2022-2023学年福建省龙岩市高一（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年福建省龙岩市高一（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）若函数的定义域为集合M，则M＝（ ）
A．[2，+∞）B．（3，+∞）
C．[2，3）D．[2，3）∪（3，+∞）
2．（5分）命题p：∀x≥0，2x﹣sinx≥0，则¬p为（ ）
A．∀x≥0，2x﹣sinx＜0B．∀x＜0，2x﹣sinx＜0
C．∃x≥0，2x﹣sinx＜0D．∃x＜0，2x﹣sinx＜0
3．（5分）cs225°的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝lg0.33，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a
5．（5分）对于等式sin3x＝cs2x+csx，下列说法中正确的是（ ）
A．对∀x∈R，等式都成立
B．对∀x∈R，等式都不成立
C．当x＝0时，等式成立
D．∃x∈R，等式成立
6．（5分）若定义在R上的奇函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f（3）＝0，则满足xf（x﹣2）＜0的x的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，5）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，5）
C．（﹣1，0）∪（2，5）D．（﹣1，0）∪（5，+∞）
7．（5分）在△ABC中，∠B＝135°，若BC边上的高等于，则sin∠BAC的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．6B．8C．12D．16
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡上．
（多选）9．（5分）若二次函数f（x）＝x2+（2﹣a）x+1在区间[﹣1，2]上是增函数，则a可以是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（﹣1，3）
B．若正实数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值为2
C．若x∈R，则
D．不等式x2﹣4x+5﹣sinx≥0对x∈R恒成立
（多选）11．（5分）设f（x）＝asin2x+bcs2x，其中a，b是正实数．若对一切x∈R恒成立，则（ ）
A．
B．f（x）的单调递增区间是
C．
D．不存在正实数a，b，使得f（a）＞2b
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|alg2|x﹣b|+c|（a＞0）的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，0），且图象无限接近直线x＝﹣2，则（ ）
A．f（﹣4）＝1
B．函数f（x）的递增区间为（﹣3，﹣2）和（0，+∞）
C．函数f（x﹣2）是偶函数
D．方程f（x）+x2+4x﹣m2+2＝0有4个解
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）2lg2+lg25＝ ．
14．（5分）设f（x）＝cs2x+4csx，若对任意实数x都有a≤f（x）成立，则实数a的取值范围是 ．
15．（5分）如图，已知AB是半径为2的圆的直径，点C，D在圆上运动且CD∥AB，则当梯形ABCD的周长最大时，梯形ABCD的面积为 ．
16．（5分）已知函数y＝f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（﹣x）＝﹣f（x），则称函数y＝f（x）为定义域上的局部奇函数．若函数f（x）＝lg3（x+m）是[﹣2，2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合．
（1）若a＝2，求A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知．
（1）求；
（2）若是第三象限角，求cs（α+β）的值．
19．（12分）已知幂函数f（x）＝（2m2﹣9m+10）xm﹣1为偶函数，g（x）＝f（x）（k∈R）．
（1）若g（2）＝5，求k；
（2）已知k≤2，若关于x的不等式g（x）0在[1，+∞）上恒成立，求k的取值范围．
20．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）将函数f（x）的图象向右平移，得到函数g（x）的图象．求函数g（x）在区间的值域．
21．（12分）我国十四五规划和2035年远景目标明确提出，要“增进民生福祉，不断实现人民对关好生活的向往”．大众旅游时代已经来临，旅游不再是一种奢侈品，已逐渐成为现代人的幸福必品；也不再是传统的走马观花式的“到此一游”，而逐渐转变为一种旅居度假的“生活方式”，“微度假”已成为适合后疫情时代旅游休闲的一种主流模式．如图，某度假村拟在道路的一侧修建一条趣味滑行赛道，赛道的前一部分为曲线ABM，当x∈[0，3）时，该曲线为二次函数图象的一部分，其中顶点为B（2，1），且过点M（3，2）；赛道的后一部分为曲线MN，当x∈[3，9]时，该曲线为函数y＝lga（x﹣1）+b（a＞0，且a≠1）图象的一部分，其中点N（9，0）．
（1）求函数关系式y＝f（x）；
