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重庆市合川区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份重庆市合川区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市合川区七年级（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面调查中，最适宜采用全面调查的是( )
A. 了解市场上奶茶的质量 B. 了解一次性餐盒的卫生状况
C. 了解某型号智能手表的电池寿命 D. 了解一个班级的视力情况
2. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是( )
A. (-3,-3) B. (-3,3) C. (3,-3) D. (3,3)
3. 若a>b，则下列结论一定成立的是( )
A. -2a<-2b B. a+5bc D. a-c
A. 5 B. -5 C. ±5 D. -25
5. 下列命题中，为真命题的是( )
A. 相等的两个角为对顶角
B. 同旁内角互补
C. 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直
D. 在同一平面内，平行于同一直线的两直线平行
6. 向阳村购买玫瑰和芍药两种幼苗种植在景观大道两侧，已知购买2株玫瑰幼苗和3株芍药幼苗共需28元，购买5株玫瑰幼苗和6株芍药幼苗共需61元，若设每株玫瑰幼苗x元，每株芍药幼苗y元，则所列方程组正确的是( )
A. 3x+2y=286x+5y=61 B. 2x+3y=285x+6y=61 C. x3+y2=28x6+y5=61 D. x2+y3=28x5+y6=61
7. 实数m对应的点在数轴上的位置如图，则化简(m-2)2+(m-7)2的结果为( )
A. 2m-9 B. -5 C. 5 D. 9-2m
8. 如图，在下列选项中，不能判断DE//BC的是( )
A. ∠1=∠B
B. ∠2=∠3
C. ∠C+∠5+∠6=180°
D. ∠4=∠5
9. 已知x=2y=3是关于x，y的方程组mx+ny=23nx-my=-2的解，则5m+n的平方根为( )
A. -4和4 B. -5和5 C. -13和13 D. -27和27
10. 关于x的不等式组3x+2<2x-1x-1
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 求值：144= ．
12. 为了了解七年级学生课后阅读时长，小刚调查了某班40名学生一周的课后阅读总时长(单位：小时)，并把它绘制成频数分布直方图(每组含最小值，不含最大值)，由图可知，一周的课后阅读总时长不低于7小时的学生人数为______ ．
13. 在平面直角坐标系中，已知点M(2a+3,-2)，N(1-2a,4)，则线段MN的中点P的坐标为______ ．
14. 直线a//b，将一个直角三角板如图放置，直角顶点落在直线b上，若∠1=77°，则∠2的度数为______ ．
15. 请写出一组解为x=2y=1的关于x，y的一个二元一次方程组______ ．
16. 如图，将△ABC沿射线BC平移3个单位后得到△DEF，连接AD，若AD=3EC，则BF的长为______
17. 若关于y的不等式组y-2≤14-3y2y+2>a-y，有5个整数解，则实数a的能取到的最小整数为______ ．
18. 对于一个三位数M，若其个位上的数与百位上的数之和等于十位上的数，则称数M为“和悦数“.如：三位数583，∵5+3=8，∴583是“和悦数”；三位数678，∵6+8*7，∴678不是“和悦数”；则最小的“和悦数”为______ ；三位数M是“和悦数”，若M77为整数，则满足条件的M的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1)6425×[(-2)2+1]+3-27+23×2014；
(2)16+(-3)2+38-50+|7-52|．
20. (本小题10.0分)
端午节是我国的传统节日，民间历来有吃粽子的习惯，端午节来临之际，某商场推出四种不同口味的粽子：原味(记为A)，甜枣(记为B)，腊肉(记为C)，豆沙(记为D)，为了解消费者对四种口味粽子的喜爱情况，在端午节前对购买不同口味粽子的消费者人数进行了调查统计，并将调查情况绘制成了如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息回答下列问题：
(1)本次调查统计的总人数为______ ．
(2)将条形统计图补充完整；
(3)经预测，端午节当日，有3000名消费者会在该商场购买粽子，请估计购买腊肉味粽子的人数；
(4)如果你是该商场负责人，你将如何安排四种口味粽子的货量，请结合数据说明你的理由．
21. (本小题10.0分)
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，EF⊥CD，OG平分∠BOE．
(1)写出∠AOC的所有余角；
(2)写出∠AOE的邻补角；
(3)若∠DOG=30°，求∠BOD的度数．
22. (本小题10.0分)
(1)解方程组：3(x+y)-2(2x-y)=8,①8(x-y)-3(x+y)=-12,②
(2)解不等式组：x-3(x-1)≤4,①3x-15
在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到△AB'C'，△ABC与△ACB'C'的位置如图所示．
(1)分别写出点B，B'的坐标；
(2)请结合平移的相关知识说明△A'B'C'可由△ABC经过怎样的平移得到？
(3)点M(a+2,b-1)为△ABC内一点，其平移后的对应点为M'(9-b,2a+11)，求实数a，b的值．
24. (本小题10.0分)
如图，点E，F分别在直线AB，CD上，连接AD，CE，BF，AD分别与CE，BF相交于点G，H，∠1=∠2，∠AEC=∠BFD．
(1)求证：BF//CE；
(2)求证：∠BAD=∠ADC．
25. (本小题10.0分)
每年五、六月份是我国冬小麦的收割时间.某农业合作社租用中型收割机和小型收割机进行冬小麦收割.已知1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩．
