2022-2023学年重庆市合川区合阳中学八年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年重庆市合川区合阳中学八年级（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市合川区合阳中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号所对应的方框涂黑.
1．（4分）下列倡导节约用水的标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列分式是最简分式的是（　　）
A．9b3a B．ab2a2b C．a+ba−b D．aa2−ab
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．（a3）4＝a7 B．a6a3=a2
C．3a2•4a3＝12a5 D．（a2b）2＝a2b2
4．（4分）在△ABC中，∠A+∠B＝90°，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
5．（4分）下列命题中，正确的是（　　）
A．周长相等的两个等腰三角形全等
B．三个角分别相等的两个三角形全等
C．有两边及一个角对应相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
6．（4分）已知（x﹣4）（x﹣9）＝x2+mx+36，则m的值为（　　）
A．﹣13 B．13 C．﹣5 D．5
7．（4分）等腰三角形的一个外角是80°，则该等腰三角形的底角的大小为（　　）
A．40° B．50° C．40°或100° D．50°或100°
8．（4分）一个多边形的每个内角都等于140°，则这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（4分）已知2x﹣y＝3，则代数式x2﹣xy+14y2+74的值为（　　）
A．434 B．134 C．3 D．4
10．（4分）如图，等边△ABC中，BD是AC边上的高，DE⊥AB交AB于点E，若BE＝3，则△ABC的边长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．无法确定
11．（4分）关于x的不等式组x−23≥x+1x+1＜m的解集为x≤−52，且关于y的分式方程2my−2+2=y−42−y的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为边BC上一点，过点A作AE⊥AD，过点C作CE⊥BC，AE与CE相交于点E，∠DAE的平分线交BC于F，连接EF．下列结论：①AD＝AE；②∠AEC+∠AEF＝180°；③DF﹣FC＜BD；④S△ABC﹣S△CEF＝2S△ADF.其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）计算6xy5z2⋅10z39y的结果是 　 　．
14．（4分）因式分解x3+2x2y+xy2＝　 　．
15．（4分）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 　 　．

16．（4分）“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．千门万户曈曈日，总把新桃换旧符．”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事．小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼 　 　只．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．（8分）计算：
（1）a•a2•a5+（a2）4+（﹣2a4）2；
（2）(16a2b+14a3b2−12a2b3)÷112a2b．
18．（8分）解分式方程：
（1）2x+3=1x−2；
（2）x+5x−5=1+10x2−10x+25．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣5，1），C（﹣3，﹣3），△A1B1C1与△ABC关于y轴对称．
（1）在图中画出△A1B1C1并连接AC1，CC1；
（2）求△ACC1的面积．

20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AB于点F．△ABC的一个外角∠ACD的平分线与BE的延长线交于点G．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若∠A＝80°，求∠G的大小．

21．（10分）（1）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（2a+b）2，其中a＝1，b＝﹣2；
（2）已知（x﹣y）2＝49，xy＝﹣6，求x3y+2x2y2+xy3的值．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上一点，CD＝CE，∠BEC＝∠D，∠BAD+∠BCF＝180°．
（1）求证：EB＝DF；
（2）连接AC，若AC平分∠BCF，求证：AB＝AF．

