北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系4 解直角三角形学案设计

2021秋北师版九下数学1.4解直角三角形导学案

学习目标

1.了解解直角三角形的概念.

2.能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形.

学习策略

1.通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决.

2.通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想.

学习过程 

一.复习回顾：

1、在一个直角三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语）

2、在RtΔABC中，∠C=90°.a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？

3. RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？

二.新课学习：

1.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .

（1）直角三角形的三边之间有什么关系？

（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？

（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？

2.自读教材第16页例题1，思考如下问题：

（1）题目中已知几个元素？分别是什么？

（2）解这个直角三角形需要求出哪些元素？

（3）解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？

（4）你能正确求解吗？

（5）课本“想一想”：在Rt△ABC中，如果已知一边和一角，你能求出这个三角形的其他元素吗？

3. 自读教材第16页例题2，思考如下问题：

（1）题目中已知几个元素？分别是什么？

（2）解这个直角三角形需要求出哪些元素？

（3）解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？

（4）你能仿照例1独立完成求解吗？

教师给出解直角三角形的定义及其依据.

4.通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？

5.除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？

6.通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？

解直角三角形，有下面两种情况(其中至少有一边) ：

1.已知两条边（一直角边一斜边；两直角边

2.已知一条边和一个锐角（一直边一锐角；一斜边一锐角）

三.尝试应用：

1.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（     ）

A．        B．        C．

2. 在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=60°,BC=1,则AB=_____

3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，解这个直角三角形．

四.自主总结：

1、“解直角三角形”是由直角三角形中      的元素求出      元素的过程。

2、解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要     边，即已知两边或已知一边一锐角。

3、解直角三角形的方法：

（1）已知两边求第三边（或已知一边且另两边存在一定关系）时，        （后一种需设未知数，根据勾股定理列方程）；

（2）已知或求解中有斜边时，           ；无斜边时，           ；

（3）已知一个锐角求另一个锐角时，            。

五.达标测试

一、选择题

1. 如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（　　）

A．45 B．5 C． D．

2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3）和点B（4，0），则sin∠AOB的值等于（　　）

A． B． C． D．

3. 如图，过点C（﹣2，5）的直线AB分别交坐标轴于A（0，2），B两点，则tan∠OAB=（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

4.如图，AD⊥CD，∠ABD=60°，AB=4m，∠ACB=45°，则AC=　   　．

5. 在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=，∠B为锐角，则tanB=    　．

6. 如图，在△ABC中，cosB=，sinC=，AC=10，则△ABC的面积为　    　．

三、解答题

7．如图，在△ABC中，∠C=60°，AC=2，BC=3．求tanB的值．

8．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=4，求AC和BC的长．

9．如图，已知AC=4，求AB和BC的长．

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，D是AC上的一点，tan∠DBA=，求AD的长．

1.4解直角三角形达标测试答案

一、选择题

1．【解析】根据锐角三角函数的概念sinA=，代入已知数据计算即可．

【解答】解：∵sinA=，

∴BC=AB•sinA

=15×

=5，

故选：B．

【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．

2．【解析】根据题意可知：AB⊥x轴，垂足为B，利用勾股定理求出AO的长度后，利用锐角三角函数即可求出答案．

【解答】解：∵A（4，3），B（4，0），

∴AB⊥x轴，AB=3，

由勾股定理可知：AO=5，

∴sin∠AOB==，

故选（B）

【点评】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理，锐角三角函数等知识．

3. 【解析】利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得B的坐标，进而利用正切函数定义求解．

【解答】解：设直线AB的解析式是y=kx+b，

根据题意得：，

解得，

则直线AB的解析式是y=﹣x+2．

在y=﹣x+2中令y=0，解得x=．

则B的坐标是（，0），即OB=．

则tan∠OAB===．

故选B．

【点评】本题考查了三角函数的定义以及待定系数法求函数解析式，正确求得B的坐标是关键．

二、填空题

4．【解析】在Rt△ABD中，由∠ABD=60°、AB=4m，即可求出BD、AD的长度，在Rt△ACD中，由∠ACD=45°，利用等腰三角形的性质结合勾股定理，即可求出AC的长度，此题得解．

【解答】解：在Rt△ABD中，∠D=90°，∠ABD=60°，AB=4m，

∴BD=AB=2m，AD==2m．

在Rt△ACD中，∠D=90°，∠ACD=45°，AD=2m，

∴CD=AD=2m，AC==2m．

故答案为：2m．

【点评】本题考查了解直角三角形以及等腰三角形的性质，通过解含30°角的直角三角形找出AD的长度是解题的关键．

5．【解析】过点C作CD⊥AB与点D，由AC=6、sinA=，即可求出CD的长度，在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求出BD的长度，结合正切的定义即可得出结论．

【解答】解：过点C作CD⊥AB与点D，如图所示．

∵AC=6，sinA=，

∴CD=4．

在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BC=5，CD=3，

∴BD==3，

∴tanB==．

故答案为：．

【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，在Rt△BCD中，求出CD、BD的长度是解题的关键．

6．【解析】过点A作AC⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义，求出AD、BD和CD的长度．

【解答】解：过点A作AC⊥BC于点D，

∵sinC=，

∴AD=AC•sinC=6，

∴由勾股定理可知：BC=8，

∵cosB=，

∴∠B=45°，

∴BD=AD=6，

∴BC=14

∴△ABC的面积为：BC•AD=×6×14=42

故答案为：42

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据锐角三角函数求出AD与BD的长度，本题属于基础题型．

三、解答题

7．【解析】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出CD、AD，求出BD，在Rt△ADB中，解直角三角形求出即可．

【解答】解：

过A作AD⊥BC于D，

则∠ADC=∠ADB=90°，

∵∠C=60°，AC=2，

∴CD=AC•cos60°=1，AD=AC•sin60°=，

∵BC=3，

∴BD=3﹣1=2，

∴tanB==．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是求出AD、BD的长度和得出tanB=．

8．【解析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中通过解直角三角形即可求出AD、BD的长度，在Rt△ACD中通过解直角三角形即可的AC、CD的长度，再根据BC=BD+CD即可求出BC的长度．

【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=4，

∴AD=BD=AB•sin∠B=4×=4．

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，AD=4，

∴AC===8，CD===4，

∴BC=BD+CD=4+4．

【点评】本题考查了解直角三角形以及特殊角的三角函数，构建合适的直角三角形是解题的关键．

9．【解析】作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义在Rt△ACD中，在Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD，从而求解．

【解答】解：作CD⊥AB于点D，

在Rt△ACD中，∵∠A=30°，

∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，

CD=AC=2，

AD=AC•cosA=2．

在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=45°，

∴BD=CD=2，

∴BC=2，

∴AB=AD+BD=2+2．

【点评】本题考查了解直角三角形，作出辅助线是解题的关键，难度中等．

10．【解析】作DE⊥AB于E，先根据腰直角三角形的性质得到AB=AC=6，∠A=45°，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，利用∠DBE的正切得到BE=5x，然后由AE+BE=AB可计算出x=，再利用AD=x进行计算．

【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，

∵∠C=90°，AC=BC=6，

∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，

∴∠A=45°，

在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，

在Rt△BED中，tan∠DBE=，

∴BE==5x，

∴x+5x=6，解得x=，

∴AD=×=2．

【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．