(1)求每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦多少亩？
(2)每台中型收割机和每台小型收割机每天的租用费用分别为1800元和1000元，该合作社种植了冬小麦5350亩，合作社计划租用两型收割机共8台，恰好用5天时间将小麦全部收割，要使租用收割机的总费用不超过65000元，试求有哪几种租用方案．
26. (本小题10.0分)
如图，直线MN//PQ，点A，B分别在直线MN，PQ上．
(1)如图1，点C在直线MN，PQ之间，求证：∠MAC+∠ACB+∠CBP=360°．
(2)如图2，点C在直线MN，PQ之间，连接AC，BC，∠ACB=45°，AD//BC，点E在线段BC上且满足∠CAE=3∠CAN，试判断∠DAE与∠CBP的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，点C在直线MN上方，∠ACB=45°，AD//BC，点E在线段BC上且满足∠CAE=3∠CAN，请直接写出∠DAE，∠CBP，90°间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.了解市场上奶茶的质量，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
B.了解一次性餐盒的卫生状况，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
C.了解某型号智能手表的电池寿命，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
D.了解一个班级的视力情况，适合进行全面调查，故本选项符合题意；
故选：D．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2.【答案】C
【解析】解：第四象限中点的坐标特征P(x,y)，x>0，y<0，
∵3>0，y<-3．
故选：C．
利用各个象限中的坐标特征逐个判断即可．
本题考查各个象限中点的坐标特征，第四象限中点的坐标特征P(x,y)，x>0，y<0是突破本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵a>b，
∴2a>2b，
∴-2a<-2b，
因此选项A符合题意；
∵a>b，
∴a+5>b+5，
因此选项B不符合题意；
由于a>b，若c<0时，则ac0时，则ac>bc，
因此选项C不符合题意；
∵a>b，
∴a-c>b-c，
因此选项D不符合题意；
故选：A．
根据不等式的性质逐项进行判断即可．
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是正确解答的前提．
4.【答案】B
【解析】解：3-125=-5．
故选：B．
根据立方根的定义计算即可得解．
本题考查了立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A：相等的两个角不一定有公共顶点，即相等的两个角不一定是对顶角，A不符合题意；
B：两直线平行才有同旁内角互补，B不符合题意；
C：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，C不符合题意；
D：由平行线的传递性可知，D符合题意．
故选：D．
由对顶角的定义可判断A；
由平行线的性质可判断B；
由平行和垂直的性质可判断C，D．
本题主要考查了对顶角的定义、平行线的相关性质．本题的关键是熟练掌握定义和定理．
6.【答案】B
【解析】解：∵购买2株玫瑰幼苗和3株芍药幼苗共需28元，
∴2x+3y=28；
∵购买5株玫瑰幼苗和6株芍药幼苗共需61元，
∴5x+6y=61．
∴根据题意可列方程组2x+3y=285x+6y=61．
故选：B．
根据“购买2株玫瑰幼苗和3株芍药幼苗共需28元，购买5株玫瑰幼苗和6株芍药幼苗共需61元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由数轴可得3
原式=|m-2|+|m-7|
=m-2+7-m
=5，
故选：C．
由数轴可得3
8.【答案】D
【解析】解：A、∵∠1=∠B，
∴DE//BC，故此选项不符合题意；
B、∵∠2=∠3，
∴DE//BC，故此选项不符合题意；
C、∵∠C+∠5+∠6=180°，
∴DE//BC，故此选项不符合题意；
D、∵∠4=∠5，
∴DF//EC，故此选项符合题意；
故选：D．
直接利用平行线的判定定理分析得出答案．
此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵x=2y=3是关于x，y的方程组mx+ny=23nx-my=-2的解，
∴2m+3n=23①2n-3m=-2②，
①-②得：5m+n=25，
∵52=25，(-5)2=25，
∴25的平方根为±5，
故选：B．
将x=2y=3代入原方程组，然后将两个方程相减求得5m+n的值，最后根据平方根的定义即可求得其答案．
本题考查二元一次方程组的解及平方根的定义，结合已知条件求得5m+n=25是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：解不等式3x+2<2x-1，得x<-3，
解不等式x-1
解得m≥-4．
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小结合不等式组的解集可得m的值．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11.【答案】12
【解析】解：∵12的平方等于144，
∴144=12．
故答案为：12．
如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可解决问题．
本题比较容易，考查算术平方根的求法．要注意不要和平方根混淆而得出错误的结果±12．
12.【答案】28名
【解析】解：由图可知，一周的课后阅读总时长不低于7小时的学生人数为8+10+10=28(名)，
故答案为：28名．
将第3、4、5组人数相加即可得出答案．
本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】(2,1)
【解析】解：如图，作MC//x轴、NC//y轴，MC与NC相交于点C；点A、B分别为MC、NC的中点，连接PB、PA．
