2021-2022学年重庆市第八中学校高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市第八中学校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知等比数列满足，，则公比（       ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据题意可得出关于的方程，进而可求得的值．

【详解】由，所以

故选：B．

2．若，则（       ）

A．1 B．8 C．16 D．32

【答案】C

【分析】根据展开式，利用赋值法取求值即可.

【详解】令，

故选：C

3．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京举办.为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中，由列联表中的数据计算得.

附表：

下列说法正确的是（       ）A．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”

D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”

【答案】A

【分析】根据的观测值，再与临界值表对比判断即可.

【详解】解：，所以有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”，

或者在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”，

所以只有A正确，

故选：A.

4．公共汽车上有12位乘客，沿途8个车站，乘客下车的可能方式共有（       ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【分析】利用分步计数原理，直接求解.

【详解】按分步计数原理，12名乘客下车的不同方法种数有：种.

故选：D

5．设物价p（元）与时间t（年）有如下关系：，那么在第8个年头，这种商品的价格上涨速度是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数的意义，即可解答.

【详解】因为，所以，

所以在第8个年头，这种商品的价格上涨速度为.

故选：C

6．冬奥会志愿者指挥部随机派5名志愿者参加冰壶､短道速滑､花样滑冰3个项目比赛的志愿服务.若每个项目至少安排1名志愿者，每名志愿者只参加一个项目，则所有不同的安排方案有（       ）

A．30种 B．150种 C．240种 D．300种

【答案】B

【分析】按和两种情况分组再分配即可求解结果．

【详解】第一种情况：按的比例安排有；

第二种情况：按的比例安排有；

故所有不同的安排方案有．

故选：B

7．已知双曲线的左､右焦点分别为､，点M在y轴上，且，若线段的中点恰好在双曲线的渐近线上，则E的离心率为（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】不妨设在轴的正半轴，设，，依题意可得，从而表示出的中点为的坐标，再代入渐近线方程，即可得到，从而求出离心率；

【详解】解：不妨设在轴的正半轴，设，，

显然为等腰三角形，由，所以，故，

设的中点为，由于，所以，

又在渐近线上，

所以，所以，所以．

故选：A．

8．概率论起源于赌博问题.法国著名数学家布莱尔·帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲､乙两赌徒约定先赢满4局者，可获得全部赌金480法郎，当甲赢了2局，乙赢了1局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（       ）

A．甲240法郎，乙240法郎 B．甲330法郎，乙150法郎

C．甲320法郎，乙160法郎 D．甲300法郎，乙180法郎

【答案】B

【分析】先根据题意利用相互独立事件和互斥事件的概率公式求出甲､乙赢得480法郎的概率，从而可求出甲､乙赢得赌金的情况

【详解】解：甲赢得480法郎的概率为，

则乙赢得480法郎的概率为，

所以480法郎应该分配甲：法郎，分配乙：法郎.

故选：B.

二、多选题

9．一个人的领导力由五种能力—影响力､控制力､决断力､前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，每项能力分为三个等级，“一般”记为3分､“较强”记为4分､“很强”记为5分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是（       ）

A．甲､乙的五项能力指标的均值相同

B．甲､乙的五项能力指标的方差相同

C．如果从控制力､决断力､前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力

D．如果从影响力､控制力､感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力

【答案】AB

【分析】结合测评图读出五种能力的指标，计算出均值即可

【详解】甲的五项能力指标分别为3, 4, 5, 4, 5，平均值为，

乙的五项能力指标分别为5, 3, 4, 5, 4，平均值为，

则A正确

甲乙数据指标一样，只是顺序不同，所以方差也相同，则B正确

甲的控制力､决断力､前瞻力指标分别为5，4，5，平均值为

乙的控制力､决断力､前瞻力指标分别为4，5，4，平均值为

如果从控制力､决断力､前瞻力考虑，甲的领导力高于乙的领导力，故C错误，

甲的影响力､控制力､感召力指标分别为4，5，3，平均值为

乙的影响力､控制力､感召力指标分别为3，4，5，平均值为

如果从影响力､控制力､感召力考虑，甲的领导力和乙的领导力相同，故D错误.

