第2章 圆锥曲线（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（沪教版2020选择性必修第一册）

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第2章 圆锥曲线（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、填空题(共54分)

1．(本题4分)已知一圆的圆心为点，该圆经过坐标原点，则圆的方程是___________.

【答案】

【分析】利用已知条件求出圆的半径，进而可得出圆的方程．

【详解】圆心为点，且该圆经过坐标原点，半径，则圆的方程是

故答案为：

2．(本题4分)已知点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则____________．

【答案】2

【分析】由抛物线的方程求出抛物线的焦点和准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可.

【详解】抛物线的焦点为，准线为，

因为点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，

所以，得，

故答案为：2

3．(本题4分)把点的极坐标化成直角坐标为______．

【答案】

【分析】根据极坐标与直角坐标之间的互化公式即可求解．

【详解】解：设，故，，故，

故答案为：，

4．(本题4分)设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为_________．

【答案】##

【分析】利用已知条件推出，然后求解椭圆的离心率即可．

【详解】解：是椭圆上任意一点，为的右焦点，的最小值为，

可得，所以，即，所以，解得，

所以．

故答案为：．

5．(本题4分)已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，若P在以线段OQ为直径的圆上，则点Q的坐标为_______．

【答案】

【分析】根据条件得到点的坐标，然后设，利用建立方程求解即可.

【详解】点，根据对称性可取，设，由得：，

解得，所以.

故答案为：

6．(本题4分)若直线：被圆：截得线段的长为6，则实数的值为______.

【答案】24

【分析】把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求解.

【详解】把圆：化为标准方程有：，

所以圆心，半径，又直线：，

所以圆心到直线的距离为，

因为直线：被圆：截得线段的长为6，

根据勾股定理有：，解得，

所以，解得.

故答案为：24.

7．(本题5分)已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦距等于_________.

【答案】

【分析】由双曲线方程和渐近线可求出，再由可求出，从而可求出焦距.

【详解】由双曲线，得其渐近线方程为，

因为双曲线的渐近线方程为，

所以，得，

所以，得，

所以双曲线的焦距为，

故答案为：

8．(本题5分)已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的取值范围是___________.

【答案】

【分析】设出直线方程，然后表示出圆心到该直线的距离，然后求出距离的范围，然后用距离表示出面积，即可得到答案.

【详解】因为，过点的直线不过圆心，

所以该直线的斜率存在，设其方程为，即，

所以圆心到该直线的距离为，

因为，

所以，

故答案为：

9．(本题5分)已知点M是椭圆上的一动点，点T的坐标为，点N满足，且 ，则的最小值是______．

【答案】

【分析】由题意确定点N在以为圆心，1为半径的圆上运动，由此可得当最小时，取得最小值；利用椭圆的参数方程进行三角代换，求得的最小值，即可求得答案.

【详解】由题意可知点T的坐标为，点N满足，

故点N在以为圆心，1为半径的圆上运动，

由于，故,

则当最小时，取得最小值；

由于点M是椭圆上的一动点，设，

则

，

由于，故当时，取到最小值为 ，

即 的最小值为，

故答案为：

【点睛】本题考查了椭圆中最值问题的求解，涉及到椭圆的参数方程以及三角函数和二次函数的相关知识，综合性较强，解答时要注意数形结合，利用椭圆的参数方程进行三角代换，综合利用相关知识解决问题.

10．(本题5分)已知抛物线的准线交轴于点，过点作斜率为的直线交于两点，且，则直线的斜率是__________.

【答案】

【分析】根据给定条件，求出点，设出点的坐标，并表示出点，再将点的坐标代入E的方程求解作答.

【详解】抛物线的准线为，点，设点，

因，则点是线段的中点，即，又点在抛物线上，

因此，解得，即点，

所以直线的斜率.

故答案为：

11．(本题5分)已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为_______．

【答案】

【分析】延长，交于，可证得，结合题意易证得P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，即可求出点的轨迹方程.

【详解】延长，交于，因为，，

，所以，所以，

所以，

因为M是双曲线C右支上一点，所以，

又因为P是的中点，O是的中点，所以，

所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，

所以点P的轨迹方程为．

故答案为：.

12．(本题5分)漳州港双鱼岛是座人工岛，呈双鱼环抱圆形，半径米，从空中俯视，像是太极图由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，它展现了一种相互转化，相对统一的和谐美定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”，若极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，建立极坐标系，则下列有关命题中：

①对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数；

②函数是圆的一个太极函数；

③直线为参数所对应的函数一定是圆为参数，的太极函数；

④若函数是圆的太极函数，则

其中正确命题有_______.

【答案】②③④

【分析】将圆的极坐标方程转化为直接坐标方程，通过举反例可判断命题①，通过判断函数的奇偶性即是否恒过圆心可判断命题②③，联立曲线方程和圆的方程，求解交点的个数，可判断命题④.

【详解】解：对于①，圆转到直角坐标系为圆，如图，函数是圆的太极函数，且函数为偶函数，故①错误；

对于②，圆转到直角坐标系为圆，圆心为，函数过点，且函数能把圆一分为二，故②正确；

对于③，直线（为参数横过点，圆（为参数，的圆心为，故直线过圆心，且能将圆一分为二，故③正确；

对于④，圆转到直角坐标系为圆，函数为奇函数，与圆的交点为，且过圆心,

∴，

令，得，

即，得即；

对，当时无解，即时也无解，

即时，两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分，

若时，函数与圆有4个交点，若时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，故，故④正确.