（2）已知点P（5，4），函数h（x）＝2f（x）﹣3（3≤x≤9），设点Q是曲线y＝h（x）上的任意一点，求线段|PQ|长度的最小值．
22．（12分）已知函数，其中a＞0，且a≠1．
（1）当a＝2时，判断函数F（x）＝f（x）﹣g（x）零点的个数；
（2）设函数h（x）的定义域为D，若∀x1，x2，x3∈D，h（x1），h（x2），h（x3）均为某一三角形的三边长，则称h（x）为“可构造三角形函数”．已知函数是“可构造三角形函数”，求实数a的取值范围．
2022-2023学年福建省龙岩市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．请把答案填涂在答题卡上．
1．（5分）若函数的定义域为集合M，则M＝（ ）
A．[2，+∞）B．（3，+∞）
C．[2，3）D．[2，3）∪（3，+∞）
【分析】利用被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解．
【解答】解：由已知得，解得x≥2且x≠3，
即函数的定义域为集合M＝[2，3）∪（3，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
2．（5分）命题p：∀x≥0，2x﹣sinx≥0，则¬p为（ ）
A．∀x≥0，2x﹣sinx＜0B．∀x＜0，2x﹣sinx＜0
C．∃x≥0，2x﹣sinx＜0D．∃x＜0，2x﹣sinx＜0
【分析】根据命题的否定即可得到结论．
【解答】解：∵命题p：∀x≥0，2x﹣sinx≥0，∴¬p：∃x≥0，2x﹣sinx＜0，
故选：C．
【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．
3．（5分）cs225°的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用诱导公式将大角变小角，然后根据特殊角的三角函数得答案．
【解答】解：．
故选：B．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
4．（5分）已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝lg0.33，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来比较大小．
【解答】解：由y＝0.3x在R上单调递减得0＜a＝0.30.2＜0.30.1＝b＜0.30＝1，
又y＝lg0.3x在（0，+∞）上单调递减得c＝lg0.33＜lg0.31＝0，
∴c＜a＜b．
故选：C．
【点评】本题主要考查了对数函数及指数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
5．（5分）对于等式sin3x＝cs2x+csx，下列说法中正确的是（ ）
A．对∀x∈R，等式都成立
B．对∀x∈R，等式都不成立
C．当x＝0时，等式成立
D．∃x∈R，等式成立
【分析】利用特殊值判断即可．
【解答】解：因为sin3x＝sin（2x+x）＝sin2xcsx+cs2xsinx，
当x＝0时，显然不满足sin3x＝cs2x+csx，故AC错误；
当时，，，cs2x＝csπ＝﹣1，
此时满足sin3x＝cs2x+csx，故D正确，B错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．
6．（5分）若定义在R上的奇函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f（3）＝0，则满足xf（x﹣2）＜0的x的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，5）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，5）
C．（﹣1，0）∪（2，5）D．（﹣1，0）∪（5，+∞）
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f（x）在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于零，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果．
【解答】解：因为定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（3）＝0，
所以f（x）在（﹣∞，0）上也是单调递增，且f（﹣3）＝0，f（0）＝0，
所以当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0，当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0，
所以由xf（x﹣2）＜0，可得或
解得﹣1＜x＜0或2＜x＜5，即x∈（﹣1，0）∪（2，5），
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
7．（5分）在△ABC中，∠B＝135°，若BC边上的高等于，则sin∠BAC的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据条件作图，得到△ADB为等腰直角三角形且，进而可求得sinC，csC，再将展开计算可得答案．
【解答】解：如图过A作AD⊥BC交CB的延长线于点D，
则，∠ABC＝135°，
则∠ABD＝45°，即△ADB为等腰直角三角形，∴AD＝BD，即，
