的长度是( )
A. 3
B. 4
C. 2 3
D. 2 5
6. 在▱ABCD中，∠A：∠B=1：2，则∠A的度数是( )
A. 60° B. 80° C. 120° D. 140°
7. 如图，直线y=kx+b经过点(0,3)和点(2,0)，则关于x的不等式kx+b<0的解集是( )
A. x>2
B. x<2
C. x>3
D. x<3
8. 若a2−ab=0(b≠0)，则aa+b=( )
A. 0 B. 12 C. 0或12 D. 1或 2
9. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
10. 体育锻炼能促进青少年享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志.某校积极开展“阳光体育”活动.在一次体育活动中，小超和小明进行1000米测试，小超的速度是小明的1.25倍，小超比小明快30秒到达终点.若设小明的速度是x米/秒，则所列方程正确的是( )
A. 1250x−1000x=30 B. 30×1.25x−30x=1000
C. 1000x−10001.25x=30 D. 10001.25x−1000x=30
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 要使分式1x有意义，则x满足的条件是______．
12. 因式分解：x2−4xy+4y2= ______ ．
13. “岭南四大名园”之一的佛山“梁园”里不仅有秀水、奇石、名帖，还有随处可见的古典窗棂(如图①所示)，这也是岭南建筑艺术之一.图②是这种窗棂中的部分图案.其中∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1+∠2+∠3+∠4=280°，则∠D的度数是______ ．
14. 如图，点A、B在直线l上，D为直线l外一点，连结AD，分别以点B、D为圆心，AD、AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连结CD、BC，则四边形ABCD是平行四边形的理由是______ ．
15. 如图，将形状大小完全相同的“O”按照一定的规律(如图所示)摆放，其中图①的“O”的个数为a1，图②中的“〇”的个数为a2，图③中的“〇”的个数为a3，…以此类推，则1a1+1a2+1a3+⋯1an的值是______ (n为正整数)．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组：2(x+1)>43x≤x+5．
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x−2x−1⋅x2−1x2−4x+4，并在1，2，3中选择一个合适的值代入求值．
18. (本小题8.0分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
19. (本小题9.0分)
角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等.”是一条常用定理，灵活应用这个定理解决实际问题，往往能起到事半功倍的效果；如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线．
(1)若CD=6cm，求BC的长；
(2)判断AB、BC、CD之间的数量关系，并说明理由．
20. (本小题9.0分)
阅读塑造精神，阅读滋养情感，阅读增长智慧.在“书香校园”的系列活动中，某校计划购进一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书共需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书共需284元．
(1)每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为多少元？
(2)学校计划购进科技类图书和文学类图书共60本，且总费用不超过2100元，那么最多可购进科技类图书多少本？
21. (本小题9.0分)
已知，如图，点A、G、H、C在同一条直线上，AB//DC，AB=DC，AH=CG.求证：
(1)△ABG≌△CDH；
(2)四边形GBHD是平行四边形．
22. (本小题12.0分)
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.请你利用“数形结合”的思想解决以下问题.如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
(1)请直接用含a和b的代数式表示S1= ______ ，S2= ______ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式：______ (用式子表达)；
(2)请依据(1)得到的公式计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1；
(3)请用(1)中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
23. (本小题12.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AC，AB上，AD=AE，连接DE，BD，点F，P，G别为DE，BD，BC的中点．
(1)线段PF与PG的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
(2)把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接PF，PG，FG，判断△FPG的形状，并说明理由；
(3)若AD=3，AB=7，△ADE绕点A在平面内旋转过程中，请直接写出△FPG的面积取得最大值时BD的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意，当天最高气温是32℃，最低气温是26℃，包括26℃和32℃，即26≤t≤32．
故选：D．
根据2023年7月某日最高气温32°C，最低气温26°C，可列出不等式组．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是抓住关键词语，最高和最低，从而可列出不等式组．
2.【答案】A
【解析】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称和轴对称的知识，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由题意得：3m+3n3n=m+nn，
∴若分式中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值不变，
故选：C．
根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、x2+y2，两平方项同号，不能进行因式分解，故本选项不符合题意；
