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2022-2023学年上海市徐汇区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年上海市徐汇区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市徐汇区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，无理数是( )
A. 4 B. 2π C. ( 3−1)0 D. 912
2. 月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在远地点时与地球相距约为4.05500千米，用科学记数法表示这个数(保留三个有效数字)，那么下列表示正确的是( )
A. 4.06×103 B. 4.06×104 C. 4.06×105 D. 4.06×106
3. 已知三角形的两边长分别是2和5，那么下列选项中可以作为此三角形第三边长的是( )
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
4. 在直角坐标系xOy中，已知点P在第三象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为 3，那么点P的坐标是( )
A. (2, 3) B. ( 3,2) C. (−2,− 3) D. (− 3,−2)
5. 下列判断正确的是( )
A. 等腰三角形任意两角相等 B. 等腰三角形底边上中线垂直底边
C. 任意两个等腰三角形全等 D. 等腰三角形三边上的中线都相等
6. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，如果AD=BD=BC，那么∠A的大小是…( )
A. 42°
B. 40°
C. 36°
D. 30°
二、填空题（本大题共14小题，共28.0分）
7. 9的平方根为______ ．
8. 计算：16−12=______．
9. 比较大小：−2 5 ______−3 2(填“>”“<”或“=”)．
10. 如果在数轴上的点A到原点的距离是 5，那么表示点A的实数是______ ．
11. 已知点P是线段AB上一点，过点P作射线PC，如果∠APC比∠BPC大52°，那么∠APC的度数是______ 度.
12. 已知在△ABC中，∠A=∠B=30°，D是边AB的中点，那么∠ACD= ______ 度.
13. 已知点M( 2,−3)，那么它关于原点的对称点M′坐标为______ ．
14. 如果点P(x−4,y+1)在第一象限，那么点Q(3−x,y+2)在第______ 象限．
15. 如图，直线AB与直线DE相交于点C，CF⊥DE，∠ACD=25°，那么∠BCF的度数是______ 度.
16. 如图，已知船C在观测站A的北偏东36°方向上，且在观测站B的北偏西15°方向上，那么∠ACB的度数是______ ．
17. 如图，已知AB//CD，点P是直线CD上的点，∠APB=102°，∠BPD=45°，那么∠A的度数是______ 度.
18. 如图，已知∠OCB=∠OBC，如果要说明△AOB≌△DOC，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是______ ．
19. 如图，已知∠A=29°，∠B=41°，∠ACB=48°，那么∠AOB的度数是______ ．
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2,−2 3)，那么将点M绕原点O逆时针旋转90°后与点N重合，那么点N的坐标是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题8.0分)
(1)计算： 2(3 2−2 3)−( 3− 2)2；
(2)利用分数指数幂的运算性质进行计算：316× 8÷632．
22. (本小题6.0分)
如图，已知△ABC，根据下列要求作图并回答问题：
(1)作边上的高CD；
(2)过点D作直线BC的垂线，垂足为E：
(3)点B到直线CD的距离是线段______的长度．(不要求写画法，只需写出结论即可)
23. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，完成下列问题：
(1)写出点A、B、C的坐标：
A______，B______，C______；
(2)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
(3)联结BB1、AB1，求△ABB1的面积．
24. (本小题8.0分)
如图，点D是等边△ABC中边AC上的任意一点，且△BDE也是等边三角形，那么AE与BC平行吗？请说明理由．
解：因为△ABC是等边三角形(已知)，
所以BC=BA(等边三角形各边相等)，
∠C=∠CAB=∠ABC=60°(等边三角形每个内角都是60°)；
因为△BDE是等边三角形(已知)，
所以EB=DB(______ )，
∠EBD=60°(______ )；
所以∠ABC=∠EBD(______ )，
所以∠ABC−∠ ______ =∠EBD−∠ ______ (等量减等量)，
即∠ ______ =∠ ______ ；
在△ABE和△CBD中，
BA=BC(已证),∠(ㅤㅤ)=∠(ㅤㅤ)(已证),EB=DB(已证),
所以△ABE≌△CBD(______ ).
所以∠EAB=∠ ______ =60°(______ )，
所以∠EAB+∠BAC=60°+60°=120°，
所以∠EAC+∠C=120°+60°=180°，
所以AE//BC(______ ).