设AD＝t，t＞0，则DC＝3t，，∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的几何计算，考查转化能力，中档题．
8．（5分）函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【分析】根据题意整理可得，将函数f（x）的零点问题转化为y＝sinπx与的交点问题，利用图象结合对称性分析运算．
【解答】解：由题意可得：，
令f（x）＝0，且f（1）＝1≠0，可得，
作出函数y＝sinπx与的图象如图所示，
∵y＝sinπx与均关于点（1，0）对称，
由图可设y＝sinπx与的交点横坐标依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，
根据对称性可得x1+x8＝x2+x7＝x3+x6＝x4+x5＝2，
故函数f（x）在上所有零点之和为2×4＝8．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡上．
（多选）9．（5分）若二次函数f（x）＝x2+（2﹣a）x+1在区间[﹣1，2]上是增函数，则a可以是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】根据单调性得二次函数的对称轴和区间的位置关系，据此列不等式求解即可．
【解答】解：二次函数f（x）＝x2+（2﹣a）x+1对称轴为，
因为二次函数f（x）＝x2+（2﹣a）x+1在区间[﹣1，2]上是增函数，
所以，解得a≤0．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（﹣1，3）
B．若正实数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值为2
C．若x∈R，则
D．不等式x2﹣4x+5﹣sinx≥0对x∈R恒成立
【分析】对A：解一元二次不等式即可判断；对B、C：利用基本不等式分析判断；对D：整理可得x2﹣4x+5﹣sinx＝（x﹣2）2+（1﹣sinx），结合正弦函数的有界性分析判断．
【解答】解：对A：x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，
故不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（﹣1，3），A正确；
对B：∵x，y＞0，则，当且仅当x＝y＝2时等号成立，B错误；
对C：∵x∈R，令t＝x﹣1，则x＝t+1，可得，
当t＞0时，则，当且仅当，即时等号成立；
当t＜0时，则，当且仅当，即时等号成立，
故，
综上所述：，C错误；
对D：x2﹣4x+5﹣sinx＝（x﹣2）2+（1﹣sinx），
∵（x﹣2）2≥0，1﹣sinx≥0，
∴不等式x2﹣4x+5﹣sinx≥0对x∈R恒成立，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）11．（5分）设f（x）＝asin2x+bcs2x，其中a，b是正实数．若对一切x∈R恒成立，则（ ）
A．
B．f（x）的单调递增区间是
C．
D．不存在正实数a，b，使得f（a）＞2b
【分析】根据题意结合辅助角公式分析运算可得，进而可得，结合正弦函数性质逐项分析判断．
【解答】解：由辅助角公式可得：，
由题意可得：为函数f（x）的最大值，则，
整理得，即，
∴，
对A：，A正确；
对B：∵a＞0，令，解得，
故f（x）的单调递增区间是，B错误；
对C：，
故，C正确；
对D：对∀a，b＞0，则恒成立，
故不存在正实数a，b，使得f（a）＞2b，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题综合考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|alg2|x﹣b|+c|（a＞0）的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，0），且图象无限接近直线x＝﹣2，则（ ）
A．f（﹣4）＝1
B．函数f（x）的递增区间为（﹣3，﹣2）和（0，+∞）
C．函数f（x﹣2）是偶函数
D．方程f（x）+x2+4x﹣m2+2＝0有4个解
【分析】首先判断函数的对称性即可得b＝﹣2，再根据函数过点的坐标，得到方程组，求出a、c的值，即可得到函数解析式，从而作出函数图象，结合图象一一分析即可．
【解答】解：因为f（x）＝|alg2|x﹣b|+c|（a＞0），
所以f（x+b）＝|alg2|x|+c|，f（b﹣x）＝|alg2|x|+c|，即f（x+b）＝f（b﹣x），
所以函数f（x）的图象关于直线x＝b对称，又已知其图象无限接近直线x＝﹣2，
∴b＝﹣2，∴f（x）＝|alg2|x+2|+c|，
由已知得，
∴，
∴f（x）＝|lg2|x+2||，y＝f（x）的图象如图所示：
所以f（﹣4）＝|lg2|﹣4+2||＝1，故A选项正确，
由图可知f（x）的单调递增区间为（﹣3，﹣2），（﹣1，+∞），所以B错误，
又f（x﹣2）＝|lg2|x||为偶函数，所以C正确，
由f（x）+x2+4x﹣m2+2＝0即f（x）＝﹣x2﹣4x+m2﹣2，
记g（x）＝﹣x2﹣4x+m2﹣2＝﹣（x+2）2+m2+2
注意到最大值g（﹣2）＝m2+2≥2，g（﹣1）＝m2+1≥1，且g（x）开口向下，
所以y＝f（x）与y＝g（x）有4个交点，即方程f（x）+x2+4x﹣m2+2＝0有4个解，所以D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）2lg2+lg25＝ 2 ．
【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．