B、x2+x−1，在实数范围内不能进行因式分解，故本选项不符合题意；
C、x−y，不能进行因式分解，故本选项不符合题意；
D、x2−y2，符合平方差公式，能进行因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
根据多项式特点，结合平方差公式的形式与完全平方公式的结构特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式、完全平方公式的结构特点是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4．
故选：B．
直接根据直角三角形的性质得出结论．
本题考查的是含30度角的直角三角形，熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A：∠B=1：2，
∴3∠A=180°，
∴∠A=60°．
故选：A．
根据平行四边形的邻角互补，即可求得∠A的度数．
此题考查了平行四边形的性质与平行线的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由图象可得：当x>2时，kx+b<0，
所以关于x的不等式kx+b<0的解集是x>2．
故选：A．
观察函数图象得到即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式的值，解题的关键是要注意题目有两个答案，容易漏掉值为0的情况．
首先求出a=0或a=b，进而求出分式的值．
【解答】
解：∵a2−ab=0(b≠0)，
∴a=0或a=b，
当a=0时，aa+b=0．
当a=b时，aa+b=12，
故选：C．
9.【答案】B
【解析】解：∵DE是AC的中垂线，
∴DA=DC，
∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC，
∵AB=4，BC=7，
∴△ABD的周长=4+7=11，
故选：B．
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵小超的速度是小明的1.25倍，且小明的速度是x米/秒，
∴小超的速度是1.25x米/秒．
根据题意得：1000x−10001.25x=30．
故选：C．
根据小超及小明速度间的关系，可得出超的速度是1.25x米/秒，利用时间=路程÷速度，结合小超比小明快30秒到达终点，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11.【答案】x≠0
【解析】解：要使分式1x有意义，则x满足的条件是x≠0．
故答案为：x≠0．
根据分式有意义的条件是分母不等于零，进行计算即可得出答案．
本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件进行求解是解决本题的关键．
12.【答案】(x−2y)2
【解析】解：x2−4xy+4y2=x2−4xy+(2y)2=(x−2y)2，
故答案为：(x−2y)2
运用完全平方公式因式分解即可得出答案．
本题考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式是解题关键．
13.【答案】100°
【解析】解：如图，由多边形的外角和可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=280°，
∴∠5=360°−280°=80°，
∴∠CDE=180°−80°=100°，
故答案为：100°．
根据多边形外角和是360°，可求出∠5的度数，再由补角的定义进行计算即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是360°以及邻补角的定义是正确解答的前提．
14.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】解：根据尺规作图的画法可得，AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
先根据分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，得出AB=DC，AD=BC，再判断四边形ABCD是平行四边形的依据．
本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
15.【答案】nn+1
【解析】解：由题可知a1=2×1，a2=3×2，a3=4×3，a4=5×4a3=4×3，a4=5×4，…，
∴an=(n+1)n，
∴1a1+1a2+1a3+⋯1an
=12×1+13×2+14×3+…1(n+1)n
=1−12+12−13+13−14+…1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1．
故答案为：nn+1．
先根据图形得出a1，a2，a3，a4，a3，a4，…an的值，然后代入原式进行拆分，再合并计算可得结果．
此题考查了数字与图形的规律，能够把原式根据分母规律进行拆分是解题的关键．
16.【答案】解：2(x+1)>4①3x≤x+5②，
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x≤52，
则不等式组的解集为1
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：x−2x−1⋅x2−1x2−4x+4
=x−2x−1⋅(x−1)(x+1)(x−2)2
=x+1x−2，
∵x−1≠0，x−2≠0，
∴x≠1，x≠2，
∴当x=3时，
原式=3+13−2
=4．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件选取合适的数代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)先根据平移的定义分别画出点A1，B1，C1，再顺次连接即可得；
(2)先根据中心对称的定义分别画出点A2，B2，C2，再顺次连接即可得．
本题主要考查了作图−平移变换、作图−旋转变换，熟练掌握平移和中心对称图形的画法是解题关键．
19.【答案】解：(1)过D点作DE⊥AB于点E，则∠AED=∠BED=90°，
在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线．
∴DE=CD=6cm，∠B=45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE=DE=6cm，
∴BD= DE2+BE2= 62+62=6 2(cm)，
∴BC=CD+BD=(6+6 2)cm；
(2)AB=BC+CD，
理由：在Rt△ACD和Rt△AED中，
CD=EDAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AC，
