2021-2022学年重庆市第八中学校高二下学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年重庆市第八中学校高二下学期期末数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市第八中学校高二下学期期末数学试题 一、单选题1．命题“，”的否定是（     ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据全称命题的否定分析判断.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：B.2．已知集合，，若，则实数a组成的集合为（     ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意分和两种情况运算求解，注意集合的互异性.【详解】∵，则有：或，解得：或或，∴实数a组成的集合为.故选：D.3．若不等式的解集是，则实数m，n的值分别为（     ）A．2，－2 B．－2，－2 C．2，－3 D．－2，－3【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系即可求得m，n的值．【详解】由不等式的解集是，则，得，故选：A．4．经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（     ）A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75【答案】C【分析】根据条件概率公式求解即可．【详解】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B，则由题意得，，所以她两次均击中9环的概率为．故选：C．5．设函数的最大值为M，最小值为m，则（     ）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根据基本不等式，结合分离常数法，可得答案.【详解】由函数，显然，当，，当时，，当且仅当，即时，等号成立，则，故；当时，，当且仅当，即时，等号成立，则故；综上可得，，，则.故选：C.6．开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A，B，C三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有（     ）A．6种 B．12种 C．15种 D．18种【答案】B【分析】由题意被安排到A中学的防疫专家有2种情况，结合分步乘法原理及分类加法原理即可.【详解】①若甲单独安排到A中学，则剩下的3名防疫专家分成两组到两个中学，共有：种方式，②若甲和另一名防疫专家被安排到A中学，则有：种方式，则剩下的2名防疫专家分到到两个中学，有：种方式，由分步乘法原理有：种方式，又由分类加法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有：种方式，故选：B.7．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案.【详解】由正实数x，y， ，则， 即，当且仅当，即时，等号成立，则，故选：A.8．已知是定义在R上的奇函数，且，函数.若的图象关于对称，则（     ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由的图象关于对称，整理可得，再结合是定义在R上的奇函数，整理可得，可求得，即可求结果.【详解】∵的图象关于对称，则，即，∴当时，则，又∵是定义在R上的奇函数，则，即，∴，即，故.故选：D. 二、多选题9．下列选项中，p是q的充要条件的有（     ）A．p：△ABC两边上的高相等，q：△ABC是等腰三角形B．p：x，y均为无理数，q：x+y为无理数C．p:，p：D．p:函数图象经过点，q：【答案】AD【分析】根据充要条件的定义，对于A，利用三角形的面积公式；对于B，C，利用举反例；对于D利用二次函数的性质，可得答案.【详解】对于A，设在中，边上的高为，边上的高为，由，则，由，则，即成立；由，假设，由，则，即成立，故A正确；对于B，当，，则，显然此为有理数，即当成立时，不成立，故B错误；对于C，当，时，，则；故C错误；对于D，由，则当时，，即成立；由，显然成立，故D正确.故选：AD.10．若函数均是定义域为R的增函数，则下列函数在其定义域上为增函数的是（     ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】设，由题意可得，利用单调性的定义可判AC；举反例可判断C；根据复合函数的单调性的判断方法可判断D.【详解】函数均是定义域为R的增函数，所以不是常数函数，设，则，对于A，设则，所以为单调递增函数，故A正确；对于B，函数均是定义域为R的增函数，但是不是单调增函数，故B错误；对于C，设，则 因为，所以，，即是定义域为R的增函数，故C正确；对于D，因为函数均是定义域为R的增函数，根据复合函数的单调性可得是定义域为R的增函数，故D正确.故选：ACD.11．已知，，则下列结论中正确的是（     ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BC【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断AB选项；作变换，则，利用正态密度曲线的对称性可判断CD选项.