故选：AB

10．有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是（       ）

A．“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件

B．“取出两球均为红色”的概率为

C．“至多取到1个红球”的概率为

D．已知取出两球中一个球是红色，则另一个球是蓝色的概率为

【答案】BC

【分析】根据互斥事件的含义即可判断选项A；结合古典概率公式即可判断选项B；选项C中事件与选项B中事件为对立事件，即可判断；根据条件概率的公式求解即可判断选项D.

【详解】对于A选项，“恰好取到1个红球”为“取到1个红球，1个蓝球”，“至少取到1个蓝球”包括“取到1个蓝球，1个红球”和“取到2个蓝球”，因此不是互斥事件，故A错误；

对于B选项，“取出两球均为红色”的概率为，故B正确；

对于C选项，“至多取到1个红球”为“取出两球均为红色”的对立事件，其概率为，故C正确；

对于D选项，设“取出两球中一个球是红色”为事件，“另一个球是蓝色”为事件，则，故D错误，

故选：BC

11．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，则l与x轴的交点的横坐标，称是r的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为，称是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称是r的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则（       ）

A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线

B．若取初始近似值为1，则该方程解的三次近似值为

C．

D．

【答案】ABD

【分析】根据条件介绍的牛顿迭代法求近似解即可.

【详解】解：构造函数，则，取初始近似值，，，则，即，则A正确；

，，

，则B正确；

根据题意，可知，

上述式子相加，得，C不正确，则D正确.

故选：ABD.

12．设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行n次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据题意假设蚂蚁爬次仍在上底面的概率为，那么它前一步只有两种情况：也许本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是；也许是上一步在下底面，则第步不在上底面的概率是，如果爬上来，其概率应是．两件事情是互斥的，因此，，整理得，；构造等比数列，即求出，从而计算可得．

【详解】解：显然，.

蚂蚁爬次仍在上底面的概率为，那么它前一步只有两种情况：

：如果本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是；

：如果是上一步在下底面，则第步不在上底面的概率是，如果爬上来，其概率应是.

，事件互斥，因此，，整理得，

即，

所以为等比数列，公比为，首项为，

所以，∴.

所以.

故选：AD.

三、填空题

13．已知随机变量服从正态分布，若，则______.

【答案】

【分析】根据正态密度函数图像关于对称求解即可.

【详解】解：因为随机变量服从正态分布，

所以正态密度函数图像关于对称，

因为，

所以.

故答案为：

14．由数字、、、、组成无重复数字的五位数，其中奇数有________个．

【答案】36

【分析】由题意讨论各个位置上的数字情况，然后利用分布乘法计数原理进行计算．

【详解】先从1,3两个数里选一个数排在个位，不妨选择的是3，有种排法；

再从2,4,1三个数里选一个数排在万位，有种排法；

最后剩下的3个数全排在中间3个位上有种排法，

所以共有种排法.

故答案为：36

【点睛】(1)本题主要考查排列组合的综合应用，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列组合一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.

15．在的展开式中，的系数为___________.

【答案】

【分析】 表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案.

【详解】表示5个因式的乘积，

在这5个因式中，有2个因式选，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选，即可得到含 的项，

故含的项系数是

故答案为：

16．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为___________.

【答案】

【分析】过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质和几何位置关系得到，求出，利用中位线的性质、椭圆的定义求出.

【详解】如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质可知MN平分，，

则，

因为，

故，

所以，

.

故答案为：.

四、解答题

17．已知是等差数列，其前n项和为，，并在下列在三个条件中任选一个：①，②，③（解答时注明所选条件）﹒

(1)求的通项公式；

(2)解不等式.

【答案】(1)

(2)，且

【分析】（1）根据所选条件，结合等差数列的通项公式及求和公式建立方程求出公差即可得出通项公式；

（2）根据（1）可得出数列前n项和，建立不等式求解即可.

【详解】(1)设等差数列的公差为d，

若选择条件① ， ∵，∴，

即.又∵，所以，故；

若选择条件② ，∵，∴，∴，又∵，

故；

若选择条件③ ,∵，∴，即，

即，又∵，所以，故；

(2)由（1）可知，，，，

令，即，解得，且.

18．已知函数.

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)讨论的单调性.

【答案】(1)；

(2)答案见解析﹒

【分析】(1)求f(2)及在x＝2处导数值，根据导数几何意义和直线点斜式方程即可求解；

(2)求f(x)导数，根据a的范围讨论导数正负，从而判断f(x)单调性．

【详解】(1)当时，，，，，

故在处的切线方程为，

即；

(2)，

当，即时，，在R上单调递增；

当，即时，

由，得，由，得，

∴在上单调递减，在上单调递增．

综上所述，当时，在R上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

19．近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市年的家庭平均教育支出，得到如下表格.（附：年份代码分别对应的年份是）.经计算得，，，.