∴PA//NC，PB//MC，
∴PA⊥x轴，PB⊥y轴．
∴点A的横坐标等于点P的横坐标，点B的纵坐标等于点P的纵坐标．
点A的横坐标为2a+3+1-2a2=2，点B的纵坐标为-2+42=1．
∴P(2,1)．
故答案为：(2,1)．
作MC//x轴、NC//y轴，MC与NC相交于点C；点A、B分别为MC、NC的中点，连接PB、PA，利用三角形中位线定理即可求解．
本题考查坐标与图形的性质，用到三角形中位线定理．
14.【答案】13°
【解析】解：∵a//b，
∴∠1=∠3=77°，
∴∠2=90°-∠3=90°-77°=13°．
故答案为：13°．
先由余角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数，即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
15.【答案】x+y=3x-y=1(答案不唯一)
【解析】解：∵x=2，y=1，
∴x+y=2+1=3，x-y=2-1=1，
∴x=2y=1是二元一次方程组x+y=3x-y=1的解．
故答案为：x+y=3x-y=1(答案不唯一)．
将x=2，y=1，分别代入x+y及x-y中，即可得出x=2y=1是二元一次方程组x+y=3x-y=1的解．
本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程组的定义，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．
16.【答案】7
【解析】解：∵△ABC沿射线BC平移3个单位得到△DEF，
∴AD=BE=CF=3，
∵AD=3EC，
∴EC=1，
∴BF=BE+CE+CF=3+1+3=7，
故答案为：7．
利用平移的性质得到AD=BE=CF=3，由AD=3EC可求BC，根据线段的和差求出BF即可．
本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
17.【答案】-1
【解析】解：解不等式组y-2≤14-3y2y+2>a-y，得：a-23
∴整数解是4，3，2，1，0，
∴-1≤a-23<0，
解得：-1≤a<2，
∴实数a的最小整数解为-1．
故答案为：-1．
先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，进而求解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
18.【答案】121 693
【解析】解：(1)设这个三位数M=abc-，
∵三位数M的个位上的数与百位上的数之和等于十位上的数，
即a+c=b，
∴当a=1，c=1时，b=2，M有最小值121，
(2)∵三位数M是“和悦数”，而M77为整数，
∴M77=abc-77=100a+10b+c77=100a+10(a+c)+c77=110a+11c77=10a+c7，
∵M77为整数，
∴(10a+c)被7整除，
∵M的取最大值，且a+c=b，
∴当b=9时，a=6，c=3，符合题意，
∴M的最大值为693．
故答案为：121，693．
(1)根据题意可直接得出答案；
(2)由题意化简M77，得到(10a+c)被7整除，从而得出符合要求的M的最大值．
本题主要考查了有理数的运算，列代数式，有理数的整除特性．本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练运用是解题的关键．
19.【答案】解：(1)6425×[(-2)2+1]+3-27+23×2014
=85×(4+1)-3+23×814=85×5-3+23×92=8-3+3
=8；
(2)16+(-3)2+38-50+|7-52|=4+3+2-52+52-7
=2．
【解析】(1)先把被开方数2014化为假分数，然后利用算术平方根的定义、立方根的定义进行化简，最后按照实数的运算法则计算即可；
(2)先估算7与52的大小关系，然后按照绝对值的意义去掉绝对值符号，其它的利用算术平方根的定义、立方根的定义进行化简，即可得出结果．
本题考查了实数的运算，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值等考点的运算．
20.【答案】200
【解析】解：(1)本次调查统计的总人数为：80÷40%=200(人)，
故答案为：200；
(2)C的人数为：200-80-40-20=60(人)，
补全条形统计图如下：
(3)3000×60200=900(人)，
答：计购买腊肉味粽子的人数大约为900人；
(4)因为A、B、C、D四种口味粽子的销量比为4：2：3：1，所以多进A种货，少进D种货，B、C种适量进货即可．
(1)用A的人数除以40%可得答案；
(2)先求出喜欢吃C种粽子的人数，补全条形统计图即可；
(3)购买腊肉味粽子的人数=总人数×爱吃C种粽子的百分比；
(4)估计四种口味粽子所占比例解答即可．
本题主要考查了条形统计图，用样本估计总体与扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中获得准确的信息．
21.【答案】解：(1)∵EF⊥CD，
∴∠COE=∠COF=∠DOE=90°，
∴∠AOC+∠AOE=∠AOC+∠BOF=90°，
∴∠AOC的所有余角：∠AOE、∠BOF；
(2)∵∠BOE+∠AOE=∠AOF+∠AOE=180°，
∴∠AOE的所有补角：∠BOE、∠AOF；
(3)∴∠DOE=90°，∠DOG=30°，
∴∠EOG=60°，
∵OG平分∠BOE，
∴∠BOG=∠EOG=60°，
∴∠BOD=60°-30°=30°．
【解析】(1)根据余角的定义即可判断；
(2)根据邻补角的定义即可判断；
(3)由角平分线的定义可求∠BOG=60°，即可求出答案．
本题考查垂线，余角，角平分线的定义，邻补角的概念，关键是掌握垂线，余角，邻补角的定义，角平分线的定义．
22.【答案】解：(1)由①得x-5y=-8③，
由②得5x-11y=-12④，
③×5-④得-14y=-28，
解得y=2，
把y=2代入③得x-10=-8，
解得x=2，
所以原方程组的解为x=2y=2；
(2)解不等式①得x≤-12，
解不等式②得x<7，
所以不等式组的解集为-12≤x<7．