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=BC，BO、CO分别平分ABC和∠ACB，过点O作DE//BC，分别交边AB、AC于点D和点E，如果△ABC的周长等于14，△ADE的周长等于9，求AC的长．
26. (本小题10.0分)
已知：如图，AD=BD，CD=ED，∠1=∠2，试说明∠3=∠1的理由.请按下列过程完成解答：
(1)说明△ADE和△BDC全等的理由；
(2)说明∠3=∠1的理由．
27. (本小题10.0分)
问题：如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠BAC，BE⊥AD于点E，说明AD=2BE的理由．
分析：要说明“一条线段等于另一条线段的两倍”，我们容易想到“线段的中点”和“等腰三角形的三线合一”两个基本图形．
如图1，若点C是线段AB的中点，则AB=2AC=2BC．
如图2，在△ABC中，若AB=AC，AD⊥BC于点D，则BC=2BD=2CD．
要求：请根据上述分析完成上述问题的解答．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A． 4=2是整数，它是有理数，
则A不符合题意；
B.2π是无限不循环小数，它是无理数，
则B符合题意；
C.( 3−1)0是整数，它是有理数，
则C不符合题意；
D.912是分数，它是有理数，
则D不符合题意；
故选：B．
整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，其相关概念是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】A
【解析】解：4.05500千米≈4.06×103米，
故选：A．
运用科学记数法进行记数、求解．
此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
3.【答案】A
【解析】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，
即5−2=3，5+2=7．
∴第三边取值范围应该为：3<第三边长度<7，
故只有A选项符合条件．
故选：A．
首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和>第三边，两边之差<第三边．
4.【答案】D
【解析】解：因为点P在第三象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为 3，
所以点P的坐标为(− 3,−2)，
故选：D．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
5.【答案】B
【解析】解：A、等腰三角形的两个底角相等，故A不符合题意；
B、等腰三角形底边上中线垂直底边，正确，故B符合题意；
C、任意两个等腰三角形不一定全等，故C不符合题意；
D、等腰三角形，两腰上的中线相等，故D不符合题意．
故选：B．
由等腰三角形的性质，即可判断．
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的性质．
6.【答案】C
【解析】解：∵AD=BD=BC，
∴△ABD，△BCD为等腰三角形，
设∠A=∠ABD=x，则∠CDB=∠CBD=2x，
又∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
即x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
故选：C．
由AD=BD，BC=DC可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠CDB=∠CBD=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=3x，在△ABC中，用内角和定理列方程求解．
本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．
7.【答案】± 3
【解析】解： 9的平方根为± 3，
故答案为：± 3．
根据平方根的意义，即可解答．
本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
8.【答案】14
【解析】解：16−12=11612=1 16=14.故答案为14．
根据负整数指数为正整数指数的倒数计算．
本题主要考查了负指数幂的运算．
9.【答案】<
【解析】解：∵(2 5)2=20，(3 2)2=18，
∴20>18，
∴2 5>3 2，
∴−2 5<−3 2，
故答案为：<．
利用平方运算比较2 5与3 2的大小，即可解答．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
10.【答案】± 5
【解析】解：设点A表示的数为x，
根据题意可得：|x|= 5，
解得：x=± 5．
故答案为：± 5．
根据题意列出方程：|x|= 5，进而求解．
本题主要考查了绝对值的知识，难度不大，认真分析即可．
11.【答案】116
【解析】解：根据题意可知：
∠APC+∠BPC=180°，
∠BPC=∠APC−52°
∴∠APC+(∠APC−52°)=180°，
∴∠APC=116°．
故答案为：116．
根据题意，可得∠APC+∠BPC=180°，再根据∠APC比∠BPC大52°，列出算式即可解答．
本题考查了角的计算，熟练掌握两角之和等于180度是解题关键．
12.【答案】60
【解析】解：∵∠A=∠B=30°，
∴CA=CB，
∵D是边AB的中点，
∴∠ACD=12∠ACB，
∵∠ACB=180°−∠A−∠B=120°，
∴∠ACD=60°．
故答案为：60．