【解答】解：2lg2+lg25
＝lg4+lg25
＝lg100
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．
14．（5分）设f（x）＝cs2x+4csx，若对任意实数x都有a≤f（x）成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣3] ．
【分析】将问题转化为a≤f（x）min，然后利用换元法将f（x）转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可．
【解答】解：若对任意实数x都有a≤f（x）成立，
则a≤f（x）min，
又f（x）＝cs2x+4csx＝2cs2x+4csx﹣1，
令csx＝t，t∈[﹣1，1]，∴g（t）＝f（x）＝2t2+4t﹣1，t∈[﹣1，1]，
其对称轴为t＝﹣1，
故函数g（t）在[﹣1，1]上单调递增，f（x）min＝g（﹣1）＝2﹣4﹣1＝﹣3，
∴a≤﹣3．
故答案为：（﹣∞，﹣3]．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，属于基础题．
15．（5分）如图，已知AB是半径为2的圆的直径，点C，D在圆上运动且CD∥AB，则当梯形ABCD的周长最大时，梯形ABCD的面积为 ．
【分析】连接AC，设∠BAC＝θ，过点C作CE⊥AB交AB于点E，过点D作DF⊥AB交AB于点F，即可表示出BC，BE，CD，再根据平面几何的性质得到AD＝BC，从而表示出CABCD，结合二次函数的性质求出CABCD的最大值及此时θ的值，再根据梯形面积公式计算可得．
【解答】解：连接AC，设∠BAC＝θ，，过点C作CE⊥AB交AB于点E，过点D作DF⊥AB交AB于点F，
设圆的半径为R，则R＝2，
则BC＝2Rsinθ，，
因为CD∥AB，所以，则AD＝BC，即梯形ABCD为等腰梯形，
所以CD＝EF＝AB﹣2BE＝2R﹣4Rsin2θ，
所以，
所以当，即时，（CABCD）max＝10，
所以BC＝2，AB＝4，，所以，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）已知函数y＝f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（﹣x）＝﹣f（x），则称函数y＝f（x）为定义域上的局部奇函数．若函数f（x）＝lg3（x+m）是[﹣2，2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是 ．
【分析】由函数有意义，及局部奇函数的定义，列出不等式求解．
【解答】解：由f（x）＝lg3（x+m）是[﹣2，2]上的局部奇函数，所以x+m＞0在[﹣2，2]上恒成立，
所以m﹣2＞0，即m＞2，
由局部奇函数的定义，存在x∈[﹣2，2]，使得lg3（﹣x+m）＝﹣lg3（x+m），
即存在x∈[﹣2，2]，使得，
所以存在x∈[﹣2，2]，使得m2﹣x2＝1，即m2＝x2+1，
又因为x∈[﹣2，2]，所以x2+1∈[1，5]，所以m2∈[1，5]，即，
综上．
故答案为：．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合．
（1）若a＝2，求A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
【分析】（1）代入a＝2，求出集合A，B，然后求并集即可．
（2）解含参的二次不等式得集合B，再根据A∩B＝∅列不等式求解即可．
【解答】解：（1），
当a＝2时，B＝{x|x2﹣8x+12≤0}＝{x|（x﹣2）（x﹣6）≤0}＝{x|2≤x≤6}，
所以A∪B＝{x|﹣3≤x≤6}；
（2）B＝{x|x2﹣4ax+3a2≤0，a＞0}＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）≤0，a＞0}＝{x|a≤x≤3a}，
又由（1）A＝{x|﹣3≤x≤4}，
因为A∩B＝∅，所以3a＜﹣3或a＞4，
所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．
【点评】本题主要考查了集合交集及并集运算，属于基础题．
18．（12分）已知．
（1）求；
（2）若是第三象限角，求cs（α+β）的值．
【分析】（1）先化简，然后代入计算即可；
（2）先根据条件求出sinα和sinβ，再利用两角和的余弦公式计算cs（α+β）即可．
【解答】解：（1）由已知得，
∴；
（2）由（1）得，即，
又，得，
∵是第三象限角，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角基本关系及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
19．（12分）已知幂函数f（x）＝（2m2﹣9m+10）xm﹣1为偶函数，g（x）＝f（x）（k∈R）．
（1）若g（2）＝5，求k；
（2）已知k≤2，若关于x的不等式g（x）0在[1，+∞）上恒成立，求k的取值范围．
【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出f（x），再利用g（2）＝5列方程求出k；
（2）将问题转化为，构造函数，利用函数单调性的定义判断h（x）的单调性，根据单调性可求得h（x）min，进而可得k的取值范围．
【解答】解：（1）对于幂函数f（x）＝（2m2﹣9m+10）xm﹣1，得2m2﹣9m+10＝1，
解得或m＝3，
又当时，不为偶函数，
∴m＝3，
∴f（x）＝x2，
