数学九年级下册4 解直角三角形精品同步训练题

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专题1.3 解直角三角形（专项训练）
1．（•亳州期末）如图，在Rt△ABC中，若tanA＝，AB＝10，则△ABC的面积为（　　）

A．20 B．15 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：∵tanA＝＝，
∴BC＝AC．
∵BC2+AC2＝AB2，
∴（AC）2+AC2＝102．
∴AC2＝100．
∴AC2＝80．
∴AC＝4，BC＝2．
∴S△ABC＝•BC•AC
＝×2×4
＝4×（）2
＝4×5
＝20．
故选：A．
2．（2021•瑞安市一模）如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标为（　　）

A．（5，13） B．（5，12） C．（13，5） D．（12，5）
【答案】B
【解答】解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E．
设点P的坐标为（x，y），
则OE＝x，PE＝y．
在Rt△OPE中，
∵cosα＝＝，OP＝13，
∴OE＝5．
∴PE＝＝12．
∴P点的坐标为（5，12）．
故选：B．


3．（2022•义乌市校级开学）如图，D为平面直角坐标系内一点，OD与x轴构成∠1，那么tan∠1＝（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图：

在Rt△ODA中，tan∠1＝＝，
故选：C．
4．（2021秋•耒阳市期末）Rt△ABC的各边长都扩大3倍，则锐角A的余弦值和正切值（　　）
A．都扩大3倍 B．都缩小为原来的
C．都不变 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵Rt△ABC的各边长都扩大3倍，
∴所得的三角形与原三角形相似，
∴∠A的大小没有改变，
∴锐角A的余弦值和正切值都不变，
故选：C．
5．（2021•吴兴区二模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（　　）

A．2 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：延长AD、BC，两线交于O，


在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，
由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：D．
6．（2021秋•启东市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝2，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝3，则点C的坐标为（　　）

A．（﹣2，6） B．（﹣3，9） C．（﹣，） D．（﹣，）
【答案】C
【解答】解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，

∵OC2＝BC•AC，
∴＝，
∵∠ACO＝∠BCO，
∴△CBO∽△COA，
∴∠CAO＝∠COB，
∵∠COB+∠COD＝90°，∠CAO+∠ABO＝90°，
∴∠COD＝∠ABO＝α，
∵tanα＝3，
∴tan∠ABO＝＝3，
∴AO＝3BO，
在Rt△ABO中，AO2+BO2＝AB2，
∴9BO2+BO2＝40，
∴BO＝2，
∴AO＝3BO＝6，
在Rt△CDO中，tanα＝＝3，
∴CD＝3DO，
∵∠CDO＝∠BOA＝90°，∠BAO＝∠CAD，
∴△BAO∽△CAD，
∴＝，
∴＝，
∴OD＝，
∴CD＝3OD＝，
∴D（﹣，），
故选：C．
7．（2021•宜昌）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：法一、如图，

在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴cos∠ABC＝＝＝．
故选：B．
法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴cos∠ABC＝cos45°＝．
故选：B．
8．（2022•湖里区校级模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠BCD＝30°，则sin∠A＝　 　．

【答案】
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°．
∵∠BCD＝30°，
∴∠B＝60°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝30°．
∴sin∠A＝．
故答案为：．
9．（2022•萧山区校级一模）如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝4，则AC的长为 　 　．

【答案】
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝4，
∴AD＝AB•sinB＝4×＝1，
在Rt△ADC中，tanC＝，
∴DC＝＝＝2，
∴AC＝＝＝，
故答案为：．
10．（2022•吴中区模拟）如图，在△ABC中，∠A＝45°，tanB＝，BC＝10，则AB的长为　 　．

【答案】14
【解答】解：过C作CD⊥AB，交AB于D点，
在Rt△BCD中，tanB＝＝，BC＝10，
设BD＝4k，则CD＝3k，
根据勾股定理得：BD2+CD2＝BC2，即（4k）2+（3k）2＝102，
解得：k＝2或k＝﹣2（舍去），
∴BD＝8，CD＝6，
又∠ADC＝90°，∠A＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD＝CD＝6，
则AB＝AD+DB＝6+8＝14．
故答案为：14．

