福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试题

这是一份福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
第7题简析：,令，所以，所以，又，所以，又，所以，所以.
第8题简析：因为，构造，易得：，所以，又易得，令，得，所以，即，所以，综上.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
第11题简析：作出函数的图象，由图象可知A正确，B正确
对于C选项或，由函数的图象可知或，故C错误.
对于D选项或，由函数的图象可知

第12题简析：由题意知点在上动点，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，所以，所以A错误；
易得平面，所以，所以B正确；
当线段取最小值时，是的中点，为圆弧的中点，所以，所以，所以，所以C正确；
当时，与重合，与垂直的平面，即与体对角线垂直的平面，显然平面，而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形，所以截面面积的最大值为，所以D正确.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
第16题简析：法一：依题意：在上恒成立，
设，
令，，则在上单调递增，，，所以使，
当时，在单调递减；当时，在单调递增，，由得，设，则，在上单调递增，所以，即，故，所以
法二：，可证，当且仅当时取“”，令，即
当，即时，，此时不等式恒成立；
当，即时，设，在上单调递增，，，使，
即，与恒成立矛盾，故舍去，综上，.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本题满分10分）
解：（1）因为所以.
所以， 1分
所以， 2分
又，
所以曲线在点处的切线方程为：. 4分
（2）由函数在处取得极值可知：
，即，解得：. 6分
此时，，,
当时，，
当时，,
所以符合题意.
综上，的单调递增区间为，的单调递减区间为.
10分
18．（本题满分12分）
证明：（1）证明：如图所示，取中点，连接.…………1分
分别为的中点，
，且.
又由已知，可得且，
四边形为平行四边形，
. ……3分
又平面,平面.
平面. ………………4分
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，………………5分
则．
由为棱的中点，得．
向量，．
设为平面的法向量，
则
不妨令，得，即为平面的一个法向量．……8分
又向量，
设直线与平面所成角为，
.……11分
直线与平面所成角的正弦值为.……12分
19．（本题满分12分）
解：（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：
, 2分
又由，，
.
5分
（2）由题意，抽取2人进入复赛的人数， 6分
.
的概率分布列为
10分
的数学期望为. 12分
20．（本题满分12分）
解：（1）如图，在直三棱柱中，
，∴矩形为正方形，
又E是的中点，
. 1分
又平面平面，
平面平面，
且平面.
平面. 3分
又平面,
. 4分
（2）在直三棱柱中，平面.
又平面,
.
又,
平面且相交,
平面.
所以两两垂直.
所以如图以为原点，建立空间直角坐标系. 6分
的面积为,
.
则,
.
设，
.
又,
设平面的法向量，
则，
不妨取，则，
∴，8分
由（1）平面，∴平面的一个法向量, 9分
11分
解得.
又由图可知当为的中点时，二面角为钝二面角符合题意，
综上，在上存在一点D，此时，
使得二面角的大小为. 12分
21．（本题满分12分）
解：（1）（ⅰ）根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断适合作为人次关于活动推出天数的回归方程类型. 2分
（ⅱ）由（ⅰ）知，，两边同时取对数得，
令 则由题意知，
又，
所以,
所以，所以，4分
，,
则关于的回归方程为. 6分
（2）依题意服从超几何分布，
当时，，
当时，，记, 8分
则,
由解得, 10分
所以当时,
当时,
当时,
故当或时最大，所以的估计值为. …12分
22.（本题满分12分）
解：（1）, 1分
①若，则，即在单调递减,
②若，令，有，令，有，
即在单调递减，在单调递增, 3分
综上：，在单调递减,
若，在单调递减，在单调递增. 4分
（2），
令得：，
因为，，因为是的两个零点，
所以，， 6分
所以,
， 7分
要证明，
只需证，
即证明
变形为，令，
则证明, 9分
设，，在单调递增，
所以，即,
设，，在单调递减，
所以，，即，，
综上：. 12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
D
C
B
C
D
B
题号
9
10
11
12
答案
AB
CD
ABD
BCD
0
1
2