重庆市第八中学校2022-2023学年高二下期期末数学试题及答案

这是一份重庆市第八中学校2022-2023学年高二下期期末数学试题及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

重庆市第八中学2022—2023学年下期高2024届7月调研考试
数学试题

一、单项选择题（本题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知集合，则（    ）
A. B. C. D.
2.设复数满足，则（    ）
A.2 B. C. D.
3.已知，则（    ）.
A. B. C. D.
4.已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）
A. B. C. D.
5.漳州某校为加强校园安全管理，欲安排12名教师志愿者（含甲、乙、丙三名教师志愿者）在南门、北门、西门三个校门加强值班，每个校门随机安排4名，则甲、乙、丙安排在同一个校门值班的概率为（    ）
A. B. C. D.
6.已知函数的图像关于原点对称，则与曲线和均相切的直线l有（    ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
7.已知，且，则的取值范围是（    ）
A. B.
C. D.
8.已知，则（    ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。）
9.下列说法中正确的是（    ）
A.若两个变量具有线性相关关系，则经验回归直线至少过一个样本点；
B.在经验回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，响应变量平均减少0.85个单位；
C.若某商品的销售量（件）关于销售价格（元/件）的经验回归方程为，则当销售价格为10元/件时，销售量一定为300件.
D.线性经验回归方程一定过样本中心.
10.甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（    ）.
A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法
B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法
C.5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法
D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法
11.若方程恰有一个实数根，则实数a的值为（    ）
A.e B.－e C.1 D.－1
12.已知定义域为的函数满足，的部分解析式为，则下列说法正确的是（    ）
A.函数在上单调递减
B.若函数在内满足恒成立，则
C.存在实数，使得的图象与直线有7个交点
D.已知方程的解为，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知关于的方程有两个异号实数根，，则是的________条件.
14.用模型拟合一组数据组，其中.设，变换后的线性回归方程为，则_________.
15.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为______.
16.已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是______.
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
设集合,
(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调减区间和极小值.
19．（本小题满分12分）
一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球
(1)若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；
(2)若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；
(3)若不放回的取3次球，求取出白球次数X的分布列及.
20．（本小题满分12分）
已知.
(1)若，分别求出，，的值；
(2)求的展开式中系数最大的项.
21．（本小题满分12分）
第40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一.其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取7家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：
体验店
A
B
C
D
E
F
G
广告支出/万元
3
4
6
8
11
15
16
销售额/万元
6
10
15
17
23
38
45
对进入G体验店的400名游客进行统计得知，其中女性游客有280人，女性游客中体验汉服的有180人，男性游客中没有体验汉服的有80人.
(1)请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为体验汉服与性别有关联；
性别
是否体验汉服
合计
体验汉服
没有体验汉服
女
180

280
男

80

合计


400
(2)设广告支出为变量x（万元），销售额为变量y（万元），根据统计数据计算相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；
(3)建立y关于x的经验回归方程，并预测广告支出为18万元时的销售额（精确到0.1）.
附：参考数据及公式：，，，，，，
相关系数，
在线性回归方程中中，，.
，.

0.05
0.01
0.001

3.841
6.635
10.828
22．（本小题满分12分）
已知函数有两个极值点，且.
(1)求的取值范围；(2)若，证明：

数学答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
B
B
D
C
B
C
BD
BCD
BCD
BCD
部分选择题解析：
6.函数的图像关于原点对称，则有，
即，解得，所以，
由，所以在点处的切线方程为，整理得.
设，直线l与的图像相切于点，因为，
所以切线方程为，整理得，则（*），
整理得，
当时，，方程有两个非零实数根，
也满足方程，故有3个解，
所以方程组（*）有3组解，故满足题中条件的直线l有3条.
7.，
∵，
∴，所以，
设，则，
则，，
由双钩函数的性质可得∵在单调递减，在上单调递增，
∴，时，；m＝2时，，
∴的取值范围为：.
8.由，
构造函数，则.
由可知：当时，单调递增，
当时，单调递减，当时，取得最大值.
由在单调递增可知：，即.
由在单调递减区间，令有两个解，且，
则，可得①，得②，
令，则，当时在上单调递增，
当时，，即时，.
若，即，结合①②，得，则有.
又当时，，故，由在单调递减知：
，即.
故.
11.令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，当时，，
当x趋向正无穷大时，趋向正无穷，故作出的大致图象，如图所示：
  
由题意，方程恰有一个实数根，
即函数的图象与直线的图象有一个公共点，
易知点为函数的图象与直线的公共点，
又曲线在点处的切线方程为，所以，
显然也成立，故实数a的值为或，
12.因为，所以函数为奇函数，
函数的图象如图所示，
  
对于选项A，函数在上不单调，故A错误；
对于选项B，，结合图象可知，故B正确：
对于选项C，令，即，
由，解得或，
将代入中，得到，
分析可得，当时，的图象与直线有7个交点，故C正确；
对于选项D，当方程的解为4个时，，不妨设，根据对称性可得.
分析图象可知，当时，方程的解为3个，，
又因为，，所以，故D正确.
13.必要不充分 14. 15./ 16.
16. ，，，
设，，
当时，恒成立，即恒成立，单调递增，不满足；
故，即或，
当时，在上恒成立，
单调递增，不满足，故，
现证明时满足条件：
设方程的两个解为，，不妨取，，，
当和时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
，故，，
当趋近时，趋近，当趋近时，趋近，
故在和上分别有一个零点，满足条件.
综上所述：实数m的取值范围是.
故答案为：.
17.（1）当时，，； 5分
（2）， 6分
当时，满足题意，此时，解得； 8分
当时，解得， 9分
实数m的取值范围为. 10分
18.（1）函数，求导得， 4分
所以曲线在点处的切线方程为，即. 6分
（2）函数，
求导得， 8分
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减， 10分
所以函数的单调减区间是，在处取得极小值. 12分
19.（1）设“第次取到白球”，“第次取到黑球”，
因为是有放回的取2次球，则每次都是从6个球中取球，每次取球的结果互不影响，
所以. 3分
（2）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，
所以所求概率； 6分
（3）不放回的依次取出3个球，则取到白球次数X的可能取值为1，2，3，
所以；；. 9分
则X的分布列为：








故. 12分
20.（1）解：由，
二项式的展开式的通项公式为， 2分
则，令，得， 3分
令，得，所以， 4分
由，求导得：
， 5分
令，得； 6分
（2）的展开式的通项公式为，
设第r+1项为系数最大，
则，即， 9分
解得，则， 11分
所以的展开式中系数最大的项是. 12分
21.（1）根据题意，列联表完成如下：
性别
是否体验汉服
合计
体验汉服
没有体验汉服
女
180
100
280
男
40
80
120
合计
220
180
400
2分
假设为：性别与体验汉服之间无关联.
根据列联表数据，经计算得到
， 3分
根据小概率值的独立性检验，推断不成立.
即认为体验汉服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过. 4分
（2）由数据可知，
因为，
， 6分

，因为， 7分
所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系. 8分
（3）由数据及公式可得：， 9分
， 10分
故关于的经验回归方程为， 11分
当万元时，销售额预计为万元. 12分
22.（1）在上有两个变号零点，即有两个不等实根，
设，当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，，
而，且当，恒有成立，于是，且，
即有，又，
则，
令，求导得，即在上单调递减，
从而，所以. 4分
（2）由（1）知，方程的两个实根，即，
亦即，从而，设，又，即，
要证，即证，即证，
即证，即证，
即证，即证，即证，
令，
设，
则在上单调递增，有，
于是，即有在上单调递增，因此，即，
所以成立. 12分