11．（2022春•朝阳区校级期中）在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．

【解答】解：过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，

∵∠ABC＝120°，
∴∠CBD＝180°﹣120°＝60°，
∵BC＝2，
∴sin∠CBD＝，cos∠CBD＝，
即sin60°＝＝，cos60°＝＝，
∴CD＝，BD＝1，
∵AB＝4，
∴AD＝AB+BD＝4+1＝5，
∴AC＝．
12.（2022•西湖区校级一模）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．

【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵∠C为锐角且tanC＝1，
∴∠C＝45°＝∠DAC．
∴AD＝DC．
∵sinC＝，AC＝4，
∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．
∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．
（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，
∴BD＝BC﹣DC＝2．
在Rt△ABD中，
AB＝＝＝2．
（3）在Rt△ABD中，
cos∠ABC＝＝＝．

13．（2021秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝60°，AB＝4，求△ABC的面积．

【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．则∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵∠B＝60°，∠BAC＝75°，
∴∠BAD＝30°，∠CAD＝45°，
∴BD＝AB＝2，
∴AD＝CD＝＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+2，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×（2+2）×2＝2+6．
14．（2021秋•房山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝，AD⊥BC于点D．若AD＝4，求BC的长．

【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝8，
∴BD＝＝＝4，
∵tanC＝＝，
∴CD＝AD＝×4＝3，
∴BC＝BD+CD＝4+3．
15．（2021秋•盐湖区期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝4，AC＝3，∠A＝30°．
（1）求AD的长．
（2）求sinC的值．

【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝4，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝2，AD＝BD＝2；

（2）∵AC＝3，AD＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝．
在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BD＝2，CD＝，
∴BC＝＝，
sinC＝＝＝．
16．（2022•钟山县模拟）如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，求点A的坐标．

【解答】解：如图：

∵点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），
∴OB＝1，OC＝，
在Rt△OBC中，BC＝＝＝2，
∴cos∠OBC＝＝，
∴∠OBC＝60°，
∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∵∠1＝180°﹣∠OBC﹣∠ABC＝30°，
∴∠A＝∠1＝30°，
∴AC∥x轴，
∴点A的坐标为（4，）．
17．（2022•嘉定区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，已知AE＝16，sinA＝．
（1）求CD的长；
（2）求∠DBC的余切值．

【解答】解：（1）设DE＝3x，
∵sinA＝，
∴AD＝5x，
由勾股定理可知：25x2＝9x2+162，
∴x＝4，
∴DE＝12，
∵∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝12．
（2）设BC＝y，
∴BC＝BE＝y，
∴AB＝16+y，
∵sinA＝，
∴＝，
∴＝，
∴y＝24，
∴cot∠DBC＝＝2．
18．（2021秋•潍坊期中）在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝　 　，tan30°＝　 　，发现结论：tanA　　2tan∠A（填“＝”或“≠”）；
（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．
请按小明的思路进行余下的求解：

（3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．
①tan2A＝　 　；
②求tan3A的值．
【解答】解：（1）tan60°＝，tan30°＝，
发现结论：tanA≠2tan∠A，
故答案为：，，≠；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝，
延长CA至D，使得DA＝AB，
∴AD＝AB＝，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，
∴tan∠A＝tan∠D＝＝﹣2；
（3）①作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE．
则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．
∴BC＝1，AB＝
设AE＝x，则EC＝3﹣x
在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，
解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝
∴tan2A＝tan∠BEC＝＝．
故答案为：．
②如图，作BM交AC于点M，使∠MBE＝∠EBA，
则∠BMC＝∠A+∠MBA＝3∠A．
设EM＝y，则MC＝EC﹣EM＝﹣y
∵∠MBE＝∠EBA，
∴＝，即＝，
∴BM＝y
在Rt△MBC中，BM2＝CM2+BC2
即（y）2＝（﹣y）2+1，
整理，得117y2+120y﹣125＝0，
解得，y1＝，y2＝﹣（不合题意，舍去）
即EM＝，CM＝﹣＝．
∴tan3A＝tan∠BMC＝
＝＝．