2.3双曲线（作业）（夯实基础+能力提升）-2023-2024学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）

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2.3双曲线（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·上海市宝山中学高二期中）设是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ）
A．双曲线 B．直线 C．线段 D．射线
【答案】D
【分析】由条件可得，即可得答案．
【详解】因为，所以动点M的轨迹是射线．
故选：D
2．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）双曲线与双曲线具有共同的（    ）
A．实轴 B．虚轴 C．焦点 D．渐近线
【答案】D
【分析】求出两双曲线的实轴、虚轴的位置，以及焦点坐标、渐近线方程，可得出合适的选项.
【详解】双曲线的实轴在轴上，虚轴在轴上，焦点坐标为，渐近线方程为，
双曲线的实轴在轴上，虚轴在轴上，焦点坐标为，渐近线方程为，
因此，双曲线与双曲线具有共同的渐近线.
故选：D.
3．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）已知双曲线，则其渐近线夹角的大小为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线方程求得渐近线方程，从而求得一条渐近线与轴的夹角，再求渐近线夹角即可.
【详解】由双曲线方程可得，故可得双曲线的渐近线方程为，
设与轴正方向的夹角为，则，故可得，
故渐近线的夹角为.
故选：B.
4．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.

二、填空题
5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期末）已知为双曲线的两个焦点，过点且垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则此双曲线的渐近线方程为___________.
【答案】
【分析】设，在中，根据，可以求出的长，根据双曲线的定义可以求出，求出离心率，利用，可以求出之间的关系，最后求出双曲线的渐近线方程.
【详解】设，所以，，由双曲线定义可知：

，所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
6．（2022·上海市控江中学高二期末）经过两点，的双曲线的标准方程为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答.
【详解】设双曲线方程为，依题意有，解得，
所以所求双曲线的标准方程为：.
故答案为：
7．（2022·上海市宝山中学高二期中）若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是_______.
【答案】
【分析】求得，由此求得双曲线的标准方程.
【详解】由于双曲线的一个焦点坐标为，
所以双曲线的焦点在轴上，，
实轴长，，
所以双曲线的标准方程是.
故答案为：
8．（2022·上海市建平中学高二期末）若双曲线的一条渐近线方程为，则_________.
【答案】
【分析】写出双曲线的渐近线方程，可求得的值.
【详解】双曲线的渐近线方程为，所以，，解得.
故答案为：.
9．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）双曲线的虚轴长为_________
【答案】
【分析】由方程求，即可求得虚轴长.
【详解】由条件可知，，所以虚轴长.
故答案为：
10．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）双曲线的离心率为__________.
【答案】
【分析】利用双曲线方程求解，，推出，然后求解离心率即可．
【详解】双曲线，可得，，则，
所以．
故答案为：．
11．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）双曲线的渐近线方程为_________．
【答案】  （，或或或两个分开写，均给满分）
【解析】由渐近线方程公式直接求解.
【详解】由双曲线方程可知，，则
渐近线方程.
故答案为： （，或或）
12．（2022·上海徐汇·高二期末）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a的值为___________．
【答案】1
【分析】由双曲线方程确定焦点在轴，然后可得椭圆的焦点，列方程求解．
【详解】双曲线的焦点在轴上，所以，又，故解得．
故答案为：1．
13．（2022·上海市控江中学高二期末）双曲线的两条渐近线的夹角为______．
【答案】
【分析】先求出渐进线方程，设出直线与轴夹角为，得到，利用二倍角公式得到，从而求出答案.
【详解】的渐近线方程为：，
故直线与轴夹角为，则，
则，
所以
故两条渐近线的夹角为.
故答案为：
14．（2022·上海市崇明中学高二期中）已知直线与双曲线无交点，则该双曲线离心率的最大值为_________.
【答案】
【分析】根据给定双曲线方程，求出渐近线方程，再借助已知确定b的范围即可计算作答.
【详解】双曲线的渐近线为：，因直线与双曲线无交点，
于是得，而双曲线实半轴长为1，则该双曲线离心率，
所以该双曲线离心率的最大值为.
故答案为：
15．（2022·上海市崇明中学高二期中）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________.
【答案】
【分析】根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.
【详解】依题意，设双曲线方程为：，于是得，则有，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
16．（2022·上海市崇明中学高二期中）已知双曲线的两个焦点分别为、，为双曲线上一点，且，则的面积为_________.
【答案】9
【分析】利用双曲线定义结合勾股定理求出，再计算面积作答.
【详解】依题意，双曲线的焦点、，，
因，则有，
即有，解得，
所以的面积.
故答案为：9
17．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）以为渐近线，且过点的双曲线的标准方程为______．
【答案】
【分析】根据渐近线方程，设双曲线方程为，代入M点坐标，求得值，整理即可得答案.
【详解】因为渐近线为，
所以设双曲线方程为，
又过点，代入可得，即，
所以，整理可得.
故答案为：
18．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）已知方程表示双曲线，则实数k的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据方程为双曲线，可得，解不等式即可得答案.
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，解得或，
所以实数k的取值范围为.
故答案为：
19．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）双曲线的两条渐近线的夹角为______．
【答案】##
【分析】根据双曲线的方程，求得渐近线方程，进而可得两渐近线的倾斜角，即可得答案.
【详解】因为双曲线，则，
所以渐近线方程为，
又直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角为.
故答案为：
20．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围为____________．
【答案】
【分析】构造不等式去求实数m的取值范围.
【详解】方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则，解之得
故答案为：
21．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则双曲线的标准方程为______．
【答案】
【分析】由双曲线的性质列出方程组得出标准方程.
【详解】因为渐近线为，所以，解得
即双曲线的标准方程为
故答案为：