【详解】对于A选项，若，则，A错；对于B选项，若，则，B对；对于C选项，令，则，若，则，C对；对于D选项，令，则，若，，D错.故选：BC.12．已知集合，则（     ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由，则可得到为奇数或4的倍数，从而可以判断A，B；根据，即可判断C；讨论M中元素的情况，进而可判断D．【详解】由，则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确；因为，且，所以，故成立，故C正确；又，所以，由，则为奇数或4的倍数，当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以，当都为奇数时，则可令，所以，所以，故，故D正确．故选：BCD．【点睛】关键点睛：涉及数的特性的探讨，利用奇数偶数的性质进行分类讨论是解题的关键． 三、填空题13．已知集合，，若，则实数k的取值范围为____________.【答案】【分析】利用二次不等式求解集合的元素，根据集合的运算，建立不等式，可得答案.【详解】由不等式，分解因式可得，解得或，即或，，由，.故答案为：.14．我校大礼堂舞台设备需要更换，设备采购费用为5万元，设备使用、检修等费用第一年为0.2万元，后逐年增长0.1万元，则本次采购设备使用___________年后停用，可使年均花费最小.【答案】10【分析】根据题意结合等差数列的通项公式和求和公式求得到第年，年均花费为万元，再利用基本不等式运算求解.【详解】由题意可得：第年的设备使用、检修等费用为万元，则到第年，年均花费为万元，∵，当且仅当，即时等号成立，∴本次采购设备使用10年后停用，可使年均花费最小.故答案为：10.15．已知函数，若在定义域上有最小值，则实数a的取值范围是__________.【答案】【分析】根据分段函数的最值结合二次函数的性质，即可求得a的取值范围.【详解】对于二次函数可知：开口向上，当时取到最小值，当时，则，即在内无最小值，若在定义域上有最小值，则有：当时，则在上的最小值为，则，解得；当时，则在上单调递减，故在上的最小值为，则，无解；综上所述：实数a的取值范围是.故答案为：. 四、双空题16．已知，当时，其展开式中的系数为_________；记展开式中含x的奇次幂的项之和为，则=__________.【答案】          【分析】空1：利用二项展开式分析运算；空2：根据题意令为奇数、求，再结合二项式系数的性质运算求解.【详解】的二项展开式为，空1：当时，令，则展开式中的系数为；空2：令为奇数，则为奇数，则，令，则，由，可得.故答案为：；. 五、解答题17．已知函数.求:(1)f(x)在处的切线方程；(2)f(x)在上的最小值和最大值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值为1 【分析】（1）先求函数的导数，再利用导数的几何意义求切线方程；（2）首先利用导数判断函数的单调性，根据单调性求函数的极值，算出端点值通过比较即可求出最值.【详解】（1）由条件.因为，，所以在处的切线方程为（2）因为，令，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.从而当时，有极小值，即为最小值.因为，，，所以当时，有最大值为.18．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在中国北京张家口举行.为调查不同地域青少年对冰雪运动的了解情况，某机构抽样调查了北京、天津、上海、重庆等四个城市的部分高中学生，调查问卷共20个题目.(1)若某个参加调查的同学能确定其中10个题目的答案，其余10个题目中，有5个题目他能够答对的概率均为0.6，另外5个题目他能够答对的概率均为0.2，求该同学答对题目个数的均值；(2)将重庆和上海并为“南方组”，北京和天津并为“北方组”，通过调查得到如下列联表：地域了解程度合计不了解非常了解南方组53112165北方组96139235合计149251400 请在参考数据②中选择一个，根据的独立性检验，分析受调群体中对冰雪运动的了解程度是否存在南北差异.参考公式:参考数据：①，，.②独立性检验常用小概率值和相应临界值:a0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.0828  【答案】(1)14(2)答案见解析 【分析】（1）根据事件满足的分布情况求出均值即可；（2）零假设为，然后根据已知条件对冰雪运动的了解程度与南北地域差异独立进行分析即可.【详解】（1）记答对概率为0.6的5个题目中，该同学答对的个数为；答对概率为0.2的5个题目中，该同学答对的个数为，则， ，所以，该同学答对题目的均值为（2）零假设为:对冰雪运动的了解程度与南北地域差异独立.由条件及参考数据，得.（i）若选择，则根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为对冰雪运动的了解程度与南北地域差异有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1.（ii）若选择，则根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为对冰雪运动的了解程度没有南北地域差异.19．