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答．
本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
13.【答案】(− 2,3)
【解析】解：∵点M( 2,−3)，
∴它关于原点的对称点M′坐标为(− 2,3)．
故答案为：(− 2,3)．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点横纵坐标的关系是解题关键．
14.【答案】二
【解析】解：因为点P(x−4,y+1)在第一象限，
所以x−4>0y+1>0，
解得x>4，y>−1，
所以3−x<0，y+2>0，
所以点Q(3−x,y+2)在第二象限．
故答案为：二．
根据第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，可得x、y的取值范围，根据不等式的性质，可得(2−x)，(y+2)的范围，再根据点的横坐标的取值范围、纵坐标的取值范围，可得答案．
本题考查了点的坐标，利用第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，得出x、y的取值范围，再利用不等式的性质得出Q点的横坐标的取值范围，纵坐标的取值范围．
15.【答案】65
【解析】解：∵∠ACD=25°，
∴∠BCE=∠ACD=25°，
∵CF⊥DE，
∴∠ECF=90°，
∴∠BCF=90°−25°=65°．
故答案为：65．
根据对顶角相等得∠BCE=25°，然后再根据CF⊥DE，即可求出∠BCF的度数．
本题考查了垂线和对顶角的性质，解决本题的关键是垂线的性质．
16.【答案】51°
【解析】解：∵∠C=180°−(∠CAB+∠CBA)，
又∵36°+15°=180°−(∠CAB+∠CBA)，
∴∠ACB=36°+15°=51°．
故答案为：51°．
根据方向角的定义，利用三角形的内角和求解，即可求解．
本题主要考查了方向角，解题的关键是熟记三角形内角和定理．
17.【答案】33
【解析】解：如图所示：
∵∠APC+∠APB+∠BPD=180°，且∠APB=102°，∠BPD=45°，
∴∠APC=180°−102°−45°=33°，
又∵AB//CD，
∴∠A=∠APC=33°．
故答案为：33．
根据补角性质可得∠APC=180°−102°−45°=33°，再根据两直线平行，内错角相等得出∠A的度数即可．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
18.【答案】∠A=∠D或∠ABO=∠DCO或AO=DO．
【解析】解：①添加∠A=∠D；
∵∠ACB=∠DBC，
∴BO=CO，
在△AOB和△DOC中，
∠A=∠D∠AOB=∠DOCBO=CO，
∴△AOB≌△DOC(AAS)；
②添加∠ABO=∠DCO；
在△AOB和△DOC中，
∠ABO=∠DCOOB=OC∠AOB=∠DOC，
∴△AOB≌△DOC(ASA)；
③添加AO=DO，
在△AOB和△DOC中，
AO=DO∠AOB=∠DOCOB=OC，
∴△AOB≌△DOC(SAS)．
故答案为：∠A=∠D或∠ABO=∠DCO或AO=DO．
根据∠OCB=∠OBC，可得出OB=OC，∠AOB=∠DOC，根据AAS，ASA，SAS即可证明．
本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
19.【答案】118°
【解析】解：延长CO，如图，
∵∠BOE是△BC)的外角，∠AOE是△ACO的外角，∠A=29°，∠B=41°，
∴∠BOE=∠B+∠BCO=41°+∠BCO，∠AOE=∠A+∠ACO=29°+∠ACO，
∵∠ACB=48°，
∴∠AOB=∠BOE+∠AOE=41°+∠BCO+29°+∠ACO=70°+∠ACB=78°+48°=118°．
故答案为：118°．
延长CO，由三角形的外角性质可得∠BOE=∠B+∠BCO，∠ADE=∠A+∠ACO，从而可求解．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
20.【答案】(2 3,2)
【解析】解：过点M作MA⊥y轴于A，过点N作NB⊥x轴于B，
∴∠OAM=∠OBN=90°，
∵点M(2,−2 3)，
∴OA=2 3，MA=2，点M在第四象限，
由旋转的性质得：OM=ON，∠MON=90°，点N在第一象限，
∴∠NOB+∠BOM=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠MOA+∠BOM=90°，
∴∠MOA=∠NOB，
在△AMO和△BNO中，
∠MOA=∠NOB∠OAM=∠OBN=90°OM=ON，
∴△AMO≌△BNO(AAS)，
∴OA=OB=2 3，MA=NB=2，
∴点N的坐标为(2 3,2)．
故答案为：(2 3,2)．
过点M作MA⊥y轴于A，过点N作NB⊥x轴于B，则OA=2 3，MA=2，由旋转的性质得：OM=ON，∠MON=90°，点N在第一象限，然后证△AMO和△BNO全等得OA=OB=2 3，MA=NB=2，进而可得点N的坐标．
此题主要考查了点的坐标，图象的旋转变换和性质，解答此题的关键是理解点的坐标的意义，熟练掌握图形的旋转变换弧性质．
21.【答案】解：(1) 2(3 2−2 3)−( 3− 2)2；
= 2×3 2− 2×2 3−(3−2 6+2)
=6−2 6−3+2 6−2
=1；
(2)316× 8÷632
=243×232÷256
=243+32−56
=22
=4．
【解析】(1)先运用乘法分配律和完全平方公式将括号去掉后，再计算二次根式的加减运算；
(2)先运用分数指数幂将该算式变形为同底数幂相乘除进行求解．
此题考查了二次根式的混合运算和分数指数幂问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算．