23．（10分）“颗粒归仓，饭碗更牢”．夏收是农业四季里的关键一环，冬小麦是夏收的主体粮食，每年的五、六月份是我国冬小麦的收割时间．红星农业合作社租用小型收割机和中型收割机参与冬小麦收割．已知每台中型收割机每小时比每台小型收割机多收割2亩小麦．收割完10亩小麦，每台中型收割机所用时间为每台小型收割机所用时间的45．
（1）求每台小型、中型收割机每小时分别收割多少亩小麦；
（2）合作社已租用3台小型收割机和2台中型收割机．由于天气变化，为加快收割进度，合作社决定再租用4台两种型号的收割机．每台小型、中型收割机工作一小时的费用分别为400元、800元，若要使每天收割的小麦不少于480亩，求应再租用几台小型收割机使得每天的费用最少（两种型号收割机每天的工作时长均为6小时）？
24．（10分）若一个四位自然数n的千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称n为“间隔数”．将“间隔数”n的千位、百位数字交换，十位、个位数字交换，得到一个新的“间隔数”n'，记F(n)=n+n′101．
（1）求F（1919），F（8787）；
（2）求证：对任意一个“间隔数”n，F（n）能被11整除．
25．（10分）如图，在等边△ABC中，D为BC边的中点，点E为线段AD上一点，连接CE，以CE为边构造等边△CEF（点B，E，F不共线），连接AF，BF．
（1）求证：BF垂直平分AC；
（2）如图2，作CE关于直线AC对称的线段CE'，连接E'F，猜想E'F与BC的位置关系并说明理由．