三、解答题
22．（2022·上海·格致中学高二期中）已知点､依次为双曲线（，）的左､右焦点，且，.
(1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离；
(2)设双曲线经过第一､三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据的关系以及题意可知，，，直线的方程为，再根据点到直线的距离公式即可求出；
（2）根据题意可知，直线的斜率，，再根据两直线垂直，斜率之积为，再根据齐次式求离心率的方法即可求出．
(1)
由题意，，，则，，直线的方程为.
所以，点到的距离为.
(2)
由题意，，，其中，，则直线的斜率.
双曲线的一条渐近线，其斜率为.
因为直线与直线垂直，所以.
代入可得，，又因为，所以，
两边同除以，可得，解得.
又因为，所以.
23．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）已知点到等轴双曲线上的点的最短距离为，求此双曲线的标准方程．
【答案】或.
【分析】设点利用两点间距离公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】设是等轴双曲线上的点，即，
，
当时，当时，有最小值，最小值为，于是有，
因为，所以解得，此时双曲线的标准方程为：；
当时，当时，有最小值，最小值为，
于是有，因为，所以解得，此时双曲线的标准方程为：，
综上所述：双曲线的标准方程为或.
24．（2022·上海金山·高二期中）已知 ， 如图， 曲线 由曲线 和曲线 组成，其中点 为曲线 所在圆雉曲线的焦点， 点 ， 为曲线 所在圆雉曲线的焦点

(1)若 ， 求曲线 的方程;
(2)如图， 作斜率为正数的直线 平行于曲线 的渐近线， 交曲线 于点 ， 求弦 的中点 的轨迹方程；
【答案】(1)和
(2)，

【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而求出曲线方程；
（2）设直线，，，，联立直线与椭圆方程，消元，根据及结合图象得到，再利用韦达定理得到，即可得解；
（1）
解：因为，，所以，解得，
所以曲线的方程为和；
（2）
解：曲线的渐近线为，设直线
则

又由数形结合知，所以
设点，，，
则
所以，，
所以，即点的轨迹为，；
【能力提升】
一、填空题
1．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，F为双曲线C：的一个焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直．若l与C有且仅有一个交点，则C的离心率为______．
【答案】
【分析】由l与C有且仅有一个交点得与另一条渐近线垂直，进而得到，再求离心率即可.
【详解】
不妨设为右焦点，直线l与渐近线垂直，要使l与C有且仅有一个交点，则与另一条渐近线不相交，即与另一条渐近线平行，
则两条渐近线互相垂直，即，则离心率为.
故答案为：.

二、解答题
2．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期末）某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过点O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A的信号比接收到点B的信号晚一秒（注：信号每秒传播米）．在时，测得机器鼠距离点O为4米.