22.【答案】解：(1)如图，线段CD即为所求．
(2)如图，线段DE即为所求．
(3)BD．
【解析】(1)见答案；
(2)见答案；
(3)B到直线CD的距离是线段BD的长度．
故答案为：BD．
(1)根据三角形高的定义画出图形即可．
(2)根据垂线的定义画出图形即可．
(3)根据点到直线的距离，判断即可．
本题考查作图−基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解三角形高的定义，垂线的定义，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)(−2,3) ，(−3,−1)，(−1,−2)；
(2)如图所示：
△A1B1C1即为所求．
(3)S△ABB1=12×6×4=12．
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)根据坐标解答即可；
(2)根据对称的性质画出图形即可；
(3)根据三角形的面积公式解答．
本题主要考查作图−对称变换，解题的关键是掌握对称变换的定义和性质及三角形的面积的求解．
24.【答案】等边三角形各边相等 等边三角形每个内角都是60° 等量代换 ABD ABD DBC EBA SAS C 全等三角形的对应角相等 同旁内角互补，两直线平行
【解析】解：因为△ABC是等边三角形(已知)，
所以BC=BA(等边三角形各边相等)，
∠C=∠CAB=∠ABC=60°(等边三角形每个内角都是60°)；
因为△BDE是等边三角形(已知)，
所以EB=DB(等边三角形各边相等)，
∠EBD=60°(等边三角形每个内角都是60°)；
所以∠ABC=∠EBD(等量代换)，
所以∠ABC−∠ABD=∠EBD−∠ABD(等量减等量)，
即∠DBC=∠EBA；
在△ABE和△CBD中，
BA=BC(已证)∠DBC=∠EBA(已证)EB=DB(已证)，
所以△ABE≌△CBD(SAS)．
所以∠EAB=∠C=60°(全等三角形的对应角相等)，
所以∠EAB+∠BAC=60°+60°=120°，
所以∠EAC+∠C=120°+60°=180°，
所以AE//BC(同旁内角互补，两直线平行)，
故答案为：等边三角形各边相等；等边三角形每个内角都是60°；等量代换；ABD；ABD；DBC，EBA；SAS；C；全等三角形的对应角相等；同旁内角互补，两直线平行．
先根据等边三角形的性质可得BC=BA，∠C=∠CAB=∠ABC=60°，EB=DB，∠EBD=60°，从而可得∠ABC=∠EBD，然后利用等式的性质可得∠DBC=∠EBA，从而利用SAS可证△ABE≌△CBD，最后利用全等三角形的性质可得∠EAB=∠C=60°，从而可得∠EAB+∠BAC=120°，进而可得∠EAC+∠C=180°，再利用同旁内角互补，两直线平行可得AE//BC，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：∵BO、CO分别平分ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵DE//BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠DOB，∠ACO=∠EOC，
∴DB=DO，EO=EC，
∵△ADE的周长等于9，
∴AD+DO+OE+AE=9，
∴AD+DB+EC+AE=9，
∴AB+AC=9，
∵△ABC的周长等于14，
∴BC=14−9=5，
∵AB=BC，
∴AB=BC=5，
∴AC=9−5=4，
∴AC的长为4．
【解析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△DBO和△ECO都是等腰三角形，从而可得DB=DO，EO=EC，然后根据等量代换可得AB+AC=9，从而可得BC=5，再根据AB=BC=5，从而求出AC的长，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE，
即∠ADE=∠BDC．
在△ADE和△BDC中，
AD=BD∠ADE=∠BDCED=CD，
∴△ADE≌△BDC(SAS)；
(2)∵△ADE≌△BDC，
∴∠AED=∠C．
又∵∠BED=∠2+∠C，
即∠3+∠AED=∠2+∠C，
∴∠3=∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠1．
【解析】(1)首先运用等式的基本性质证明∠ADE=∠BDC；运用SAS公理证明△ADE≌△BDC；
(2)借助全等三角形的性质证明∠AED=∠C；借助三角形外角的性质及等式的基本性质，即可证明∠3=∠1．
该题主要考查了等式的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握三角形外角的性质、全等三角形的判定等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
27.【答案】解：延长AC与BE交于点F，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=180°−∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BCF=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
∴∠F+∠FAE=90°，
∵∠FAE+∠ADC=90°，
∴∠F=∠ADC，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCF(ASA)，
∴AD=BF，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB(ASA)，
∴EF=BE=12BF，
∴BF=2BE，
∴AD=2BE．