【解析】(1)先把方程①②变形得到x-5y=-8③和5x-11y=-12④，再利用加减消元法求出x，然后利用代入法求出x，从而得到方程组的解；
(2)分别解两个不等式得到x≥-12和x<7，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了解二元一次方程组．
23.【答案】解：(1)点B的坐标为(-5,2)，点B'的坐标为(3,-3)，
(2)△A'B'C'可由△ABC向右平移8个长度单位，再向下平移5个长度单位得到；
(3)∵点M(a+2,b-1)和点M'(9-b,2a+11)是对应点，
∴a+2+8=9-bb-1-5=2a+11，解得：a=-6b=5．
∴a=-6，b=5．
【解析】(1)观察图形中点B和点B'的位置即可得得出其坐标；
(2)观察图形中△ABC和△A'B'C'的位置的变换可得出答案；
(3)由(2)可知：将△ABC向右平移8个长度单位，再向下平移5个长度单位得到△A'B'C'，由于点M(a+2,b-1)平移后的对应点M'(9-b,2a+11)，可得出方程组a+2+8=9-bb-1-5=2a+11，解此方程组可求出a，b．
此题主要考查了点的坐标的平移，解答此题的关键是熟练掌握点的坐标的平移规律．
24.【答案】证明：(1)∵∠1=∠2，∠2=∠AHB，
∴∠1=∠AHB，
∴BF//CE(同位角相等，两直线平行)，
(2)由(1)可得出∠AEC=∠B，
∵∠AEC=∠BFD，
∴∠B=∠BFD，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
∴∠BAD=∠ADC．
【解析】(1)由∠1=∠2，∠2=∠AHB，可得BF//CE，
(2)由(1)可得出∠AEC=∠B.再结合∠AEC=∠BFD可得∠B=∠BFD，即可得出AB//CD，从而得出∠BAD=∠ADC．
本题考查平行线的性质和判断，熟练掌握平行线的性质和判断是解题关键．
25.【答案】解：(1)设每台中型收割机平均每天收割小麦x亩，每台小型收割机平均每天收割小麦y亩，
根据题意得：x+3y=430x-y=70，
解得：x=160y=90．
答：每台中型收割机平均每天收割小麦160亩，每台小型收割机平均每天收割小麦90亩；
(2)设租用m台中型收割机，则租用(8-m)台小型收割机，
根据题意得：160×5m+90×5(8-m)≥53501800×5m+1000×5(8-m)≤65000，
解得：5≤m≤254，
又∵m为正整数，
∴m可以为5，6，
∴共有2种租用方案，
方案1：租用5台中型收割机，3台小型收割机；
方案2：租用6台中型收割机，2台小型收割机．
【解析】(1)设每台中型收割机平均每天收割小麦x亩，每台小型收割机平均每天收割小麦y亩，根据“1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设租用m台中型收割机，则租用(8-m)台小型收割机，根据“恰好用5天时间将小麦全部收割，且租用收割机的总费用不超过65000元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租用方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
26.【答案】(1)证明：过点C作CH//MN，
∵MN//PQ，
∴MN//MN//PQ，
∴∠MAC+∠ACH=180°，∠BCH+∠CBP=180°，
∴∠MAC+∠ACH+∠BCH+∠CBP=360°，
即：∠MAC+ACB+∠CBP=360°．
(2)解：∠DAE与∠CBP的数量关系是：∠DAE+3∠CBP=540°．
证明如下：
设∠CAN=α，∠CBP=β，
∴∠CAE=3∠CAN=3α，∠MAC=180°-∠CAN=180°-α，
∵∠ACB=45°，
∴∠AEC=180°-∠ACB-∠CAE=180°-45°-3α=135°-3α，
∵AD//PQ，
由(1)可知：∠MAC+∠ACB+∠CBP=360°，
∴180°-α+45°+β=360°，
∴α=β-135°，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEC=135°-3α=135°-3(β-135°)=540°-3β，
∴∠DAE+3β=540°，
即：∠DAE+3∠CBP=540°，
(3)解：∠DAE，∠CBP，90°间的数量关系是：3∠CBP-∠DAE=3×90°．
理由如下：
设∠CAN=α，∠CBP=β，
∴∠CAE=3∠CAN=3α，
∴∠NAE=∠CAE-∠CAN=2α，
∴∠MAE=180°-∠NAE=180°-2α，
∵∠ACB=45°，
∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=3α+45°，
由(1)可知：∠MAE+∠AEB+∠CBP=360°，
∴180°-2α+3α+45°+β=360°，
∴α=135°-β，
∵AD//BC，
∴∠DAE+∠AEB=180°，
∴∠DAE=180°-∠AEB=180°-(3α+45°)=135°-3α，
又∵α=135°-β，
∴∠DAE=135°-3(135°-β)=3β-270°，
∴3β-∠DAE=270°，
即：3∠CBP-∠DAE=3×90°．
【解析】(1)过点C作CH//MN，由平行线的性质得∠MAC+∠ACH=180°，∠BCH+∠CBP=180°，据此可得出结论；
(2)设∠CAN=α，∠CBP=β，则∠CAE=3∠CAN=3α，∠MAC=180°-α，由三角形的内角和定理得∠AEC=135°-3α，然后由(1)的结论∠MAC+∠ACB+∠CBP=360°，即α=β-135°，最后由AD//BC得∠DAE=∠AEC=135°-3α，将α=β-135°代入得∠DAE+3β=540°，据此可得出∠DAE与∠CBP的数量关系；
(3)设∠CAN=α，∠CBP=β，则∠CAE=3∠CAN=3α，∠NAE=2α，∠MAE=180°-2α，由(1)的结论得∠MAE+∠AEB+∠CBP=360°，即α=135°-β，再由AD//BC得∠DAE+∠AEB=180°，进而得∠DAE=135°-3α，将α=135°-β代入得∠DAE=3β-270°，据此可得∠DAE，∠CBP，90°间的数量关系．
此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质：两直线平⇔同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行⇔同旁内角互补．