∴，
∴，
解得k＝2；
（2）关于x的不等式在[1，+∞）上恒成立，
即在[1，+∞）上恒成立，
即，
先证明在[1，+∞）上单调递增：
任取x1＞x2＞1，
则，
∵x1＞x2＞1，
∴x1﹣x2＞0，（x1+x2）x1x2＞2，
又k≤2，
∴（x1+x2）x1x2﹣k＞0，
∴h（x1）﹣h（x2）＞0，即h（x1）＞h（x2），
故在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）min＝h（1）＝1+k，
∴，
又k≤2，
解得，即实数k的取值范围为．
【点评】本题考查幂函数的性质以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）将函数f（x）的图象向右平移，得到函数g（x）的图象．求函数g（x）在区间的值域．
【分析】（1）先利用三角恒等变形的公式将函数变形为y＝Acs（ωx+φ）的形式，进而可得最小正周期；
（2）先通过平移求出函数g（x）的解析式，再利用余弦函数的图像和性质可求得值域．
【解答】解：（1），
∴f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的图象向右平移得，
∵，∴，
当，即时，，
当，即时，，
故函数g（x）在区间的值域为[﹣1，2]．
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
21．（12分）我国十四五规划和2035年远景目标明确提出，要“增进民生福祉，不断实现人民对关好生活的向往”．大众旅游时代已经来临，旅游不再是一种奢侈品，已逐渐成为现代人的幸福必品；也不再是传统的走马观花式的“到此一游”，而逐渐转变为一种旅居度假的“生活方式”，“微度假”已成为适合后疫情时代旅游休闲的一种主流模式．如图，某度假村拟在道路的一侧修建一条趣味滑行赛道，赛道的前一部分为曲线ABM，当x∈[0，3）时，该曲线为二次函数图象的一部分，其中顶点为B（2，1），且过点M（3，2）；赛道的后一部分为曲线MN，当x∈[3，9]时，该曲线为函数y＝lga（x﹣1）+b（a＞0，且a≠1）图象的一部分，其中点N（9，0）．
（1）求函数关系式y＝f（x）；
（2）已知点P（5，4），函数h（x）＝2f（x）﹣3（3≤x≤9），设点Q是曲线y＝h（x）上的任意一点，求线段|PQ|长度的最小值．
【分析】（1）当x∈[0，3）时，设f（x）＝m（x﹣2）2+1，代入M（3，2）求出f（x），当x∈[3，9]时，把点M（3，2），N（9，0）分别代入y＝lga（x﹣1）+b，求出f（x）；
（2）根据（1）求出，根据两点之间距离公式和二次函数性质求出线段|PQ|长度的最小值．
【解答】解：（1）由题意得，当x∈[0，3）时，设f（x）＝m（x﹣2）2+1，
因为曲线过点M（3，2），所以m+1＝2，则m＝1，
所以f（x）＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5，
当x∈[3，9]时，把点M（3，2），N（9，0）分别代入y＝lga（x﹣1）+b，
即，解得，
所以；
（2）由条件得，
设，又因为点P（5，4），
则，
设x﹣1＝t（2≤t≤8），则，
函数在t∈[2，8]上单调递增，所以，|PQ|2＝u2﹣8u+30，
当u＝4，即时，．
【点评】本题主要考查了分段函数的实际应用，考查了二次函数的性质，属于中档题．
22．（12分）已知函数，其中a＞0，且a≠1．
（1）当a＝2时，判断函数F（x）＝f（x）﹣g（x）零点的个数；
（2）设函数h（x）的定义域为D，若∀x1，x2，x3∈D，h（x1），h（x2），h（x3）均为某一三角形的三边长，则称h（x）为“可构造三角形函数”．已知函数是“可构造三角形函数”，求实数a的取值范围．
【分析】（1）首先求出F（x）的解析式，再判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可；
（2）首先求出w（x）的解析式，依题意只需2w（x）min＞w（x）max即可，分、、、a＞1四种情况讨论，分别求出函数的值域，即可得到不等式，从而求出参数的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，因为2x+lg2（4x﹣1）﹣3，
所以，，所以，
又因为y＝2x，y＝4x﹣1及y＝lg2x在定义域上均单调递增，
所以F（x）＝2x+lg2（4x﹣1）﹣3在上单调递增，
故函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在上有且只有一个零点．
（2）解：由于函数是“可构造三角形函数”，
其定义域为，
因为a＞0且a≠1，要使得w（x）是可构造三角形函数，
只需2w（x）min＞w（x）max即可，
当时，y＝a4x+1在上单调递减且1＜a4x+1＜a+1，在（1，a+1）上单调递增，
所以是上的减函数，
则w（x）的值域为，由得8a+8≥5恒成立，
所以；
当时，w（x）＝1，符合题意；
当时，y＝a4x+1在上单调递减且1＜a4x+1＜a+1，在（1，a+1）上单调递减，
所以是上的增函数，
则w（x）的值域为，由，
解得，又，故；
当a＞1时，y＝a4x+1在上单调递增且a4x+1＞a+1，在（a+1，+∞）上单调递减，
所以是上的减函数，
则w（x）的值域为，由得，又a＞1，所以a∈∅，
综上，实数a的取值范围为（0，1）．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
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