【解析】延长AC与BE交于点F，根据平角定义可得∠ACB=∠BCF=90°，再根据垂直定义可得∠AEB=∠AEF=90°，从而可得∠F+∠FAE=90°，然后利用同角的余角相等可得∠F=∠ADC，从而利用ASA可证△ACD≌△BCF，进而可得AD=BF，再根据角平分线的定义可得∠CAD=∠DAB，最后根据ASA可证△AEF≌△AEB，从而利用全等三角形的性质可得EF=BE=12BF，再利用等量代换即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2022-2023学年上海市徐汇区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，无理数是( )
A. 4 B. 2π C. ( 3−1)0 D. 912
2. 月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在远地点时与地球相距约为4.05500千米，用科学记数法表示这个数(保留三个有效数字)，那么下列表示正确的是( )
A. 4.06×103 B. 4.06×104 C. 4.06×105 D. 4.06×106
3. 已知三角形的两边长分别是2和5，那么下列选项中可以作为此三角形第三边长的是( )
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
4. 在直角坐标系xOy中，已知点P在第三象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为 3，那么点P的坐标是( )
A. (2, 3) B. ( 3,2) C. (−2,− 3) D. (− 3,−2)
5. 下列判断正确的是( )
A. 等腰三角形任意两角相等 B. 等腰三角形底边上中线垂直底边
C. 任意两个等腰三角形全等 D. 等腰三角形三边上的中线都相等
6. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，如果AD=BD=BC，那么∠A的大小是…( )
A. 42°
B. 40°
C. 36°
D. 30°
二、填空题（本大题共14小题，共28.0分）
7. 9的平方根为______ ．
8. 计算：16−12=______．
9. 比较大小：−2 5 ______−3 2(填“>”“<”或“=”)．
10. 如果在数轴上的点A到原点的距离是 5，那么表示点A的实数是______ ．
11. 已知点P是线段AB上一点，过点P作射线PC，如果∠APC比∠BPC大52°，那么∠APC的度数是______ 度.
12. 已知在△ABC中，∠A=∠B=30°，D是边AB的中点，那么∠ACD= ______ 度.
13. 已知点M( 2,−3)，那么它关于原点的对称点M′坐标为______ ．
14. 如果点P(x−4,y+1)在第一象限，那么点Q(3−x,y+2)在第______ 象限．
15. 如图，直线AB与直线DE相交于点C，CF⊥DE，∠ACD=25°，那么∠BCF的度数是______ 度.
16. 如图，已知船C在观测站A的北偏东36°方向上，且在观测站B的北偏西15°方向上，那么∠ACB的度数是______ ．
17. 如图，已知AB//CD，点P是直线CD上的点，∠APB=102°，∠BPD=45°，那么∠A的度数是______ 度.
18. 如图，已知∠OCB=∠OBC，如果要说明△AOB≌△DOC，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是______ ．
19. 如图，已知∠A=29°，∠B=41°，∠ACB=48°，那么∠AOB的度数是______ ．
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2,−2 3)，那么将点M绕原点O逆时针旋转90°后与点N重合，那么点N的坐标是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题8.0分)
(1)计算： 2(3 2−2 3)−( 3− 2)2；
(2)利用分数指数幂的运算性质进行计算：316× 8÷632．
22. (本小题6.0分)
如图，已知△ABC，根据下列要求作图并回答问题：
(1)作边上的高CD；
(2)过点D作直线BC的垂线，垂足为E：
(3)点B到直线CD的距离是线段______的长度．(不要求写画法，只需写出结论即可)
23. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，完成下列问题：
(1)写出点A、B、C的坐标：
A______，B______，C______；
(2)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
(3)联结BB1、AB1，求△ABB1的面积．
24. (本小题8.0分)
如图，点D是等边△ABC中边AC上的任意一点，且△BDE也是等边三角形，那么AE与BC平行吗？请说明理由．
解：因为△ABC是等边三角形(已知)，
所以BC=BA(等边三角形各边相等)，
∠C=∠CAB=∠ABC=60°(等边三角形每个内角都是60°)；
因为△BDE是等边三角形(已知)，
所以EB=DB(______ )，
∠EBD=60°(______ )；
所以∠ABC=∠EBD(______ )，
所以∠ABC−∠ ______ =∠EBD−∠ ______ (等量减等量)，
即∠ ______ =∠ ______ ；
在△ABE和△CBD中，
BA=BC(已证),∠(ㅤㅤ)=∠(ㅤㅤ)(已证),EB=DB(已证),
所以△ABE≌△CBD(______ ).
所以∠EAB=∠ ______ =60°(______ )，
所以∠EAB+∠BAC=60°+60°=120°，
所以∠EAC+∠C=120°+60°=180°，
所以AE//BC(______ ).