2022-2023学年重庆市合川区合阳中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号所对应的方框涂黑.
1．（4分）下列倡导节约用水的标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）下列分式是最简分式的是（　　）
A．9b3a B．ab2a2b C．a+ba−b D．aa2−ab
【分析】根据最简分式的概念判断即可．
【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因数3，不是最简分式，不符合题意；
B、该分式的分子、分母中含有公因式ab，不是最简分式，不符合题意；
C、该分式符合最简分式的概念，符合题意；
D、该分式的分子、分母中含有公因式a，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．（a3）4＝a7 B．a6a3=a2
C．3a2•4a3＝12a5 D．（a2b）2＝a2b2
【分析】利用同底数幂的除法的法则，单项式乘单项式的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（a3）4＝a12，故A不符合题意；
B、a6a3=a3，故B不符合题意；
C、3a2•4a3＝12a5，故C符合题意；
D、（a2b）2＝a4b2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（4分）在△ABC中，∠A+∠B＝90°，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【分析】根据∠A+∠B＝90°，应用三角形的内角和定理，求出∠C的度数，即可判断出△ABC是什么三角形．
【解答】解：∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
5．（4分）下列命题中，正确的是（　　）
A．周长相等的两个等腰三角形全等
B．三个角分别相等的两个三角形全等
C．有两边及一个角对应相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
【分析】依据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形．即可求解．
【解答】解：A．周长相等的两个等腰三角形全等．故本选项正确，符合题意；
B、AAA不能判定这两个三角形全等，故本选项错误，不符合题意；
C、有两边及夹角相等的两个三角形全等，故本选项错误，不符合题意；
D．根据全等三角形的判定定理SSS知，三条边对应相等的两个三角形全等．故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，掌握判定两个三角形全等的一般方法SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键．
6．（4分）已知（x﹣4）（x﹣9）＝x2+mx+36，则m的值为（　　）
A．﹣13 B．13 C．﹣5 D．5
【分析】根据多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘相乘，再把所得的积相加即可求解．
【解答】解：∵（x﹣4）（x﹣9）
＝x2﹣9x﹣4x+36
＝x2﹣13x+36，
又∵（x﹣4）（x﹣9）＝x2+mx+36，
∴x2﹣13x+36＝x2+mx+36，
∴m＝﹣13，
故选：A．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．
7．（4分）等腰三角形的一个外角是80°，则该等腰三角形的底角的大小为（　　）
A．40° B．50° C．40°或100° D．50°或100°
【分析】首先判断出与80°角相邻的内角是底角还是顶角，然后再结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行计算．
【解答】解：与80°角相邻的内角度数为100°；
当100°角是底角时，100°+100°＞180°，不符合三角形内角和定理，此种情况不成立；
当100°角是顶角时，底角的度数＝80°÷2＝40°；
故此等腰三角形的底角为40°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
8．（4分）一个多边形的每个内角都等于140°，则这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）进行求解即可．
【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝140°•n，
解得n＝9，
故多边形是九边形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理．解题时注意：n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．
9．（4分）已知2x﹣y＝3，则代数式x2﹣xy+14y2+74的值为（　　）
A．434 B．134 C．3 D．4
【分析】先把前三项分解因式，再整体代入求解．
【解答】解：∵2x﹣y＝3，
∴x2﹣xy+14y2+74
=14（4x2﹣4xy+y2）+74
=14（2x﹣y）2+74
=14×32+74
＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整体代入法是解题的关键．
10．（4分）如图，等边△ABC中，BD是AC边上的高，DE⊥AB交AB于点E，若BE＝3，则△ABC的边长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【分析】利用等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ABD＝30°，然后在Rt△BED中，利用含30度角的直角三角形的性质可得DE=3，BD＝23，最后在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=12∠ABC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵BE＝3，
∴DE=BE3=33=3，
∴BD＝2DE＝23，
在Rt△ABD中，AD=BD3=233=2，
∴AB＝2AD＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
11．（4分）关于x的不等式组x−23≥x+1x+1＜m的解集为x≤−52，且关于y的分式方程2my−2+2=y−42−y的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据不等式组的解集，分式方程的解确定m的值，再求和即可．
【解答】解：不等式组中的不等式1的解集为x≤−52，不等式组中的不等式2的解集为x＜m﹣1，
∵关于x的不等式组x−23≥x+1x+1＜m的解集为x≤−52，
∴m﹣1＞−52，
即m＞−32，
∵关于y的分式方程2my−2+2=y−42−y的解为y=8−2m3，分式方程的解为正数，
∴8−2m3＞0且8−2m3≠2，
即m＜4且m≠1，
因此−32＜m＜4且m≠1，
∴所有符合条件的整数m为﹣1，0，2，3，
因此这些数的和为﹣1+2+3＝4，
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，分式方程的解，掌握分式方程的解法，一元一次不等式组的解法是正确解答的关键．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为边BC上一点，过点A作AE⊥AD，过点C作CE⊥BC，AE与CE相交于点E，∠DAE的平分线交BC于F，连接EF．下列结论：①AD＝AE；②∠AEC+∠AEF＝180°；③DF﹣FC＜BD；④S△ABC﹣S△CEF＝2S△ADF.其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】证明△ABD≌△ACE（ASA），△ADF≌△AEF（SAS），根据全等三角形的性质进行逐一判断即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵CE⊥BC，
∴∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠B＝∠ACE，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠DAC＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∠BAD=∠CAEAB=AC∠B=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD＝AE，故①正确；
∵AF是∠DAE的平分线，
∴∠DAF＝∠EAF，
在△ADF和△AEF中，
AD=AE∠DAF=∠EAFAF=AF，
∴△ADF≌△AEF（SAS），
∴∠ADF＝∠AEF，
在四边形ADCE中，
∵∠DAE＝∠DCE＝90°，
∴∠AEC+∠ADF＝180°；
∴∠AEC+∠AEF＝180°，故②正确；
∵△ADF≌△AEF，
∴DF＝EF，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵EF﹣FC＜CE，
∴DF﹣FC＜BD，故③正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴S△ABD＝S△ACE，
∴S△ABC＝S四边形ADCE，
∵△ADF≌△AEF，
∴S△ADF＝S△AEF，
∵S四边形ADCE﹣S△CEF＝2S△ADF．
∴S△ABC﹣S△CEF＝2S△ADF.故④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，共4个，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，四边形的面积，三角形三边的关系，解决本题的关键是得到△ADF≌△AEF．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）计算6xy5z2⋅10z39y的结果是 　4xz3　．
【分析】根据分式的乘法运算即可求出答案．
【解答】解：原式=60xyz345yz2
=4xz3．
【点评】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘法，本题属于基础题型．
14．（4分）因式分解x3+2x2y+xy2＝　x（x+y）2　．
【分析】原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2+2xy+y2）＝x（x+y）2，
故答案为：x（x+y）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 　2.4　．