2022-2023学年重庆市合川区七年级（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面调查中，最适宜采用全面调查的是( )
A. 了解市场上奶茶的质量 B. 了解一次性餐盒的卫生状况
C. 了解某型号智能手表的电池寿命 D. 了解一个班级的视力情况
2. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是( )
A. (-3,-3) B. (-3,3) C. (3,-3) D. (3,3)
3. 若a>b，则下列结论一定成立的是( )
A. -2a<-2b B. a+5
A. 5 B. -5 C. ±5 D. -25
5. 下列命题中，为真命题的是( )
A. 相等的两个角为对顶角
B. 同旁内角互补
C. 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直
D. 在同一平面内，平行于同一直线的两直线平行
6. 向阳村购买玫瑰和芍药两种幼苗种植在景观大道两侧，已知购买2株玫瑰幼苗和3株芍药幼苗共需28元，购买5株玫瑰幼苗和6株芍药幼苗共需61元，若设每株玫瑰幼苗x元，每株芍药幼苗y元，则所列方程组正确的是( )
A. 3x+2y=286x+5y=61 B. 2x+3y=285x+6y=61 C. x3+y2=28x6+y5=61 D. x2+y3=28x5+y6=61
7. 实数m对应的点在数轴上的位置如图，则化简(m-2)2+(m-7)2的结果为( )
A. 2m-9 B. -5 C. 5 D. 9-2m
8. 如图，在下列选项中，不能判断DE//BC的是( )
A. ∠1=∠B
B. ∠2=∠3
C. ∠C+∠5+∠6=180°
D. ∠4=∠5
9. 已知x=2y=3是关于x，y的方程组mx+ny=23nx-my=-2的解，则5m+n的平方根为( )
A. -4和4 B. -5和5 C. -13和13 D. -27和27
10. 关于x的不等式组3x+2<2x-1x-1
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 求值：144= ．
12. 为了了解七年级学生课后阅读时长，小刚调查了某班40名学生一周的课后阅读总时长(单位：小时)，并把它绘制成频数分布直方图(每组含最小值，不含最大值)，由图可知，一周的课后阅读总时长不低于7小时的学生人数为______ ．
13. 在平面直角坐标系中，已知点M(2a+3,-2)，N(1-2a,4)，则线段MN的中点P的坐标为______ ．
14. 直线a//b，将一个直角三角板如图放置，直角顶点落在直线b上，若∠1=77°，则∠2的度数为______ ．
15. 请写出一组解为x=2y=1的关于x，y的一个二元一次方程组______ ．
16. 如图，将△ABC沿射线BC平移3个单位后得到△DEF，连接AD，若AD=3EC，则BF的长为______
17. 若关于y的不等式组y-2≤14-3y2y+2>a-y，有5个整数解，则实数a的能取到的最小整数为______ ．
18. 对于一个三位数M，若其个位上的数与百位上的数之和等于十位上的数，则称数M为“和悦数“.如：三位数583，∵5+3=8，∴583是“和悦数”；三位数678，∵6+8*7，∴678不是“和悦数”；则最小的“和悦数”为______ ；三位数M是“和悦数”，若M77为整数，则满足条件的M的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1)6425×[(-2)2+1]+3-27+23×2014；
(2)16+(-3)2+38-50+|7-52|．
20. (本小题10.0分)
端午节是我国的传统节日，民间历来有吃粽子的习惯，端午节来临之际，某商场推出四种不同口味的粽子：原味(记为A)，甜枣(记为B)，腊肉(记为C)，豆沙(记为D)，为了解消费者对四种口味粽子的喜爱情况，在端午节前对购买不同口味粽子的消费者人数进行了调查统计，并将调查情况绘制成了如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息回答下列问题：
(1)本次调查统计的总人数为______ ．
(2)将条形统计图补充完整；
(3)经预测，端午节当日，有3000名消费者会在该商场购买粽子，请估计购买腊肉味粽子的人数；
(4)如果你是该商场负责人，你将如何安排四种口味粽子的货量，请结合数据说明你的理由．
21. (本小题10.0分)
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，EF⊥CD，OG平分∠BOE．
(1)写出∠AOC的所有余角；
(2)写出∠AOE的邻补角；
(3)若∠DOG=30°，求∠BOD的度数．
22. (本小题10.0分)
(1)解方程组：3(x+y)-2(2x-y)=8,①8(x-y)-3(x+y)=-12,②
(2)解不等式组：x-3(x-1)≤4,①3x-15
在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到△AB'C'，△ABC与△ACB'C'的位置如图所示．
(1)分别写出点B，B'的坐标；
(2)请结合平移的相关知识说明△A'B'C'可由△ABC经过怎样的平移得到？
(3)点M(a+2,b-1)为△ABC内一点，其平移后的对应点为M'(9-b,2a+11)，求实数a，b的值．
24. (本小题10.0分)
如图，点E，F分别在直线AB，CD上，连接AD，CE，BF，AD分别与CE，BF相交于点G，H，∠1=∠2，∠AEC=∠BFD．
(1)求证：BF//CE；
(2)求证：∠BAD=∠ADC．
25. (本小题10.0分)
每年五、六月份是我国冬小麦的收割时间.某农业合作社租用中型收割机和小型收割机进行冬小麦收割.已知1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩．
(1)求每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦多少亩？