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=BC，BO、CO分别平分ABC和∠ACB，过点O作DE//BC，分别交边AB、AC于点D和点E，如果△ABC的周长等于14，△ADE的周长等于9，求AC的长．
26. (本小题10.0分)
已知：如图，AD=BD，CD=ED，∠1=∠2，试说明∠3=∠1的理由.请按下列过程完成解答：
(1)说明△ADE和△BDC全等的理由；
(2)说明∠3=∠1的理由．
27. (本小题10.0分)
问题：如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠BAC，BE⊥AD于点E，说明AD=2BE的理由．
分析：要说明“一条线段等于另一条线段的两倍”，我们容易想到“线段的中点”和“等腰三角形的三线合一”两个基本图形．
如图1，若点C是线段AB的中点，则AB=2AC=2BC．
如图2，在△ABC中，若AB=AC，AD⊥BC于点D，则BC=2BD=2CD．
要求：请根据上述分析完成上述问题的解答．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A． 4=2是整数，它是有理数，
则A不符合题意；
B.2π是无限不循环小数，它是无理数，
则B符合题意；
C.( 3−1)0是整数，它是有理数，
则C不符合题意；
D.912是分数，它是有理数，
则D不符合题意；
故选：B．
整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，其相关概念是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】A
【解析】解：4.05500千米≈4.06×103米，
故选：A．
运用科学记数法进行记数、求解．
此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
3.【答案】A
【解析】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，
即5−2=3，5+2=7．
∴第三边取值范围应该为：3<第三边长度<7，
故只有A选项符合条件．
故选：A．
首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和>第三边，两边之差<第三边．
4.【答案】D
【解析】解：因为点P在第三象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为 3，
所以点P的坐标为(− 3,−2)，
故选：D．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
5.【答案】B
【解析】解：A、等腰三角形的两个底角相等，故A不符合题意；
B、等腰三角形底边上中线垂直底边，正确，故B符合题意；
C、任意两个等腰三角形不一定全等，故C不符合题意；
D、等腰三角形，两腰上的中线相等，故D不符合题意．
故选：B．
由等腰三角形的性质，即可判断．
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的性质．
6.【答案】C
【解析】解：∵AD=BD=BC，
∴△ABD，△BCD为等腰三角形，
设∠A=∠ABD=x，则∠CDB=∠CBD=2x，
又∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
即x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
故选：C．
由AD=BD，BC=DC可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠CDB=∠CBD=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=3x，在△ABC中，用内角和定理列方程求解．
本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．
7.【答案】± 3
【解析】解： 9的平方根为± 3，
故答案为：± 3．
根据平方根的意义，即可解答．
本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
8.【答案】14
【解析】解：16−12=11612=1 16=14.故答案为14．
根据负整数指数为正整数指数的倒数计算．
本题主要考查了负指数幂的运算．
9.【答案】<
【解析】解：∵(2 5)2=20，(3 2)2=18，
∴20>18，
∴2 5>3 2，
∴−2 5<−3 2，
故答案为：<．
利用平方运算比较2 5与3 2的大小，即可解答．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
10.【答案】± 5
【解析】解：设点A表示的数为x，
根据题意可得：|x|= 5，
解得：x=± 5．
故答案为：± 5．
根据题意列出方程：|x|= 5，进而求解．
本题主要考查了绝对值的知识，难度不大，认真分析即可．
11.【答案】116
【解析】解：根据题意可知：
∠APC+∠BPC=180°，
∠BPC=∠APC−52°
∴∠APC+(∠APC−52°)=180°，
∴∠APC=116°．
故答案为：116．
根据题意，可得∠APC+∠BPC=180°，再根据∠APC比∠BPC大52°，列出算式即可解答．
本题考查了角的计算，熟练掌握两角之和等于180度是解题关键．
12.【答案】60
【解析】解：∵∠A=∠B=30°，
∴CA=CB，
∵D是边AB的中点，
∴∠ACD=12∠ACB，
∵∠ACB=180°−∠A−∠B=120°，
∴∠ACD=60°．
故答案为：60．
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答．
本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
