中考数学复习压轴解答题题组练七含答案

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  压轴解答题题组练七(针对中考：解答题第24—25题)(时间：45分钟　　满分：20分)　　　　　　　　　　　　　　　1．(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B，直线y＝x＋与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，垂足为点G，PQ∥y轴，交x轴于点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当PG＋PQ取得最大值时，求点P的坐标和PG＋PQ的最大值；题图              答图①解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－x－.(2)如答图①，过点P作PE∥x轴交CD于点E，∴∠DEP＝45°，∴△PGE是等腰直角三角形，∴PE＝PG，设点P，则Q(t，0)，E，∴PQ＝－t2＋t＋，PE＝－t2＋t＋3，∴PG＋PQ＝PE＋PQ＝－2(t－1)2＋，∴当点P的坐标为(1，－3)时，PG＋PQ的最大值为. (3)将抛物线向右平移个单位长度得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点．当(2)中PG＋PQ最大时，直接写出所有使得以A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．解：由平移可知新抛物线的对称轴为直线x＝4，设x＝4与x轴交于点F，连接AP，如答图②所示，设点M的坐标为(4，s)，点N的坐标为(m，n)，当AP为菱形的边时，Ⅰ)以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x＝4于点M1，M2，过点P作PR⊥直线x＝4于点R，如答图②所示，由勾股定理可得M1R＝M2R＝2，∴M1F＝1，M2F＝5，∴M1(4，－1)，M2(4，－5)，由点的平移可求得N1(2，2)，N2(2，－2)；答图②             答图③Ⅱ)以点A为圆心，AP长为半径作圆，此圆与直线x＝4无交点，此时不存在点N，不能构成菱形．当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP垂直平分MN，此时AP的中点为，如答图③所示，设MN与直线x＝4的交点为M3，由点 A，P的坐标求得直线AP的解析式为y＝－x－，∴直线MN的解析式为y＝x－，∴M3，由中点坐标公式可知N3.综上，点N的坐标为N1(2，2)，N2(2，－2)，N3. 2．(10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，D是BC的中点，E为AC边上任意一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，交AB于点G.(1)如图①，若AB＝6，AE＝，求ED的长；(2)如图②，点G恰好是EF的中点，连接BF，求证：CD＝BF；题图①　　　题图②(1)解：如图①，过点E作EH⊥BC于点H，∴∠CHE＝90°，在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝6，∴BC＝6，AC＝6，∵D为BC中点，∴CD＝BC，∵AE＝，∴CE＝AC－AE＝5，∵∠C＝45°，∴△CHE也是等腰直角三角形，∴CH＝EH＝5，∴HD＝CH－CD＝2，∴在Rt△DHE中，DE＝＝.(2)证明：如图②，过点E作EM∥BF与AB交于点M，过点D作DN⊥BC交AC于点N，∴△CDN为等腰直角三角形，∴CD＝ND，∵BD＝CD，∴BD＝ND，∵∠5＋∠BDE＝∠6＋∠BDE，∴∠5＝∠6，∴△BFD≌△NED(SAS)，∴BF＝NE，∠3＝∠4，∴△EMG≌△FBG，∴ME＝BF，∴ME＝NE，∵∠2＋∠3＝45°，∴∠1＋∠4＝45°，∴∠MEN＝∠1＋∠4＋∠FED＝90°，∴∠AEM＝90°，∴△AEM是等腰直角三角形，∴AE＝ME＝BF＝NE，∴BF＝AN，∵DN∥AB，D是BC的中点，∴CN＝AN，∴BF＝CN，在等腰直角三角形CDN中，CD＝CN，∴CD＝BF. (3)如图③，若AB＝4，连接CF，当CF＋BF取得最小值时，求S△CEF的值．题图③解：如答图①中，取AC的中点T，连接DT，BT，则△BDT是等腰直角三角形．∵∠EDF＝∠TDB＝90°，∴∠BDF＝∠TDE，∵DB＝DT，DF＝DE，∴△BDF≌△TDE(SAS)，∴∠DBF＝∠DTE＝135°，∵∠DBT＝45°，∴点F，B，T共线，∴点F在直线BT上运动，如答图②中，取AT的中点Q，连接BQ，CF，作FH⊥BQ于点H，CJ⊥BQ于点J，交BT于点R.∵tan∠FBH＝＝＝，∴FH＝BF，∴CF＋BF＝CF＋FH≥CJ，∴当点F与点R重合时，CF＋BF的值最小，∵∠BTQ＝∠CTR＝90°，BT＝CT，∠QBT＝∠RCT，∴△BTQ≌△CTR(ASA)，∴RT＝QT，∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝AB＝8，∴AT＝CT＝BT＝4，QT＝RT＝2，∴BF＝TF＝2，∴S△CEF＝·CE·FT＝×2×2＝2.　　　          答图①　              答图②