上教版 (2020)选修第一册第5章 导数及其应用习题

河北承德双滦区实验中学2023-2024学年第一学期高三数学导数及其应用基础测试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 列关于求导叙述正确的是(    )

A. 若，则      B. 若，则
C. 若，则          D. 若，则

2.已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为

A.  B.  C.  D.

3.函数，则的单调递减区间为  (    )

A.  B.  C. ， D. ，

4.如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是
 

A. 在区间上，是增函数 B. 当时，取到极小值
C. 在区间上，是减函数 D. 在区间上，是增函数

5.设函数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.已知函数在区间上单调递增则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱．已知某一单车爱好者的骑行速度单位：随时间单位：变换的函数关系为，，则该单车爱好者骑行速度的最大值为 (    )A.               B.               C.               D.

8.已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A. 是函数的极大值点，是函数的极小值点
B. 是函数的极小值点
C. 函数的单调递增区间是
D. 函数的单调递减区间是

10.已知函数，下列结论错误的是(    )

A. 函数不存在最大值，也不存在最小值      B. 函数存在极大值和极小值
C. 函数有且只有个零点                  D. 函数的极小值就是的最小值

11.已知函数在上可导，且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是 (    )

A. 函数在区间上为单调递增函数      B. 是函数的极小值点
C. 函数至多有两个零点                      D. 时，不等式恒成立

12.已知函数，下列说法中正确的有(    )

A. 函数 的极大值为，极小值为
B. 若函数在上单调递减，则
C. 当时，函数的最大值为，最小值为
D. 若方程有个不同的解，则

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.设为实数，函数的导函数为，若是偶函数，则          ，此时，曲线在原点处的切线方程为          ．

14.若函数在上有最小值，则实数的取值范围是______ ．

15.滑县木版画是河南安阳最传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史了，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的系列木版画的成本为元套，每月的销售量单位：套与销售价格单位：元套近似满足关系式，其中，则当系列木版画销售价格定为________元套时，月利润最大．

16.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_____

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题0分已知函数．
求的单调区间；
求函数在区间上的最大值与最小值．

18.本小题分已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限．

求点的坐标；

若直线，且也过切点，求直线的方程．

19.本小题分已知函数，当时，函数有极值．
求函数的解析式；
若关于的方程有一个实数根，求实数的取值范围．

20.本小题分某工厂需要生产个零件，经市场调查得知，生产成本包括以下三个方面：生产个零件需要原料费元；支付职工的工资由元的基本工资和每生产个零件补贴元组成；所生产零件的保养总费用是元．

把生产每个零件的平均成本表示为的函数关系式，并求的最小值；

假设生产的零件可以全部卖出，据测算，销售收入关于产量的函数关系式为，那么当产量为多少时生产这批零件的利润最大？

21.本小题分设常数，函数．
令时，求的最小值，并比较的最小值与零的大小
求证：在上是增函数
求证：当时，恒有．

22 本小题分已知，，其中是自然对数的底．

若在处取得极值，求的值；

求的单调区间；

设，，存在，使得成立，求的取值范围．

答案和解析

1--5：        6--8:       9.    11.    12. 

13.   14.        15.    16. 

17.解：，
，
当时，，
故在区间，上单调递减；
当时，，
故在区间上单调递增；
即的单调增区间为，单调递减区间为，；
由知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，，，
函数在区间上的最大值为，最小值为． 

18.解：由，

得，

由已知令，解得

当时，当时，．

又点在第三象限，

切点的坐标为．

直线，的斜率为，

直线的斜率为．

过切点，点的坐标为，

直线的方程为，

即

19.解：由，有，
又有，解得：，，
故函数的解析式为．
由有
故函数的增区间为，减区间为，
则，，
因为时，，时，，
由一元三次函数的性质可知，实数的取值范围为． 

2o.解：
，
则
当且仅当，即时，等号成立故的最小值为元
由题意，设利润为元，
则，
由解得：由解得：，
故在上是增函数，在上是减函数
故当产量为个零件时生产这批零件的利润最大． 

21.解：因为，
所以．
所以，
所以，令，得．
列表如下：

所以在处取得极小值 ，
即 的最小值为，
因为 ，所以 ，又，所以
由知，的最小值为正数， 
所以对一切 ，恒有．
从而当时，恒有 ， 
故在 上是增函数．
由知在 上是增函数，
所以当时，．
又 ，
所以 ，即 ，
所以，
故当 时，恒有． 

22.解： ，．
由已知，解得，此时．
在区间上，；在区间上，．函数在处取得极小值，因此．
 ，．
当时，，在上是减函数．
当时，．
若，即时，在上是减函数，在上是增函数；
若，即，则在上是减函数．
综上所述，当时，的减区间是，当时，的减区间是，增区间是．
当时，由可知：当时，函数取得最小值，且．
，函数在区间上单调递增．
当时，函数取得最大值，且．
存在，，使得成立，
必有对于，又，联立得，解得．
的取值范围是．