中考数学复习压轴解答题题组练八含答案

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  压轴解答题题组练八(针对中考：解答题第24—25题)(时间：45分钟　　满分：20分)　　　　　　　　　　　　　1．(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，连接PB，PC，以PB，PC为邻边作▱CPBD，求▱CPBD面积的最大值；题图解：(1)该抛物线的解析式为y＝x2－x－2.(2)过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G.∵抛物线y＝x2－x－2与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0，－2)，求得直线BC的函数解析式为y＝x－2.设P，则G，∴PG＝－x2＋2x，∵S△PBC＝PG·OB＝PG，∴S▱CPBD＝2S△PBC＝3PG，∴S▱CPBD＝－2x2＋6x＝－2＋，∴当x＝时，▱CPBD的面积最大，最大值为. (3)将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，平移后的抛物线与y轴交于点E，点M为直线BC上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以C，E，M，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：存在．如答图①，设抛物线y＝x2－x－2的顶点为Q，其对称轴交x轴于点J，设平移后抛物线的顶点为R，过点R作RI⊥JQ于点I.易证△RIQ∽△BOC.∵OB＝3，OC＝2，∴BC＝＝，∵QR＝，∴IQ＝1，IR＝.由y＝x2－x－2，得Q，R，∴新抛物线的解析式为y＝－，当x＝0时，y＝，∴E.若以C，E，M，N为顶点的四边形是以CE为一边的矩形，则EM∥CN，EM＝CN，∴M，N；若以C，E，M，N为顶点的四边形是以CE为对角线的矩形，则EN∥CM，EN＝CM.如答图②，作NT⊥y轴于点T.易证△NTE∽△EMC∽△BOC，∴EN＝CM＝CE＝，∴TN＝EN＝，TE＝EN＝，∴OT＝－＝，∴N.综上所述，点N的坐标为或. 答图①                  答图② 2.(10分)如图，△ABC为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM.(1)如图①，若AB＝2＋2，∠ABD＝45°，求△ABD的面积；(2)如图②，过点M作MN⊥AM与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；(1)解：如图①，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠ABD＝45°，DH⊥AB，∴∠ABD＝∠BDH＝45°，∴BH＝DH，∵∠BAD＝60°，DH⊥AB，∴DH＝AH，∵AB＝2＋2＝AH＋BH＝AH＋AH，∴AH＝2，∴DH＝2，∴S△ABD＝×AB×DH＝6＋2.(2)证明：如图②，过点A作AF⊥BC于点F，连接MF，过点B作BG∥AC，交AM的延长线于点G，连接GN，∵BG∥AC，∴∠CAG＝∠AGB，又∵∠AMD＝∠BMG，BM＝DM，∴△AMD≌△GMB(AAS)，∴AD＝GB，AM＝GM，∵MN⊥AG，∴AN＝GN，∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，∴BF＝FC，∠BAF＝∠CAF＝30°，又∵BM＝DM，∴MF∥AC，∴∠CAF＝∠AFM＝30°，∵∠AMN＝∠AFC＝90°，∴点A，点M，点F，点N四点共圆，∴∠AFM＝∠ANM＝30°，∴∠NAM＝60°，∴△ANG是等边三角形，∴AG＝AN，∵∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAG＝∠CAN，又∵AB＝AC，AG＝AN，∴△ABG≌△ACN(SAS)，∴BG＝CN，∴CN＝AD. (3)如图③，在(2)的条件下，将△ABM沿AM翻折得△AB′M，连接B′N，当B′N取得最小值时，求的值．解：如图③，连接DN，延长AM交BC于点P，延长AC至点Q，使CN＝CQ，连接NQ，∵CN＝CQ，∠ACB＝60°，∴△CNQ是等边三角形，∴QN＝CN＝CQ＝AD，∠Q＝60°＝∠BAD，∵AC＝AD＋CD，DQ＝DC＋CQ，∴AC＝DQ＝AB，∴△ABD≌△QDN(SAS)，∴DN＝BD，∵将△ABM沿AM翻折得△AB′M，∴BM＝B′M，∠BMP＝∠B′MP＝∠AMD，∵MN⊥AM，点M是BD的中点，∴B′M＝MD，∠NMD＝∠NMB′，又∵MN＝MN，∴△MND≌△MNB′(SAS)，∴B′N＝DN，∴BD＝B′N，∴当BD⊥AC时，BD有最小值，即B′N有最小值，设AB＝2a，∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴AD＝CD＝a＝CN，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴BD＝a，BN＝3a，∵点M是BD中点，∴BM＝DM＝a，∴AM＝＝a，∴MN＝AM＝a，∵∠AMD＋∠DME＝90°＝∠DME＋∠AEM，∴∠AMD＝∠AEM，又∵∠ADM＝∠MDE＝90°，∴△ADM∽△MDE，∴＝，∴DE＝a，∴＝.