(2)每台中型收割机和每台小型收割机每天的租用费用分别为1800元和1000元，该合作社种植了冬小麦5350亩，合作社计划租用两型收割机共8台，恰好用5天时间将小麦全部收割，要使租用收割机的总费用不超过65000元，试求有哪几种租用方案．
26. (本小题10.0分)
如图，直线MN//PQ，点A，B分别在直线MN，PQ上．
(1)如图1，点C在直线MN，PQ之间，求证：∠MAC+∠ACB+∠CBP=360°．
(2)如图2，点C在直线MN，PQ之间，连接AC，BC，∠ACB=45°，AD//BC，点E在线段BC上且满足∠CAE=3∠CAN，试判断∠DAE与∠CBP的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，点C在直线MN上方，∠ACB=45°，AD//BC，点E在线段BC上且满足∠CAE=3∠CAN，请直接写出∠DAE，∠CBP，90°间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.了解市场上奶茶的质量，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
B.了解一次性餐盒的卫生状况，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
C.了解某型号智能手表的电池寿命，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
D.了解一个班级的视力情况，适合进行全面调查，故本选项符合题意；
故选：D．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2.【答案】C
【解析】解：第四象限中点的坐标特征P(x,y)，x>0，y<0，
∵3>0，y<-3．
故选：C．
利用各个象限中的坐标特征逐个判断即可．
本题考查各个象限中点的坐标特征，第四象限中点的坐标特征P(x,y)，x>0，y<0是突破本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵a>b，
∴2a>2b，
∴-2a<-2b，
因此选项A符合题意；
∵a>b，
∴a+5>b+5，
因此选项B不符合题意；
由于a>b，若c<0时，则ac
因此选项C不符合题意；
∵a>b，
∴a-c>b-c，
因此选项D不符合题意；
故选：A．
根据不等式的性质逐项进行判断即可．
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是正确解答的前提．
4.【答案】B
【解析】解：3-125=-5．
故选：B．
根据立方根的定义计算即可得解．
本题考查了立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A：相等的两个角不一定有公共顶点，即相等的两个角不一定是对顶角，A不符合题意；
B：两直线平行才有同旁内角互补，B不符合题意；
C：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，C不符合题意；
D：由平行线的传递性可知，D符合题意．
故选：D．
由对顶角的定义可判断A；
由平行线的性质可判断B；
由平行和垂直的性质可判断C，D．
本题主要考查了对顶角的定义、平行线的相关性质．本题的关键是熟练掌握定义和定理．
6.【答案】B
【解析】解：∵购买2株玫瑰幼苗和3株芍药幼苗共需28元，
∴2x+3y=28；
∵购买5株玫瑰幼苗和6株芍药幼苗共需61元，
∴5x+6y=61．
∴根据题意可列方程组2x+3y=285x+6y=61．
故选：B．
根据“购买2株玫瑰幼苗和3株芍药幼苗共需28元，购买5株玫瑰幼苗和6株芍药幼苗共需61元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由数轴可得3
原式=|m-2|+|m-7|
=m-2+7-m
=5，
故选：C．
由数轴可得3
8.【答案】D
【解析】解：A、∵∠1=∠B，
∴DE//BC，故此选项不符合题意；
B、∵∠2=∠3，
∴DE//BC，故此选项不符合题意；
C、∵∠C+∠5+∠6=180°，
∴DE//BC，故此选项不符合题意；
D、∵∠4=∠5，
∴DF//EC，故此选项符合题意；
故选：D．
直接利用平行线的判定定理分析得出答案．
此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵x=2y=3是关于x，y的方程组mx+ny=23nx-my=-2的解，
∴2m+3n=23①2n-3m=-2②，
①-②得：5m+n=25，
∵52=25，(-5)2=25，
∴25的平方根为±5，
故选：B．
将x=2y=3代入原方程组，然后将两个方程相减求得5m+n的值，最后根据平方根的定义即可求得其答案．
本题考查二元一次方程组的解及平方根的定义，结合已知条件求得5m+n=25是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：解不等式3x+2<2x-1，得x<-3，
解不等式x-1
解得m≥-4．
故选：A．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小结合不等式组的解集可得m的值．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11.【答案】12
【解析】解：∵12的平方等于144，
∴144=12．
故答案为：12．
如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可解决问题．
本题比较容易，考查算术平方根的求法．要注意不要和平方根混淆而得出错误的结果±12．
12.【答案】28名
【解析】解：由图可知，一周的课后阅读总时长不低于7小时的学生人数为8+10+10=28(名)，
故答案为：28名．
将第3、4、5组人数相加即可得出答案．
本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】(2,1)
【解析】解：如图，作MC//x轴、NC//y轴，MC与NC相交于点C；点A、B分别为MC、NC的中点，连接PB、PA．
∴PA//NC，PB//MC，
∴PA⊥x轴，PB⊥y轴．
∴点A的横坐标等于点P的横坐标，点B的纵坐标等于点P的纵坐标．
点A的横坐标为2a+3+1-2a2=2，点B的纵坐标为-2+42=1．
