第3章 空间向量及其应用（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（沪教版2020选择性必修第一册）

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第3章 空间向量及其应用（A卷·知识通关练）

核心知识1空间向量及其运算

1．下列命题中，正确的是（    ）.

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

2．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

3．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（    ）

A． B． C． D．

4．如图所示，在长方体中，下列各式运算结果为向量的是（    ）.

①；                    ②；

③；                    ④.

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

5．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．化简______.

7．如图，是直三棱柱，，点分别是的中点，若，则与所成角的余弦值为__．

8．如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

9．如图所示，在长、宽、高分别为，，的长方体中，以八个顶点的两点为起点和终点的向量中，

(1)问单位向量共有多少个？

(2)试写出与相等的所有向量.

10．如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线.

11．已知与､的夹角都是，⊥，，，，计算：

(1)；

(2).

12．在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．

13．已知四面体的各棱长均为1，D是棱OA的中点，E是棱AB的中点．设，，．

(1)用向量、、表示、；

(2)判断与是否垂直；

(3)求异面直线BD与AC所成角的余弦值．

核心知识2．空间向量基本定理

14．如图，在平行六面体中，设，，，则下列与向量相等的表达式是（    ）

A． B．

C． D．

15．已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为（    ）

A． B．2 C． D．

16．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二期中）如图，在四面体中，，，，且，，则（    ）

A． B．

C． D．

17．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ）

A． B． C． D．

18．（2022·上海市控江中学高二期中）如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用､､的线性组合表示___________.

19．（2022·浙江·於潜中学高二期中）设的对角线和交于为空间任意一点，如图所示，若，则_______．

20．如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为_________．

21．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，.

(1)用向量表示向量；

(2)求证.

核心知识3．空间向量的坐标表示

22．（2022·四川成都·高二期中（理））已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

23．（2022·山东德州·高二期末）已知，，若，则实数（    ）．

A． B． C．2 D．

24．已知空间向量，，则下列结论错误的是（    ）

A． B．

C． D．与夹角的余弦值为

25．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高二期中）已知，，则等于（    ）

A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23

26．（2022·福建宁德·高二期末）已知，，，则的坐标为______．

27．（2022·上海·复旦附中高二期中）空间两点、之间的距离为______．

28．（2022·广东潮州·高二期末）已知空间向量，则使成立的x的值为___________．

29．已知，，则向量与的夹角是________．

30．若直线a的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，则下列命题为真命题的序号是____. 

（1）若⊥，则直线a∥平面α；

（2）若∥，则直线a⊥平面α；

（3）若，则直线a与平面α所成角的大小为；

（4）若，则平面α，β的夹角为.

31．如图，建立空间直角坐标系．正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点．

（1）若是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，则分别求出向量，，的坐标；

（2）在（1）的条件下，分别求出，的值．

32．已知，，，，为与的夹角，求的值．

33．（2022·江苏泰州·高二期末）已知，．

(1)求的值；

(2)当时，求实数k的值．

34．（2022·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点，，．

(1)若，，三点共线，求的值；

(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．

核心知识4．空间向量在立体几何中的应用

35．（2022·江苏徐州·高二期末）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（    ）

A． B． C． D．

36．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ）

A． B．

C．或 D．

37．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

38．（2022·广东茂名·高二期末）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

39．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．//                         B．

C．//平面                    D．平面

40．已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.

41．（2022·福建龙岩·高二期末）在菱形ABCD中，，将沿BD折叠，使平面ABD⊥平面BCD，则AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.

42．已知E､F､G､H分别是正方体，边AB，CD，，的中点，则异面直线EH与GF所成角的余弦值为___________.

43．（2022·重庆长寿·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．

44．（2022·四川绵阳·高二期末（理））在正方体中，点Р在侧面(包括边界)上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是_____________

45．（2022·吉林省实验中学模拟预测（理））如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．

(1)求证；

(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值．

46．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．

(1)证明：平面；

(2)求与平面所成角的大小．

47．在棱长为的正方体中，E､F分别是与AB的中点.

(1)求与截面所成角的大小；

(2)求点B到截面的距离.

48．（2022·辽宁丹东·高一期末）如图，直三棱柱中，，D是棱的中点，.

(1)证明：；

(2)若.

（i）求直线与平面所成角的正弦值；

（ii）求二面角的大小.