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD=BC+CD，
【解析】(1)过D点作DE⊥AB于点E，则∠AED=∠BED=90°，由角平分线的性质可得DE=CD=6cm，由等腰直角三角形的性质及判定可证明△BDE为等腰直角三角形，求得BE=DE=6cm，再利用勾股定理可求解；
(2)利用HL证明Rt△ACD≌Rt△AED可得AE=AC.进而可证明AB=BC+CD．
本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识的综合运用，作恰当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设每本科技类图书的价格为x元，每本文学类图书的价格为y元，
根据题意得：2x+3y=1564x+5y=284，
解得：x=36y=28．
答：每本科技类图书的价格为36元，每本文学类图书的价格为28元；
(2)设购进科技类图书m本，则购进文学类图书(60−m)本，
根据题意得：36m+28(60−m)≤2100，
解得：m≤52.5，
∴m的最大值为52．
答：最多购进科技类图书52本．
【解析】(1)设每本科技类图书的价格为x元，每本文学类图书的价格为y元，根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需284元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进科技类图书m本，则购进文学类图书(60−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2100元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】证明：(1)∵AB//CD，
∴∠BAG=∠DCH，
∵AH=CG，
∴AH−GH=CG−GH，
即AG=CH，
在△ABG和△CDH中，
AG=CH∠BAG=∠DCHAG=CH，
∴△ABG≌△CDH(SAS)；
(2)∵△ABG≌△CDH，
∴∠AGB=∠DHC，BG=DH，
∴∠BGH=∠DHG，
∴BG//DH，
又∵BG=DH，
∴四边形GBHD是平行四边形．
【解析】(1)根据SAS可证明△ABG≌△CDH；
(2)由全等三角形的性质证出∠AGB=∠DHC，BG=DH，证出BG//DH，由平行四边形的判定可得出结论．
此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的判定．
22.【答案】a2−b2 (a+b)(a−b) a2−b2=(a+b)(a−b)
【解析】解：(1)根据题意，S1=a2−b2，S2=(a+b)(a−b)，
∵S1=S2，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：a2−b2；(a+b)(a−b)；a2−b2=(a+b)(a−b)．
(2)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(24−1)(24+1)(28+1)+1
=(28−1)(28+1)+1
=(216−1)+1
=216；
(3)设一个奇数为2n−1，另一个相邻的奇数为2n+1，则(2n+1)2−(2n−1)2
=[(2n+1)+(2n−1)](2n+1)−(2n−1)]
=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)
=4n⋅2
=8n，
∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
(1)根据图形可知S1=a2−b2，S2=(a+b)(a−b)，根据两个面积相等即可求解；
(2)根据平方差公计算即可求解；
(3)设一个奇数为2n−1，另一个相邻的奇数为2n+1，根据(1)中结论，即可求解．
本题主要考查平方差公式的运算，掌握有理数的加减乘除混合运算法则是解题的关键．
23.【答案】PF=PG PF⊥PG
【解析】解：(1)∵点P，F是BD，DE的中点，
∴PF//BA，PF=12BE，
∵点P，G是BD，BC的中点，
∴PG//CD，PG=12CD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BE=CD，
∴PF=PG，
∵PF//BA，
∴∠DPF=∠DBA，
∵PG//CA，
∴∠DPG=∠ADB，
∵∠BAC=90°，
∴∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠FPG=∠DPF+∠DPG=∠DBA+∠ADB=90°，
∴PF⊥PG，
故答案为：PF=PG，PF⊥PG；
(2)△PFG是等腰直角三角形．
理由如下：∵点F，P分别是DE，BD的中点，
∴PF//BE，PF=12BE，
∵点P，G是BD，BC的中点，
∴PG//CD，PG=12CD，
由旋转知，∠CAD=∠BAE，
∵AC=AB，AD=AE，
∴△ACD≌△ABE(SAS)，
∴∠ACD=∠ABE，CD=BE，
∵PF=12BE，PG=12CD，
∴PF=PG，
∴△PFG是等腰三角形，
∵PF//BE，∠DPF=∠DBE=∠ABE+∠ABD，
∵PG//CD，∠BGP=∠DCG，
∴∠DPG=∠PGB+∠PBG=∠DCG+∠PBG，
∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ABE+∠ABD+∠DCG+∠DBG=∠ABE+∠DCG+∠ABD+∠DBG=∠ACD+∠DCG+∠ABC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠GPF=∠ACB+∠ABC=90°，
∴△GPF是等腰直角三角形；
(3)BD= 58．
由(2)知△GPF是等腰直角三角形，
∴S△GPF=12GP2，
∴当GP最大时，S△GPF最大．
∵GP=12CD，
∴CD最大时，GP最大．
∴当点D在CA的延长线上时CD最大，
∴BD= AB2+AD2= 49+9= 58．
(1)利用三角形的中位线得出PF=12BE，PG=12CD，进而判断出BE=CD，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出∠DPF=∠DBA，∠DPG=∠ADB，最后用互余即可得出结论；
(2)证明△ACD≌△ABE(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ACD=∠ABE，CD=BE，证出PF=PG，∠GPF=∠ACB+∠ABC=90°，则可得出结论；
(3)当GP最大时，S△GPF最大．得出CD最大时，GP最大．由勾股定理可求出答案．
本题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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