∴P(2,1)．
故答案为：(2,1)．
作MC//x轴、NC//y轴，MC与NC相交于点C；点A、B分别为MC、NC的中点，连接PB、PA，利用三角形中位线定理即可求解．
本题考查坐标与图形的性质，用到三角形中位线定理．
14.【答案】13°
【解析】解：∵a//b，
∴∠1=∠3=77°，
∴∠2=90°-∠3=90°-77°=13°．
故答案为：13°．
先由余角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数，即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
15.【答案】x+y=3x-y=1(答案不唯一)
【解析】解：∵x=2，y=1，
∴x+y=2+1=3，x-y=2-1=1，
∴x=2y=1是二元一次方程组x+y=3x-y=1的解．
故答案为：x+y=3x-y=1(答案不唯一)．
将x=2，y=1，分别代入x+y及x-y中，即可得出x=2y=1是二元一次方程组x+y=3x-y=1的解．
本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程组的定义，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．
16.【答案】7
【解析】解：∵△ABC沿射线BC平移3个单位得到△DEF，
∴AD=BE=CF=3，
∵AD=3EC，
∴EC=1，
∴BF=BE+CE+CF=3+1+3=7，
故答案为：7．
利用平移的性质得到AD=BE=CF=3，由AD=3EC可求BC，根据线段的和差求出BF即可．
本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
17.【答案】-1
【解析】解：解不等式组y-2≤14-3y2y+2>a-y，得：a-23
∴整数解是4，3，2，1，0，
∴-1≤a-23<0，
解得：-1≤a<2，
∴实数a的最小整数解为-1．
故答案为：-1．
先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，进而求解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
18.【答案】121 693
【解析】解：(1)设这个三位数M=abc-，
∵三位数M的个位上的数与百位上的数之和等于十位上的数，
即a+c=b，
∴当a=1，c=1时，b=2，M有最小值121，
(2)∵三位数M是“和悦数”，而M77为整数，
∴M77=abc-77=100a+10b+c77=100a+10(a+c)+c77=110a+11c77=10a+c7，
∵M77为整数，
∴(10a+c)被7整除，
∵M的取最大值，且a+c=b，
∴当b=9时，a=6，c=3，符合题意，
∴M的最大值为693．
故答案为：121，693．
(1)根据题意可直接得出答案；
(2)由题意化简M77，得到(10a+c)被7整除，从而得出符合要求的M的最大值．
本题主要考查了有理数的运算，列代数式，有理数的整除特性．本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练运用是解题的关键．
19.【答案】解：(1)6425×[(-2)2+1]+3-27+23×2014
=85×(4+1)-3+23×814=85×5-3+23×92=8-3+3
=8；
(2)16+(-3)2+38-50+|7-52|=4+3+2-52+52-7
=2．
【解析】(1)先把被开方数2014化为假分数，然后利用算术平方根的定义、立方根的定义进行化简，最后按照实数的运算法则计算即可；
(2)先估算7与52的大小关系，然后按照绝对值的意义去掉绝对值符号，其它的利用算术平方根的定义、立方根的定义进行化简，即可得出结果．
本题考查了实数的运算，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值等考点的运算．
20.【答案】200
【解析】解：(1)本次调查统计的总人数为：80÷40%=200(人)，
故答案为：200；
(2)C的人数为：200-80-40-20=60(人)，
补全条形统计图如下：
(3)3000×60200=900(人)，
答：计购买腊肉味粽子的人数大约为900人；
(4)因为A、B、C、D四种口味粽子的销量比为4：2：3：1，所以多进A种货，少进D种货，B、C种适量进货即可．
(1)用A的人数除以40%可得答案；
(2)先求出喜欢吃C种粽子的人数，补全条形统计图即可；
(3)购买腊肉味粽子的人数=总人数×爱吃C种粽子的百分比；
(4)估计四种口味粽子所占比例解答即可．
本题主要考查了条形统计图，用样本估计总体与扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中获得准确的信息．
21.【答案】解：(1)∵EF⊥CD，
∴∠COE=∠COF=∠DOE=90°，
∴∠AOC+∠AOE=∠AOC+∠BOF=90°，
∴∠AOC的所有余角：∠AOE、∠BOF；
(2)∵∠BOE+∠AOE=∠AOF+∠AOE=180°，
∴∠AOE的所有补角：∠BOE、∠AOF；
(3)∴∠DOE=90°，∠DOG=30°，
∴∠EOG=60°，
∵OG平分∠BOE，
∴∠BOG=∠EOG=60°，
∴∠BOD=60°-30°=30°．
【解析】(1)根据余角的定义即可判断；
(2)根据邻补角的定义即可判断；
(3)由角平分线的定义可求∠BOG=60°，即可求出答案．
本题考查垂线，余角，角平分线的定义，邻补角的概念，关键是掌握垂线，余角，邻补角的定义，角平分线的定义．
22.【答案】解：(1)由①得x-5y=-8③，
由②得5x-11y=-12④，
③×5-④得-14y=-28，
解得y=2，
把y=2代入③得x-10=-8，
解得x=2，
所以原方程组的解为x=2y=2；
(2)解不等式①得x≤-12，
解不等式②得x<7，
所以不等式组的解集为-12≤x<7．
【解析】(1)先把方程①②变形得到x-5y=-8③和5x-11y=-12④，再利用加减消元法求出x，然后利用代入法求出x，从而得到方程组的解；
(2)分别解两个不等式得到x≥-12和x<7，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了解二元一次方程组．