(1)计算样本的相关系数，并判断两个变量的相关性强弱；（精确到）

(2)建立关于的线性回归方程；（精确到）

(3)若年该市某家庭总支出为万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？

附：（i）相关系数：；（ii）线性回归方程：，其中，.

【答案】(1)，两个变量有很强的线性相关性

(2)

(3)万元

【分析】（1）计算出的值，将表格中的数据代入相关系数公式，可求得，即可得出结论；

（2）求出的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程；

（3）将代入回归方程方程，求出该市某家庭教育支出的比例，即可得解.

【详解】(1)解：，

，

所以，

故两个变量有很强的线性相关性.

(2)解：，

，，

所以，回归直线方程为.

(3)解：当时，，

故家庭教育支出为万元.

20．如图，平面ABCD，，，，，.

(1)求证：平面平面ADE；

(2)若线段CF的长为1，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立如图的空间直角坐标系，求出平面ADE的一个法向量＝(1，0，0)，证得，，即可证出结论；

（2）利用空间向量的夹角坐标公式以及空间向量夹角与二面角的关系即可求出结果．

【详解】(1)证明：以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

可得，，，，，.

是平面ADE的法向量，又，，

可得，.所以也是平面BCF的法向量，∴平面平面ADE；

(2)依题意：，，.

设为平面BDE的法向量，则，令，得.

设为平面BDF的法向量，则，取，得，

由题意，，∴二面角的余弦值．

21．运动达人小王每天都会定时锻炼，他的运动项目有篮球､羽毛球､游泳三种，已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如表：

(1)已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最小？

(2)已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如表所示：

求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望.

【答案】(1)小王第三天游泳的可能性最小

(2)分布列答案见解析，数学期望：（卡）

【分析】（1）根据小王第一天打羽毛球，可得到第二天分别参加哪项运动的概率，由此在分别计算第三天参加各项运动的可概率，比较即可求解；

（2）求出运动能量消耗总数的可能的取值，计算出每种可能对应的概率，可得前3天参加体育运动能量消耗总数的分布列，根据期望的计算公式，求得期望.

【详解】(1)设A，B，C表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，，，分别表示第n天进行A，B，C三种运动项目的概率，

∵小王第一天打羽毛球，

∴第二天小王做三项运动的概率分别为，，，

第三天小王做三项运动的概率分别为，

，

，

故小王第三天游泳的可能性最小.

(2)小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：BAA，BAB，BAC，BBA，BBB，BBC，BCA，BCB，BCC共9种，

运动能量消耗总数用X表示，X所有可能取值为1200，1300，1400，1500，1600，

，

，

，

，

，

故X的分布列为：

故（卡）.

22．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点.

(1)求曲线K的方程；

(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B､C两点，若且直线OP与直线交于Q点.求的值；

(3)若点D､E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值.

【答案】(1)；

(2)1；

(3)32﹒

【分析】(1)利用抛物线的定义即可判断动圆圆心轨迹形状，轨迹抛物线标准方程即可求曲线K的方程；

(2)联立l方程和曲线K的方程消去y，根据韦达定理求出，联立OP与曲线C方程求出P，联立OP方程和x＝1求出Q，从而可求，代入即可得结果；

(3)设，，，求出直线PD方程，根据圆心到PD的距离为半径2列出关于b的方程，同理列出关于c的方程，对比可得b、c为二次方程的两根，根据韦达定理可求，根据图像可求范围，根据结合基本不等式可求△PDE面积的最小值．

【详解】(1)由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为；

(2)设直线l的方程为，

联立，消去y得，

∴，∴，

设，，

∴，，

又，，

∴，

∵，∴设直线OP的方程为，联立，消y得，

∴，∴，∴，

令，则，∴，∴，

∴，的值为1．

(3)设，，，直线PD的方程为，

由题可知圆心到PD的距离为2，即，

整理得，同理可得，

∴，可知b，c是方程的两根，

∴，，

由图依题意可知，即，

则，

∵，∴，

∴，

当且仅当，即时上式取等号，∴面积的最小值为32．