【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明△BDG≌△CDA（SAS），则BG＝AC，∠CAD＝∠G，根据AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可证出∠G＝∠BEG，即得出AC＝BE＝4，然后利用线段的和差即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，

在△BDG和△CDA中，
BD=CD∠BDG=∠CDADG=DA，
∴△BDG≌△CDA（SAS），
∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，
∵∠AEF＝∠FAE，
∴∠CAD＝∠AEF，
∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠CAD＝∠BEG，
∴∠G＝∠BEG，
∴BG＝BE＝4，
∴AC＝BE＝4，
∵∠AEF＝∠FAE，
∴AF＝EF＝1.6，
∴CF＝AC﹣AF＝4﹣1.6＝2.4．
故答案为：2.4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（4分）“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．千门万户曈曈日，总把新桃换旧符．”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事．小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼 　6　只．
【分析】设购买灯笼x只，窗花y张，坚果z包，利用总价＝单价×数量，可得出关于x，y，z的三元一次方程，结合x，y，z均为正整数，可得出z可以为1或2，分z＝1及z＝2两种情况考虑：当z＝1时，y=139−10x4，结合x，y均为正整数，可得出该方程无解；当z＝2时，y＝16−52x，结合x，y均为正整数，可求出x，y的值，取其中x的最大值即可得出结论．
【解答】解：设购买灯笼x只，窗花y张，坚果z包，
根据题意得：20x+8y+150z＝428．
∵x，y，z均为正整数，
∴z可以为1或2．
当z＝1时，20x+8y＝278，
∴y=139−10x4，
又∵x，y均为正整数，
∴该方程无解；
当z＝2时，20x+8y＝128，
∴y＝16−52x，
又∵x，y均为正整数，
∴x=2y=11或x=4y=6或x=6y=1．
∴x的最大值为6，
即最多能买灯笼6只．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三元一次不定方程，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．（8分）计算：
（1）a•a2•a5+（a2）4+（﹣2a4）2；
（2）(16a2b+14a3b2−12a2b3)÷112a2b．
【分析】（1）先算同底数幂的乘法，再合并同类项即可；
（2）除法分配律计算即可．
【解答】解：（1）原式＝a8+a8+4a8
＝6a8；
（2）原式=16a2b÷112a2b+14a3b2÷112a2b−12a2b3÷112a2b
＝2+3ab﹣6b2．
【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法，利用除法分配律进行计算是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
18．（8分）解分式方程：
（1）2x+3=1x−2；
（2）x+5x−5=1+10x2−10x+25．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2（x﹣2）＝x+3，
解得：x＝7，
检验：把x＝7代入得：（x+3）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝7；
（2）去分母得：（x+5）（x﹣5）＝（x﹣5）2+10，
解得：x＝6，
检验：把x＝6代入得：（x﹣5）2≠0，
∴分式方程的解为x＝6．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣5，1），C（﹣3，﹣3），△A1B1C1与△ABC关于y轴对称．
（1）在图中画出△A1B1C1并连接AC1，CC1；
（2）求△ACC1的面积．

【分析】（1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再依次连接A1、B1、C1三点，即得到所求的三角形，再连接AC1、CC1；
（2）观察图形可知CC1＝6，点A到CC1的距离是6，即可根据三角形的面积公式求出△ACC1的面积．
【解答】解：（1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，连接A1B1、B1C1、C1A1，
△A1B1C1就是所求得三角形，
连接AC1、CC1．
（2）∵CC1＝6，点A到CC1的距离是6，
∴S△ACC1=12×6×6＝18，
∴△ACC1的面积是18．

【点评】此题重点考查图形与坐标、轴对称的性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出△ABC的三个顶点关于y轴的对称点是解题的关键．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AB于点F．△ABC的一个外角∠ACD的平分线与BE的延长线交于点G．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若∠A＝80°，求∠G的大小．