23.【答案】解：(1)点B的坐标为(-5,2)，点B'的坐标为(3,-3)，
(2)△A'B'C'可由△ABC向右平移8个长度单位，再向下平移5个长度单位得到；
(3)∵点M(a+2,b-1)和点M'(9-b,2a+11)是对应点，
∴a+2+8=9-bb-1-5=2a+11，解得：a=-6b=5．
∴a=-6，b=5．
【解析】(1)观察图形中点B和点B'的位置即可得得出其坐标；
(2)观察图形中△ABC和△A'B'C'的位置的变换可得出答案；
(3)由(2)可知：将△ABC向右平移8个长度单位，再向下平移5个长度单位得到△A'B'C'，由于点M(a+2,b-1)平移后的对应点M'(9-b,2a+11)，可得出方程组a+2+8=9-bb-1-5=2a+11，解此方程组可求出a，b．
此题主要考查了点的坐标的平移，解答此题的关键是熟练掌握点的坐标的平移规律．
24.【答案】证明：(1)∵∠1=∠2，∠2=∠AHB，
∴∠1=∠AHB，
∴BF//CE(同位角相等，两直线平行)，
(2)由(1)可得出∠AEC=∠B，
∵∠AEC=∠BFD，
∴∠B=∠BFD，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
∴∠BAD=∠ADC．
【解析】(1)由∠1=∠2，∠2=∠AHB，可得BF//CE，
(2)由(1)可得出∠AEC=∠B.再结合∠AEC=∠BFD可得∠B=∠BFD，即可得出AB//CD，从而得出∠BAD=∠ADC．
本题考查平行线的性质和判断，熟练掌握平行线的性质和判断是解题关键．
25.【答案】解：(1)设每台中型收割机平均每天收割小麦x亩，每台小型收割机平均每天收割小麦y亩，
根据题意得：x+3y=430x-y=70，
解得：x=160y=90．
答：每台中型收割机平均每天收割小麦160亩，每台小型收割机平均每天收割小麦90亩；
(2)设租用m台中型收割机，则租用(8-m)台小型收割机，
根据题意得：160×5m+90×5(8-m)≥53501800×5m+1000×5(8-m)≤65000，
解得：5≤m≤254，
又∵m为正整数，
∴m可以为5，6，
∴共有2种租用方案，
方案1：租用5台中型收割机，3台小型收割机；
方案2：租用6台中型收割机，2台小型收割机．
【解析】(1)设每台中型收割机平均每天收割小麦x亩，每台小型收割机平均每天收割小麦y亩，根据“1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设租用m台中型收割机，则租用(8-m)台小型收割机，根据“恰好用5天时间将小麦全部收割，且租用收割机的总费用不超过65000元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租用方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
26.【答案】(1)证明：过点C作CH//MN，
∵MN//PQ，
∴MN//MN//PQ，
∴∠MAC+∠ACH=180°，∠BCH+∠CBP=180°，
∴∠MAC+∠ACH+∠BCH+∠CBP=360°，
即：∠MAC+ACB+∠CBP=360°．
(2)解：∠DAE与∠CBP的数量关系是：∠DAE+3∠CBP=540°．
证明如下：
设∠CAN=α，∠CBP=β，
∴∠CAE=3∠CAN=3α，∠MAC=180°-∠CAN=180°-α，
∵∠ACB=45°，
∴∠AEC=180°-∠ACB-∠CAE=180°-45°-3α=135°-3α，
∵AD//PQ，
由(1)可知：∠MAC+∠ACB+∠CBP=360°，
∴180°-α+45°+β=360°，
∴α=β-135°，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEC=135°-3α=135°-3(β-135°)=540°-3β，
∴∠DAE+3β=540°，
即：∠DAE+3∠CBP=540°，
(3)解：∠DAE，∠CBP，90°间的数量关系是：3∠CBP-∠DAE=3×90°．
理由如下：
设∠CAN=α，∠CBP=β，
∴∠CAE=3∠CAN=3α，
∴∠NAE=∠CAE-∠CAN=2α，
∴∠MAE=180°-∠NAE=180°-2α，
∵∠ACB=45°，
∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=3α+45°，
由(1)可知：∠MAE+∠AEB+∠CBP=360°，
∴180°-2α+3α+45°+β=360°，
∴α=135°-β，
∵AD//BC，
∴∠DAE+∠AEB=180°，
∴∠DAE=180°-∠AEB=180°-(3α+45°)=135°-3α，
又∵α=135°-β，
∴∠DAE=135°-3(135°-β)=3β-270°，
∴3β-∠DAE=270°，
即：3∠CBP-∠DAE=3×90°．
【解析】(1)过点C作CH//MN，由平行线的性质得∠MAC+∠ACH=180°，∠BCH+∠CBP=180°，据此可得出结论；
(2)设∠CAN=α，∠CBP=β，则∠CAE=3∠CAN=3α，∠MAC=180°-α，由三角形的内角和定理得∠AEC=135°-3α，然后由(1)的结论∠MAC+∠ACB+∠CBP=360°，即α=β-135°，最后由AD//BC得∠DAE=∠AEC=135°-3α，将α=β-135°代入得∠DAE+3β=540°，据此可得出∠DAE与∠CBP的数量关系；
(3)设∠CAN=α，∠CBP=β，则∠CAE=3∠CAN=3α，∠NAE=2α，∠MAE=180°-2α，由(1)的结论得∠MAE+∠AEB+∠CBP=360°，即α=135°-β，再由AD//BC得∠DAE+∠AEB=180°，进而得∠DAE=135°-3α，将α=135°-β代入得∠DAE=3β-270°，据此可得∠DAE，∠CBP，90°间的数量关系．
此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质：两直线平⇔同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行⇔同旁内角互补．
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