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC.(1)证明:平面PBC⊥平面PAB；(2)若AB=AC=1，PA=2，M为棱PC的中点，求平面MAB与平面PAB夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意结合线面、面面垂直的判定定理分析证明；（2）建系，利用空间向量求面面夹角.【详解】（1）因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC.因为AB⊥BC，且，AB，PA平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB（2）以B为原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则，则，，设平面MAB的法向量为，则，令，则，即，由（1）知BC⊥平面PAB，取平面PAB的法向量为，所以平面MAB与平面PAB夹角的余弦值为.20．有一个开房门的游戏，其玩法为:盒中先放入两把钥匙和两把钥匙，能够打开房门，不能打开房门.每次从盒中随机取一把试开，试开后不放回钥匙.第一次打开房门后，关上门继续试开，第二次打开房门后停止抽取，称为进行了一轮游戏.若每一轮取钥匙不超过三次，则该轮“成功”，否则为“失败”，如果某一轮“成功”，则游戏终止；若“失败”，则将所有钥匙重新放入盒中，并再放入一把钥匙，继续下一轮抽取，直至“成功”.(1)有名爱好者独立参与这个游戏，记表示“成功”时抽取钥匙的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下表: 若将作为关于的经验回归方程，估计抽取轮才“成功”的人数（人数精确到个位）；(2)由于时间关系，规定：进行游戏时，最多进行三轮，若均未“成功”也要终止游戏.求游戏要进行三轮的概率.参考公式：最小二乘估计，.参考数据：取，，其中，.【答案】(1)人(2) 【分析】（1）利用参考数据以及最小二乘法公式求出、的值，可得出经验回归方程，然后在回归方程中令，可求得结果；（2）设事件为“第一轮成功”，事件为“第二轮成功”，则、相互独立，分析可知游戏要进行三轮，即前两轮均失败，计算出、的值，利用对立事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）解：令，设，由条件知，，所以，，从而，故所求的回归方程为.所以，估计当时，，即抽取轮才“成功”的人数约为人.（2）解：由条件知，游戏要进行三轮，即前两轮均失败.设事件为“第一轮成功”，事件为“第二轮成功”，则、相互独立.因为，，所以，前两轮均失败的概率为.故游戏要进行三轮的概率为.21．平面直角坐标系中，已知点T1（－2，0），（2，0），（－1，0），（1，0）.直线MT1，MT2相交于点M，且它们的斜率之积为－，延长F1M至点P，使得.(1)求点M和点P的轨迹方程，并说明其轨迹；(2)设点M和点P的轨迹分别为，，经过的直线l交于A，C两点，经过且与l垂直的直线交于B，D两点.若四边形ABCD的面积为，求直线l的方程.【答案】(1)答案见解析(2)或 【分析】（1）设M（x，y），由题意可得，由此能求出点的轨迹方程，再根据椭圆定义得，结合，可得出，即可求出点的轨迹方程.（2）设直线l的方程为:，联立直线和椭圆方程，表示出弦长，再设经过且与l垂直的直线m的方程为:，求出到直线m的距离，进而表示出面积，求解出，即可得到直线l的方程.【详解】（1）设M（x，y），由条件，，整理得，所以点M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（除去其长轴顶点）.所以，，且点P在的延长线上，所以故点P的轨迹是以为圆心，半径4的圆（除去其与x轴的交点）.点P的轨迹方程为.（2）由条件，设直线l的方程为:代入，整理得:，设，，则，所以.设经过且与l垂直的直线m的方程为:.则到直线m的距离，，故四边形ABCD的面积，由条件，，解得，故直线l的方程为或.22．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明有且只有一个极小值点和一个零点，且【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，注意讨论的正负以及两根的大小关系；（2）根据（1）中的单调性分析判断极值点和零点，利用零点代换整理可得，构建新函数，结合导数证明不等式.【详解】（1）.①若，则，当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增；②若，则，当或时，，当时，，故在，单调递减，在单调递增；③若，则，，当且仅当时，“=”成立，故是R上的减函数；④若，则，当或时，，当时，，故在，单调递减，在单调递增；综上，当时，在单调递减，在单调递增；当时，在，单调递减，在单调递增；当时，是R上的减函数；当时，在，单调递减，在单调递增.（2）由（1）知：当时，在，单调递减，在单调递增，所以有且仅有一个极小值点，且，，，因为在单调递减，，，所以有且仅有一个零点，且，即，则，从而，设则，在单调递增.所以.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤：(1)作差或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．