13.【答案】(− 2,3)
【解析】解：∵点M( 2,−3)，
∴它关于原点的对称点M′坐标为(− 2,3)．
故答案为：(− 2,3)．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点横纵坐标的关系是解题关键．
14.【答案】二
【解析】解：因为点P(x−4,y+1)在第一象限，
所以x−4>0y+1>0，
解得x>4，y>−1，
所以3−x<0，y+2>0，
所以点Q(3−x,y+2)在第二象限．
故答案为：二．
根据第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，可得x、y的取值范围，根据不等式的性质，可得(2−x)，(y+2)的范围，再根据点的横坐标的取值范围、纵坐标的取值范围，可得答案．
本题考查了点的坐标，利用第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，得出x、y的取值范围，再利用不等式的性质得出Q点的横坐标的取值范围，纵坐标的取值范围．
15.【答案】65
【解析】解：∵∠ACD=25°，
∴∠BCE=∠ACD=25°，
∵CF⊥DE，
∴∠ECF=90°，
∴∠BCF=90°−25°=65°．
故答案为：65．
根据对顶角相等得∠BCE=25°，然后再根据CF⊥DE，即可求出∠BCF的度数．
本题考查了垂线和对顶角的性质，解决本题的关键是垂线的性质．
16.【答案】51°
【解析】解：∵∠C=180°−(∠CAB+∠CBA)，
又∵36°+15°=180°−(∠CAB+∠CBA)，
∴∠ACB=36°+15°=51°．
故答案为：51°．
根据方向角的定义，利用三角形的内角和求解，即可求解．
本题主要考查了方向角，解题的关键是熟记三角形内角和定理．
17.【答案】33
【解析】解：如图所示：
∵∠APC+∠APB+∠BPD=180°，且∠APB=102°，∠BPD=45°，
∴∠APC=180°−102°−45°=33°，
又∵AB//CD，
∴∠A=∠APC=33°．
故答案为：33．
根据补角性质可得∠APC=180°−102°−45°=33°，再根据两直线平行，内错角相等得出∠A的度数即可．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
18.【答案】∠A=∠D或∠ABO=∠DCO或AO=DO．
【解析】解：①添加∠A=∠D；
∵∠ACB=∠DBC，
∴BO=CO，
在△AOB和△DOC中，
∠A=∠D∠AOB=∠DOCBO=CO，
∴△AOB≌△DOC(AAS)；
②添加∠ABO=∠DCO；
在△AOB和△DOC中，
∠ABO=∠DCOOB=OC∠AOB=∠DOC，
∴△AOB≌△DOC(ASA)；
③添加AO=DO，
在△AOB和△DOC中，
AO=DO∠AOB=∠DOCOB=OC，
∴△AOB≌△DOC(SAS)．
故答案为：∠A=∠D或∠ABO=∠DCO或AO=DO．
根据∠OCB=∠OBC，可得出OB=OC，∠AOB=∠DOC，根据AAS，ASA，SAS即可证明．
本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
19.【答案】118°
【解析】解：延长CO，如图，
∵∠BOE是△BC)的外角，∠AOE是△ACO的外角，∠A=29°，∠B=41°，
∴∠BOE=∠B+∠BCO=41°+∠BCO，∠AOE=∠A+∠ACO=29°+∠ACO，
∵∠ACB=48°，
∴∠AOB=∠BOE+∠AOE=41°+∠BCO+29°+∠ACO=70°+∠ACB=78°+48°=118°．
故答案为：118°．
延长CO，由三角形的外角性质可得∠BOE=∠B+∠BCO，∠ADE=∠A+∠ACO，从而可求解．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
20.【答案】(2 3,2)
【解析】解：过点M作MA⊥y轴于A，过点N作NB⊥x轴于B，
∴∠OAM=∠OBN=90°，
∵点M(2,−2 3)，
∴OA=2 3，MA=2，点M在第四象限，
由旋转的性质得：OM=ON，∠MON=90°，点N在第一象限，
∴∠NOB+∠BOM=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠MOA+∠BOM=90°，
∴∠MOA=∠NOB，
在△AMO和△BNO中，
∠MOA=∠NOB∠OAM=∠OBN=90°OM=ON，
∴△AMO≌△BNO(AAS)，
∴OA=OB=2 3，MA=NB=2，
∴点N的坐标为(2 3,2)．
故答案为：(2 3,2)．
过点M作MA⊥y轴于A，过点N作NB⊥x轴于B，则OA=2 3，MA=2，由旋转的性质得：OM=ON，∠MON=90°，点N在第一象限，然后证△AMO和△BNO全等得OA=OB=2 3，MA=NB=2，进而可得点N的坐标．
此题主要考查了点的坐标，图象的旋转变换和性质，解答此题的关键是理解点的坐标的意义，熟练掌握图形的旋转变换弧性质．
21.【答案】解：(1) 2(3 2−2 3)−( 3− 2)2；
= 2×3 2− 2×2 3−(3−2 6+2)
=6−2 6−3+2 6−2
=1；
(2)316× 8÷632
=243×232÷256
=243+32−56
=22
=4．
【解析】(1)先运用乘法分配律和完全平方公式将括号去掉后，再计算二次根式的加减运算；
(2)先运用分数指数幂将该算式变形为同底数幂相乘除进行求解．
此题考查了二次根式的混合运算和分数指数幂问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算．
22.【答案】解：(1)如图，线段CD即为所求．
(2)如图，线段DE即为所求．
(3)BD．
【解析】(1)见答案；
(2)见答案；
(3)B到直线CD的距离是线段BD的长度．
故答案为：BD．
(1)根据三角形高的定义画出图形即可．
(2)根据垂线的定义画出图形即可．
(3)根据点到直线的距离，判断即可．