(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，求时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
【答案】(1)
(2)机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险

【分析】（1）设机器鼠位置为点P，结合双曲线的定义求得点的轨迹方程，从而求得时机器鼠所在位置的坐标.
（2）先求得与平行的点轨迹对应图象的切线方程，结合两平行线间的距离公式作出判断.
（1）
设机器鼠位置为点P，由题意，，，
由题意可得，即，
可得点P的轨迹以A，B为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线的右支，
则点P的轨迹方程为C：，
时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为．
（2）
由题意知直线l：，设直线l的平行线的方程为，
联立，可得，
令，解得，
此时与双曲线的右支相切，∴，∴：．
此时l与的距离为，即机器鼠距离l的最小距离为，
则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．
3．（2022·上海徐汇·高二期末）已知A、B、C是我方三个炮兵阵地，A地在B地的正东方向，相距；C地在B地的北偏西方向，相距．P为敌方炮兵阵地．某时刻A地发现P地产生的某种信号．后B地也发现该信号（该信号传播速度为）．
(1)请建立适当的平面直角坐标系，判断敌方炮兵阵地P可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程；
(2)若C地与B地同时发现该信号，现从A地炮击P地，求准确炮击的方位角．
【答案】(1)详见解析，；
(2)北偏东.

【分析】（1）以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，可知在以，为焦点的双曲线的右支上，可求出点的轨迹方程；
（2）由题可求出线段的垂直平分线方程，联立两个方程可得点的坐标，再求即可求解.
（1）
以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线所在直线为轴，正东方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，

因为，
所以在以，为焦点的双曲线的右支上，
设双曲线方程为，则，，
可得，
所以双曲线方程为，
即敌方炮兵阵地P可能分布在以，为焦点的双曲线的右支上，该轨迹的方程为；
（2）
由题可知，，
所以，
因为C地与B地同时发现该信号，，
所以，所以在线段的垂直平分线上，
因为，线段的中点坐标，
所以直线的方程为：，即，
由可得：，
即，解得：或（舍）
所以，，所以，
，所以，
所以点在点的北偏东方向，即准确炮击的方位角为北偏东.
4．（2022·上海市大同中学高二期中）（1）已知双曲线经过点，其渐近线方程为，求此双曲线的方程；
（2）已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，并且双曲线上两点，的坐标分别为和，求该双曲线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）（2）根据给定条件，设出双曲线方程，利用待定系数法求解作答.
【详解】（1）因双曲线渐近线方程为，则设双曲线方程为：，
又双曲线过点，则有，解得，
所以双曲线的方程为，即.
（2）依题意，设双曲线方程为，
因点和在双曲线上，则，解得，
所以双曲线的方程为.
5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知双曲线.
(1)若离心率为，求b的值，的顶点坐标、渐近线方程；
(2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点坐标，渐近线；
(2)不存在，理由见解析.

【分析】(1)根据离心率和a、b、c的关系即可求出b，根据双曲线的性质可求其顶点坐标和渐近线方程；
(2)假设存在被M平分的弦，利用点差法求出弦的斜率和方程，将弦的方程代入双曲线方程判断是否有两个解即可．
(1)
，
a＝1，故双曲线顶点为，渐近线方程为；
(2)
当时，双曲线为，
假设双曲线存在被点平分的弦，设弦的两个端点为，，
则，，
∵A、B在双曲线上，∴，
①－②得：，
则，
∴弦AB所在直线方程为：，
代入双曲线方程得，
∵，故AB与双曲线无交点，假设不成立．
故不存在被点平分的弦．
6．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）双曲线上一点到左、右两焦点距离的差为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)设、是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的点，若，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题意可得，，求出，从而可求出双曲线的方程，
（2）由已知结合双曲线的定义可求出，然后利用余弦定理求出，再利用同角三角函数的关系求出，从而可求出的面积
（1）
由题意得，得，
因为点在双曲线上，
所以，解得，
所以双曲线的方程为，
（2）
由（1）可得，所以，
不妨设点在双曲线的右支上，则，
因为，所以，
因为，
所以由余弦定理得，
因为，
所以，
所以的面积为