2022-2023学年重庆市第八中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市第八中学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．倾斜角为120°的直线经过点和，则a =（      ）

A．0 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】根据直线的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求解.

【详解】设直线的斜率为，，

故答案为：A

2．经过点A（5，0），且与直线2x + y - 1 = 0垂直的直线方程为（      ）

A．x + 2y - 5 = 0 B．x - 2y - 5 = 0

C．x - 2y - 1 = 0 D．2x + y - 10 = 0

【答案】B

【分析】根据点斜式求得正确答案.

【详解】直线的斜率为，

所以所求直线的斜率为，

所以所求直线的方程为.

故选：B

3．若圆C1:x2 + y2 = 1与圆C2:x2 + y2 - 8x - 6y + m = 0内切，则m =（      ）

A．25 B．9 C．- 9 D．- 11

【答案】D

【分析】根据圆与圆的位置关系求得正确答案.

【详解】圆的圆心为，半径；

圆的圆心为，半径为（），

由于两圆内切，所以，

即，即，

（无解）或，解得.

故选：D

4．油纸伞是中国传统工艺品，使用历史已有1000多年.以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶.在某市开展的油纸伞文化艺术节中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子，此时阳光照射方向与地面的夹角为75°，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则该椭圆的长轴长为（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以为伞面直径，为其投影，画出平面示意图，易知且，，为左焦点，为椭圆长轴长，，，即可求长轴长.

【详解】由题设，为伞面直径，为其投影，如下图示：

由题意，且，，为左焦点，为椭圆长轴长，

所以，，

而，所以，

所以.

故选：C

5．在正方体中，E为AB的中点，则直线CE与所成的角的余弦值为（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出异面直线与所成角，解三角形求得正确答案.

【详解】根据正方体的性质可知，所以是异面直线与所成角或其补角，

设正方体的边长为，

则，

所以.

故选：B

6．已知圆x2 + y2 - 10y = 0，过点P（2，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据圆的几何性质求得正确答案.

【详解】圆即，

设圆心为，半径为.

，所以在圆内，

当过的直线与直线垂直时，所截得的弦长最短，

，所以最短弦长为.

故选：D

7．设F1，F2分别是椭圆（a > b > 0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该椭圆的离心率为（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量运算对图形进行分析，结合勾股定理求得椭圆的离心率.

【详解】设是线段的中点，连接.

由于，

所以，

由于是线段的中点，所以，

由于，所以，

所以，

所以.

故选：A

8．已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（      ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】结合点到直线的距离公式、角平分线的性质求得，进而求得离心率.

【详解】右焦点，一条渐近线为，

到的距离为，

即，

由于，所以，

由于，

由正弦定理得，

而，

所以，

所以.

故选：C

二、多选题

9．已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可能是（      ）

A． B． C．3 D．

【答案】AD

【分析】讨论、，分别令、求截距，根据相等关系列方程求值即可.

【详解】当时，显然x轴和y轴上截距不相等；

所以，

令，则；令，则；

所以，可得或.

故选：AD

10．已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，

，则下列结论正确的是（      ）

A．△F1PF2的周长为16 B．

C．点到x轴的距离为 D．

【答案】ABC

【分析】根据椭圆的定义、椭圆内三角形的周长、面积、向量数量积运算等知识求得正确答案.

【详解】依题意，，，

所以三角形的周长为，A选项正确，

设，

所以，

整理得，

所以，B选项正确，

设到轴的距离为，则，C选项正确，

，D选项错误.

故选：ABC

11．已知正三棱柱，各棱长均为4，且点E为棱CC上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（      ）

A．该三棱柱既有外接球，又有内切球

B．三棱锥的体积是

C．直线与直线恒不垂直

D．直线与平面所成角的正弦值范围是

【答案】BD

【分析】根据外接球、内切球、锥体体积、线线垂直、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，设等边三角形的内切圆半径为，

则，

，所以该三棱柱没有内切球，A选项错误.

B选项，设是的中点，则，，

根据正三棱柱的性质可知，，

由于平面，所以平面，

所以，B选项正确.

以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，

则，设，

，

，所以当在的中点时，直线与直线垂直，C选项错误.

，，

设平面的法向量为，

则，故可设，

设直线与平面所成角为，

则，

，

，

即，

所以直线与平面所成角的正弦值范围是，D选项正确.

故选：BD

12．1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了一种特殊的曲线 -- 卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知在平面直角坐标系xOy中，M（ - 3，0），N（3，0），动点P满足|PM|·|PN| = 12，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（      ）

A．曲线C关于y轴对称 B．曲线C与x轴交点为

C．△PMN面积的最大值为6 D．|OP|的取值范围是

【答案】ACD

【分析】求得动点的轨迹方程，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】设，

依题意，

即，

，

整理得①，

点都满足①，所以曲线关于轴对称，A选项正确.

由①令，得，

即，解得，所以B选项错误.

由①有解得，

化简得，所以，

所以三角形面积的最大值为，C选项正确.

由①整理得，

即，所以，

由得，

，

，，

，所以，D选项正确.

故选：ACD

【点睛】求解关于动点轨迹方程的题目，步骤是：先设动点的坐标为，然后根据动点满足的条件列方程，化简方程后可求得动点的轨迹方程，再根据轨迹方程来研究对应曲线的性质.

三、填空题

13．双曲线的渐近线方程为__________．

【答案】

【详解】双曲线，渐近线方程为：，故得到方程为：.

故答案为．

14．已知双曲线C:（a>0，b>0）离心率为5，A、B分别为左、右顶点，点P为双曲线C在第一象限内的任意一点，点O为坐标原点，若PA、PB的斜率分别为k1、k2，则k1·k2=  _________ .

【答案】

【分析】先求得的关系式，然后利用斜率公式求得正确答案.