故答案为：②③④.

二、单选题(共20分)

13．(本题5分)已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且若，则（       ）

A．2 B． C． D．4

【答案】D

【分析】根据抛物线的定义，结合图象求得.

【详解】由抛物线的定义可知，为等边三角形，

设准线l与x轴交于点H，则，

，所以.

故选：D

14．(本题5分)双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先将双曲线方程化为标准式，再根据求出，即可得到双曲线方程，从而求出渐近线方程；

【详解】解：双曲线，即的右焦点坐标为，

所以，解得，所以双曲线方程为，

则双曲线的渐近线为；

故选：C

15．(本题5分)若直线与圆相交于两点，为坐标原点，则（       ）

A． B．4 C． D．－4

【答案】D

【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求出，然后利用向量的数量积的定义及几何意义可求得结果.

【详解】由题意得圆的圆心到直线的距离为

，

所以，所以，

所以

，

故选：D

16．(本题5分)如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（       ）

A．                  B．              C．          D．

【答案】C

【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．

【详解】，不妨令，，，

，，

又由双曲线的定义得：，，

，

，．

在中，，

又，，

双曲线的离心率．

故选;C

三、解答题(共76分)

17．(本题14分)设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且．

(1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；

(2)求的面积；

(3)求点的坐标．

【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦点为，，离心率为

(2)

(3)或或或

【分析】（1）由椭圆方程可求得，由此可依次求得结果；

（2）利用椭圆定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积；

（3）利用面积桥可求得点纵坐标，代入椭圆方程可得点横坐标，由此可得结果.

（1）

由椭圆方程得：，，则，

椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点坐标为，，离心率.

（2）

由椭圆定义知：，

，，

即，解得：，.

（3）

设，则，解得：，

，解得：；

点坐标为或或或.

18．(本题14分)已知曲线的参数方程为 （为参数），以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程.

(1)求的极坐标方程；

(2)若曲线与曲线、曲线分别交于两点A，B，点 ，求△PAB的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的转化公式即可得答案;

（2）联立方程，分别求得点A，B的极坐标，根据三角形面积公式即可求得答案.

（1）

由消去参数，得,

因为，

所以曲线的直角坐标方程为，

因为，

所以曲线的极坐标方程为 ；

（2）

由 得:，

所以曲线与曲线交于点A，

由,得:，       

所以曲线与曲线:交于点B，

则

.

19．(本题14分)已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的长轴长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）由题意可得，，即可得，即可求得椭圆方程；

（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理可求得；再将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可求得，然后计算得，即可求得答案.

（1）

解：因为抛物线的焦点为，

所以，又，则，

故椭圆的方程为：；

（2）

解：设､､､，

设直线的方程为，与椭圆的方程联立，

得，

∴，，

∴，

设直线的方程，与抛物线G的方程联立，

得，

∴，，

∴，

∴，

要使为常数，则，解得，

故存在，使得为定值．

20．(本题16分)已知为椭圆的右焦点， 点在椭圆上，且轴.

(1)求的方程;

(2)已知点及椭圆上，两点满足，过点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程

【答案】(1)

(2)（点除外）

【分析】（1）根据点的坐标可得，，的值，即可得椭圆方程；

（2）分别讨论直线斜率存在与不存在时直线是否过定点，再根据圆的性质得圆的方程.

（1）

由点在椭圆上，且轴，

则，所以椭圆方程为，

代入点，得，解得或，

又，所以，，

所以椭圆方程为；

（2）

当直线的斜率不存在时，可设，

则，，，

又，即，，解得，此时直线为轴，不成立；

当直线斜率存在时，可设，代入椭圆方程，

得，，即，

设，，

则，

又，，

即，

化简可得，即或，

当时，直线的方程为，过点，与点重合，不成立，

当时，直线的方程为，恒过点，

综上所述，直线经过点，

而过点作直线的垂线的垂足的轨迹为以为直径的圆（坐标原点除外），

其中，，

圆心坐标为，半径，

所以圆的方程为，点除外，即为点的轨迹方程.

【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

21．(本题18分)在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.

(1)求轨迹的方程；

(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.

（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；

（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.

【答案】(1)

(2)（i）证明见解析；（ii）

【分析】（1）根据两圆内切和外切列出圆心距与半径的关系，即可发现圆心的轨迹满足椭圆的定义，进而可求其方程，

（2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据点坐标可得方程，进而代入韦达定理即可求出坐标，根据弦长公式可求长度，进而得长，根据垂直，即可表示四边形的面积，根据不等式即可求解最值.

（1）

设动圆的半径为，圆心的坐标为

由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.

动圆与圆内切，且与圆外切，

动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，

其中

从而轨迹的方程为：

（2）

（i）设直线的方程为，则

由可得：

直线的方程为，

令可得点的横坐标为：

为一个定点，其坐标为

（ii）根据（i）可进一步求得：

.

，

则

，

四边形面积

（法一）

等号当且仅当时取，即时，

（法二）令，

则

当，即时，

【点睛】本题考查了椭圆的方程，以及直线与椭圆的位置关系，综合性较强.利用几何法求轨迹方程时，要多注意图形位置间体现的等量关系，可通过先判断轨迹，再求其方程.直线与椭圆相交问题，联立方程是常规必备步骤，韦达定理得弦长，求面积或者长度最值时，往往需要先将其表达出来，再利用不等式或者函数的知识进行求解.