【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质可得∠FEB＝∠ABE，进而可以解决问题；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，再根据三角形外角定义即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FEB＝∠ABE，
∴BF＝EF；
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣80°）＝50°，
∴∠CBE=12∠ABC＝25°，
∵CG是∠ACD的平分线，∠ACD＝180°﹣50°＝130°，
∴∠GCD=12∠ACD＝65°，
∴∠G＝∠GCD﹣∠CBE＝65°﹣25°＝40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，
21．（10分）（1）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（2a+b）2，其中a＝1，b＝﹣2；
（2）已知（x﹣y）2＝49，xy＝﹣6，求x3y+2x2y2+xy3的值．
【分析】（1）直接利用完全平方公式以及平方差公式化简，进而把已知数据代入得出答案；
（2）直接将原式变形，再将已知变形代入得出答案．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣b2+4a2+4ab+b2
＝5a2+4ab，
当a＝1，b＝﹣2时，
原式＝5×12+4×1×（﹣2）
＝5﹣8
＝﹣3；

（2）原式＝xy（x2+2xy+y2）
＝xy（x+y）2，
∵（x﹣y）2＝49，xy＝﹣6，
∴x2﹣2xy+y2＝49，
∴x2+y2＝49+2xy＝49+2×（﹣6）＝49﹣12＝37，
∴（x+y）2﹣2xy＝37，
∴（x+y）2＝37+2xy＝37﹣12＝25，
原式＝﹣6×25＝﹣150．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上一点，CD＝CE，∠BEC＝∠D，∠BAD+∠BCF＝180°．
（1）求证：EB＝DF；
（2）连接AC，若AC平分∠BCF，求证：AB＝AF．