【详解】双曲线的离心率为，

设，则，

，

.

故答案为：

15．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为 _________ .

【答案】

【分析】求得外接球的半径，从而求得外接球的表面积.

【详解】设三角形的外接圆半径为，

设直三棱柱的外接球的半径为，

，则为钝角，则，

所以，

所以，

所以外接球的表面积是.

故答案为：

16．已知直线与直线相交于点M，点N是圆上的动点，则的最大值为 _________ .

【答案】##

【分析】根据题设易知过定点，过定点且，则在以为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆的圆心距，根据动点分别在两圆上知最大值为圆心距与两个半径的和.

【详解】由题设，恒过定点，恒过定点，

又，即，垂足为，

所以在以为直径的圆上，圆心为，半径为，

故轨迹方程为，

而的圆心为，半径为3，

所以，而、分别在圆、圆上，故的最大值为.

故答案为：

四、解答题

17．已知P为椭圆E:上任意一点，F1，F2为左、右焦点，M为PF1中点.如图所示:若，离心率.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知直线l倾斜角为135°，经过且与椭圆交于A，B两点，求弦长|AB|的值.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）由题意可得，根据离心率求得，进而可得椭圆方程；

（2）由题设有，联立椭圆方程求得，，应用两点距离公式即可求弦长|AB|.

【详解】（1）在△中，则，

所以，故，又，则，故，

所以椭圆E的标准方程.

（2）由题设，直线，即，

联立并整理得：，可得，，

所以，，即，，

故.

18．如图，在长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，，E，F分别为AB，的中点.

(1)证明:平面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明详见解析

(2)

【分析】（1）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理来证得平面.

（2）通过等体积法求得点到平面的距离.

【详解】（1）设，连接，

由于分别是的中点，所以，

由于，

所以，所以四边形是平行四边形，

所以，

由于平面，平面，

所以平面.

（2）根据长方体的性质可知，则，

由于平面，平面，所以平面.

所以到平面的距离即到平面的距离.

，

，为钝角，

，

所以.

设到平面的距离为，则.

所以到平面的距离为.

19．已知圆.

(1)若圆与直线相切，求的值；

(2)已知点，过点作圆C的切线，切点为，再过作圆的切线，切点为，若，求的最小值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）利用圆的圆心到与直线等于半径可得答案；

（2）设点，求出，，利用，可得点所在直线方程，

的最小值即为点到所求直线的距离可得答案.

【详解】（1）圆的圆心为半径为，

因为圆与直线相切，

所以，解得或；

（2）圆的圆心为半径为，

的圆心为半径为，

设点，由题意可得，，

因为，所以，

整理得，

因为到直线的距离为，所以直线与圆相离，

因为到直线的距离为，所以直线与圆相离，

即点在直线上，

的最小值即为点到直线距离.

20．已知，点P满足，记点P的轨迹为曲线C.斜率为k的直线l过点，且与曲线C相交于A，B两点.

(1)求曲线C的方程；

(2)求斜率k的取值范围；

(3)在x轴上是否存在定点M，使得无论直线l绕点F2怎样转动，总有成立?如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)存在，且.

【分析】（1）结合双曲线的定义求得正确答案.

（2）结合渐近线的知识求得的取值范围.

（3）设出点坐标，通过求得，从而求得正确答案.

【详解】（1）依题意，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支.

则，

所以曲线的方程为.

（2）曲线的方程为对应的渐近线方程为，

根据渐近线的性质可知，要使直线与曲线有个交点，

则的取值范围是.

（3）由消去并化简得，

其中.

设，则，

设，若，

则，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

所以存在，使成立.

【点睛】在利用双曲线的定义求曲线方程时，要注意准确把握双曲线的定义：，也就是“绝对值”三个字，如果没有绝对值，则是双曲线的一支.

21．如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AC = CD = 2，，，PC = 3.

(1)求证:AD⊥PC

(2)求平面PAB与平面PCD的夹角的正弦值.

【答案】(1)证明详见解析

(2)

【分析】（1）通过证明线面垂直的方法来证得.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值，再求得其正弦值.

【详解】（1）设是的中点，连接.

由于，所以，

由于平面平面且交线为，

平面，所以平面，

由于平面，所以，则，

所以，

由于，所以，

由于平面，所以平面，

由于平面，所以.

（2）在三角形中，延长，过作，交的延长线于，

由于，所以，

，所以，

，则，

所以.

平面平面且交线为，，

以为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则平面的法向量可设为，

，

，

设平面的法向量为，

则，故可设，

设平面和平面的夹角为，

则，所以.

22．定义:若点（x0，y0），（x0’，y0’）在椭圆M:（a > b > 0）上，并满足，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点（x0，y0）关于M的一个共轭点为（x0’，y0’）.已知点A（2，1）在椭圆M:上，O是坐标原点.

(1)求点A关于M的所有共轭点的坐标:

(2)设点P，Q在M上，且∥，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值.

【答案】(1)答案见解析.

(2)

【分析】（1）设点A关于M的共轭点的坐标，由题意解方程组即可.

（2）由题设直线PQ方程为：，用m表示出，再表示出共轭点与直线距离即可.

【详解】（1）设点A关于M的共轭点的坐标为,由题意有，

消去得，解得，

即点A关于M的共轭点有且只有一个，坐标为，即为A本身.

（2）由题设直线PQ方程为：，

将其与椭圆方程联立有，消去得.

由题有其.又设.

则.

则

.

又设A到直线距离为，则.

则所围成的图形面积为=

，当且仅当，即取等号.

故点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题为直线与椭圆位置综合题，第一问较为基础，读懂题意，列出相应方程组即可.第二问的关键，为利用所设直线所含参数，结合韦达定理和点到直线距离公式表示出和.