本题考查作图−基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解三角形高的定义，垂线的定义，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)(−2,3) ，(−3,−1)，(−1,−2)；
(2)如图所示：
△A1B1C1即为所求．
(3)S△ABB1=12×6×4=12．
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)根据坐标解答即可；
(2)根据对称的性质画出图形即可；
(3)根据三角形的面积公式解答．
本题主要考查作图−对称变换，解题的关键是掌握对称变换的定义和性质及三角形的面积的求解．
24.【答案】等边三角形各边相等 等边三角形每个内角都是60° 等量代换 ABD ABD DBC EBA SAS C 全等三角形的对应角相等 同旁内角互补，两直线平行
【解析】解：因为△ABC是等边三角形(已知)，
所以BC=BA(等边三角形各边相等)，
∠C=∠CAB=∠ABC=60°(等边三角形每个内角都是60°)；
因为△BDE是等边三角形(已知)，
所以EB=DB(等边三角形各边相等)，
∠EBD=60°(等边三角形每个内角都是60°)；
所以∠ABC=∠EBD(等量代换)，
所以∠ABC−∠ABD=∠EBD−∠ABD(等量减等量)，
即∠DBC=∠EBA；
在△ABE和△CBD中，
BA=BC(已证)∠DBC=∠EBA(已证)EB=DB(已证)，
所以△ABE≌△CBD(SAS)．
所以∠EAB=∠C=60°(全等三角形的对应角相等)，
所以∠EAB+∠BAC=60°+60°=120°，
所以∠EAC+∠C=120°+60°=180°，
所以AE//BC(同旁内角互补，两直线平行)，
故答案为：等边三角形各边相等；等边三角形每个内角都是60°；等量代换；ABD；ABD；DBC，EBA；SAS；C；全等三角形的对应角相等；同旁内角互补，两直线平行．
先根据等边三角形的性质可得BC=BA，∠C=∠CAB=∠ABC=60°，EB=DB，∠EBD=60°，从而可得∠ABC=∠EBD，然后利用等式的性质可得∠DBC=∠EBA，从而利用SAS可证△ABE≌△CBD，最后利用全等三角形的性质可得∠EAB=∠C=60°，从而可得∠EAB+∠BAC=120°，进而可得∠EAC+∠C=180°，再利用同旁内角互补，两直线平行可得AE//BC，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：∵BO、CO分别平分ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵DE//BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠DOB，∠ACO=∠EOC，
∴DB=DO，EO=EC，
∵△ADE的周长等于9，
∴AD+DO+OE+AE=9，
∴AD+DB+EC+AE=9，
∴AB+AC=9，
∵△ABC的周长等于14，
∴BC=14−9=5，
∵AB=BC，
∴AB=BC=5，
∴AC=9−5=4，
∴AC的长为4．
【解析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△DBO和△ECO都是等腰三角形，从而可得DB=DO，EO=EC，然后根据等量代换可得AB+AC=9，从而可得BC=5，再根据AB=BC=5，从而求出AC的长，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE，
即∠ADE=∠BDC．
在△ADE和△BDC中，
AD=BD∠ADE=∠BDCED=CD，
∴△ADE≌△BDC(SAS)；
(2)∵△ADE≌△BDC，
∴∠AED=∠C．
又∵∠BED=∠2+∠C，
即∠3+∠AED=∠2+∠C，
∴∠3=∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠1．
【解析】(1)首先运用等式的基本性质证明∠ADE=∠BDC；运用SAS公理证明△ADE≌△BDC；
(2)借助全等三角形的性质证明∠AED=∠C；借助三角形外角的性质及等式的基本性质，即可证明∠3=∠1．
该题主要考查了等式的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握三角形外角的性质、全等三角形的判定等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
27.【答案】解：延长AC与BE交于点F，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=180°−∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BCF=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
∴∠F+∠FAE=90°，
∵∠FAE+∠ADC=90°，
∴∠F=∠ADC，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCF(ASA)，
∴AD=BF，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB(ASA)，
∴EF=BE=12BF，
∴BF=2BE，
∴AD=2BE．
【解析】延长AC与BE交于点F，根据平角定义可得∠ACB=∠BCF=90°，再根据垂直定义可得∠AEB=∠AEF=90°，从而可得∠F+∠FAE=90°，然后利用同角的余角相等可得∠F=∠ADC，从而利用ASA可证△ACD≌△BCF，进而可得AD=BF，再根据角平分线的定义可得∠CAD=∠DAB，最后根据ASA可证△AEF≌△AEB，从而利用全等三角形的性质可得EF=BE=12BF，再利用等量代换即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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