北京市大兴区2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

这是一份北京市大兴区2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析），共15页。

2023北京大兴高一（下）期中
数 学
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘法法，准确计算，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得.
故选：D.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二倍角的正弦公式求解即可.
【详解】 .
故选：B.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 4 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标表示即可求解．
【详解】由，则，得.
故选：B．
4. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简解析式，由此求得的最小正周期.
【详解】，最小正周期为.
故选：B
5. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可解出，则可得到复平面内对应的点的坐标为.
【详解】因为，所以，
从而复平面内对应的点的坐标为，
故选：C.
6. 设平面向量，，均为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】由，得，得；反之不成立.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查判断命题的必要不充分条件，涉及向量数量积，属于基础题型.
7. 在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，求出与的关系，再运用二倍角余弦公式求解.
【详解】由题意作下图：

，；
故选：D.
8. 中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦定理求得，结合三角函数的基本关系式，利用，即可求解.
【详解】因为，由余弦定理可得，
又，则，
又因为，所以.
故选：A.
9. 已知是边长为的等边三角形，是边上的动点，是边的中点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基底的思路结合共线向量表示出，然后根据的取值范围计算即可.
【详解】
设，则，



，
所以的取值范围为.
故选：C.
10. 已知函数部分图象如图，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先结合已知条件和图像求出的解析式，然后利用函数的对称关系求出与之间的关系式，然后通过求出，进而即可求出.
【详解】结合题意可知，，
∵，∴，
又由图像可知，，
又由，即，即，，
从而，故，
令，，
从而的对称轴为，，
由图像可知，与关于对称，即，且，
因为，
所以.
故选：C.
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数的共轭复数为_______
【答案】
【解析】
【分析】根据共轭复数定义直接写出已知复数的共轭复数即可.
【详解】由共轭复数得定义：复数的共轭复数为.
故答案为：
12. 已知平面向量满足，，且与的夹角为，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量数量积运算公式进行出，从而求出.
【详解】，
故.
故答案为：
13. 在中，若，则_____．
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用同角三角函数的关系可求得结果.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
14. 已知，，，，点满足，点满足，则_____，_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先确定D，E点的位置，再根据数量积的运算规则求解.
【详解】由题意作下图：

其中点D是BC的中点，点E是AD的中点；
，，
，
；
故答案为：，.
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①为奇函数；
②在区间内有2个零点；
③的周期是；
④的最大值为．
其中所有正确结论的序号是_________．
【答案】②④
【解析】
【分析】根据三角函数的有关性质逐项分析.
【详解】对于①，，不是奇函数，错误；
对于②，，令，
，解得，对应的x值分别在第三象限和第四象限有一个，正确；
对于③，，错误；
对于④，由②的分析知，的最大值为，正确；
故答案为：②④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，再根据两角差的正弦公式求解；
（2）先求出，再根据两角差的正切公式求解.
【小问1详解】
因为，，所以，
所以；
【小问2详解】
因为，
，
所以，
所以.
17. 已知复数，为虚数单位．
（1）若，求的值；
（2）若为实数，求的值；
（3）若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值．
【答案】（1）0 （2）1
（3）或
【解析】
【分析】（1）直接列方程求解即可；
（2）把代入化简，然后由虚部为零，可求出的值；
（3）把代入方程化简，然后列方程组可求出的值．
小问1详解】
因为，所以.
【小问2详解】
因为为实数，
所以，解得.
【小问3详解】
因为是关于的实系数方程的一个复数根，
所以，
整理得，
所以，
解得或.
18. 已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知.
条件①：函数的图象经过点；
条件②：函数图象可由函数的图象平移得到；
条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为.
注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间；
（3）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）化简函数得，
若选①，则把代入函数中可求出的值，则可求出解析式，
若选②，则由三角函数图象平移规律可求出的值，
若选③，则，求出周期，再利用周期公式可求出的值；
（2）由可求出函数的单调增区间；
（3）利用正弦函数的性质求出在上的最大值，从而可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
,
选①：函数的图象经过点，则，
所以，则.
由，可得，则；
选②：函数的图象可由函数的图象平移得到，
即的图象可由函数的图象平移得到，
则，则
选③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，
则函数的最小正周期为，故，
故.
【小问2详解】
令,因为的单调递增区间是，
且由，得.
所以，的单调递增区间是.
【小问3详解】
当时，,则，
故，
又当时，关于的不等式恒成立，故,
即实数的取值范围为.
19. 如图，在中，，，，点在边的延长线上，且.

（1）求；
（2）求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解；
（2）由（1）可求得，在中，利用余弦定理可求，从而可求的周长.
【小问1详解】
在中，由正弦定理，
又，，，
所以.
因为，所以或.
若，则，与三角形两角和定理矛盾，故舍去，
所以.
【小问2详解】
在中，因为
所以是直角三角形，又，，
所以，
又因为，所以，
因为，
所以在中，由余弦定理
得，所以，
所以，的周长为.
20. 在△ABC中，．
（1）求B的值；
（2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
【答案】（1）
（2）正确条件为①③，（i），（ii）
【解析】
【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值；
（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求；
（ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长．
【小问1详解】
由题设，
而，
所以，故；
【小问2详解】
若①②正确，则，得或，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则，可得，即②为错误条件，
综上，正确条件为①③，
（i）由，则，即，
又，可得，
所以，可得，则，
故；
（ii）因为且，得，
由平分得，
在中，，
在中，由，得．

21. 在中，.
（1）设点为边靠近点的三等分点，，求的值；
（2）设点是线段的等分点，其中，.
（i）当时，求的值；（用含的式子表示）
（ii）求的值．（用含的式子表示）
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据，结合点为线段靠近点的三等分点，列出方程，即可求解；
（2）（i）根据题意得到，即可求解；
（ii）对任意正整数，得到 ， ，进而得到，，…,分为奇数和为偶数，两种情况讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，
而点为线段靠近点的三等分点，所以 ，所以，
所以.
【小问2详解】
解：（i）由题意得，,,
,,
所以.
所以.
（ii）对任意正整数，且，，,
由 ， ，
所以，
所以，，，
当为奇数时，，
当为偶数时，

所以，，.
所以