【分析】（1）证明△BCE≌△FCD（AAS），即可得出结论；
（2）证明△ABC≌△AFC（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠BAD+∠BCF＝180°，
∴∠AFC+∠B＝360°﹣180°＝180°，
∵∠AFC+∠DFC＝180°，
∴∠B＝∠DFC，
在△BCE和△FCD中，
∠B=∠DFC∠BEC=∠DCE=CD，
∴△BCE≌△FCD（AAS），
∴EB＝DF；
（2）由（1）可知，△BCE≌△FCD，
∴BC＝FC，
∵AC平分∠BCF，
∴∠BCA＝∠FCA，
在△ABC和△AFC中，
BC=FC∠BCA=∠FCAAC=AC，
∴△ABC≌△AFC（SAS），
∴AB＝AF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（10分）“颗粒归仓，饭碗更牢”．夏收是农业四季里的关键一环，冬小麦是夏收的主体粮食，每年的五、六月份是我国冬小麦的收割时间．红星农业合作社租用小型收割机和中型收割机参与冬小麦收割．已知每台中型收割机每小时比每台小型收割机多收割2亩小麦．收割完10亩小麦，每台中型收割机所用时间为每台小型收割机所用时间的45．
（1）求每台小型、中型收割机每小时分别收割多少亩小麦；
（2）合作社已租用3台小型收割机和2台中型收割机．由于天气变化，为加快收割进度，合作社决定再租用4台两种型号的收割机．每台小型、中型收割机工作一小时的费用分别为400元、800元，若要使每天收割的小麦不少于480亩，求应再租用几台小型收割机使得每天的费用最少（两种型号收割机每天的工作时长均为6小时）？
【分析】（1）设每台小型收割机每小时收割x亩小麦，则每台中型收割机每小时收割（x+2）亩小麦，根据每台中型收割机所用时间为每台小型收割机所用时间的45列出方程求解即可解答；
（2）设再租用y台小型收割机，则再租用（4﹣y）台小型收割机，现在合作社共有（3+y）小型收割机和（6﹣y）台中型收割机，根据每天收割的小麦不少于480亩得[（3+y）×8+（6﹣y）×10]×6≥480，解得y≤2，再根据每台小型、中型收割机工作一小时的费用列出每天费用的代数式，根据y的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）设每台小型收割机每小时收割x亩小麦，则每台中型收割机每小时收割（x+2）亩小麦，
根据题意可得，
10x+2÷10x=45，
解得：x＝8，
则x+2＝10，
∴每台小型、中型收割机每小时分别收割8亩、10亩小麦；
（2）设再租用y台小型收割机，则再租用（4﹣y）台中型收割机，
∵合作社已租用3台小型收割机和2台中型收割机，
∴现在合作社共有（3+y）小型收割机和（6﹣y）台中型收割机，
∵要使每天收割的小麦不少于480亩，
∴[（3+y）×8+（6﹣y）×10]×6≥480，
解得：y≤2，
∵每台小型、中型收割机工作一小时的费用分别为400元、800元，
∴每天的费用为（3+y）×400+（6﹣y）×800＝（﹣400y+6000）元，
∵y≤2，
∴当y＝2时，每天的费用最少．
故应再租用2台小型收割机使得每天的费用最少．
【点评】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程，根据个数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（10分）若一个四位自然数n的千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称n为“间隔数”．将“间隔数”n的千位、百位数字交换，十位、个位数字交换，得到一个新的“间隔数”n'，记F(n)=n+n′101．
（1）求F（1919），F（8787）；
（2）求证：对任意一个“间隔数”n，F（n）能被11整除．
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）设n的千位数字为啊，百位数字为b，用a，b表示F（n），再因式分解．
【解答】解：（1）F（1919）=1919+9191101=110，
F（8787）=8787+7878101=165；
（2）设n的千位数字为a，百位数字为b，
则n＝1000a+100b+10a+b，n′＝1000b+100a+10b+a，
∴F（n）=(1000a+100b+10a+b)+(1000b+100a+10b+a)101，
＝11（a+b），
∴F（n）能被11整除．
【点评】本题考查了因式分解的应用，用字母表示数是解题的关键．
25．（10分）如图，在等边△ABC中，D为BC边的中点，点E为线段AD上一点，连接CE，以CE为边构造等边△CEF（点B，E，F不共线），连接AF，BF．
（1）求证：BF垂直平分AC；
（2）如图2，作CE关于直线AC对称的线段CE'，连接E'F，猜想E'F与BC的位置关系并说明理由．


【分析】（1）连接BE，根据△ABC和△CEF都是等边三角形，可得BC＝AC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，证明△BCE≌△ACF（SAS），BE＝AF，然后证明点F在AC的垂直平分线上，点B在AC的垂直平分线上，两点确定一条直线，进而可以解决问题；
（2）根据等边三角形的性质和对称性质证明∠CE′F＝∠BCE′，即可得结论．
【解答】（1）证明：如图，连接BE，

∵△ABC和△CEF都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝60°﹣∠ACE＝∠ACF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴BE＝AF，
在等边△ABC中，
∵D为BC边的中点，
∴BE＝CE，
∴CE＝AF，
∵CE＝CF，
∴AF＝CF，
∴点F在AC的垂直平分线上，
∵AB＝CB，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴BF垂直平分AC；
（2）解：E'F与BC的位置关系是平行，理由如下：

∵CE关于直线AC对称的线段CE'，
∴CE＝CE′，∠1＝∠2，
∵CE＝CF，
∴CE′＝CF，
∴∠CE′F＝∠CFE′，
∴∠CE′F=12（180°﹣∠3），
∵∠3＝∠ECF﹣∠1﹣∠2＝60°﹣2∠2，
∴∠CE′F=12（180°﹣∠3）=12（180°﹣60°﹣2∠2）＝60°+∠2，
∵∠BCE′＝∠ACB+∠2＝60°+∠2，
∴∠CE′F＝∠BCE′，
∴E′F∥BC．
【点评】本题属于三角形综合题，有一定难度，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到△BCE≌△ACF．