2023年辽宁省沈阳四十三中中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2023年辽宁省沈阳四十三中中考数学模拟试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省沈阳四十三中中考数学模拟试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，是无理数的是(    )
A. 3.14 B. 4 C. 8 D. 227
2. 据测算，沈阳使用绿源能源科技集团的新技术，冬季可减少二氧化碳排放约16万吨，将16万吨用科学记数法
表示为(    )
A. 1.6×103吨 B. 1.6×104吨 C. 1.6×105吨 D. 1.6×106吨
3. 下列计算正确的是(    )
A. 2x+3y=50 B. x⋅x4=x4 C. (x2y)3=x6y3 D. x2+x2=x4
4. 如所示图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
5. 如图所示，直线a//b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为(    )

A. 57° B. 63° C. 67° D. 73°
6. 如图，点A，B，C为⊙O上的三点，∠AOB=13∠BOC，∠BAC=30°，则∠AOC的度数为(    )


A. 100° B. 90° C. 80° D. 60°
7. 已知反比例函数y=kx，当x<0时，y随x的增大而减小，那么一次函数y=−kx+k的图象经过第(    )
A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限
8. 如图，在▱ABCD中，点E是AB上任意一点，过点E作EF//BC交CD于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点H，则下列结论中错误的是(    )


A. CHEF=CFAE
B. BECD=FHAH
C. ADBH=AEAB
D. AEBE=CHEF
9. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠A的值为(    )
A. 12
B. 22
C. 13
D. 33
10. 如图，△ABC中，AB=CB，∠ABC<90°，尺规作图痕迹如下．
结论Ⅰ：点O一定为△ABC的内心；
结论Ⅱ：连接OC，MN，则MN 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是(    )
A. I和Ⅱ都对
B. I和Ⅱ都不对
C. I不对，Ⅱ对
D. I对，Ⅱ不对
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 因式分解：4m2−25=______．
12. 已知点P是线段AB上的点，且BP2=AP⋅AB，如果AB=2cm，那么BP=______cm．
13. 关于x的一元二次方程mx2−mx−14=0有两个相等的实数根，则m=______．
14. 如图，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A(−3,0)，则关于x的不等式kx+b>0的解集为______．


15. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x上，第二象限的点B在反比例函数y=kx(k是常数，k≠0)上，且OA⊥OB，tan∠ABO=12，则k的值为______ ．

16. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H.在这一运动过程中，点H所经过的路径长是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
12−4sin30°+| 3−2|+(3−π)．
18. (本小题8.0分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．
(1)证明：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC=3，AB=4，求菱形ADCF的面积．

19. (本小题8.0分)
桌面上有4张正面分别标有数字3，5，9，10的不透明卡片，它们除数字外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后平铺开．
(1)随机翻开一张卡片，正面数字是奇数的概率是______ ；
(2)先随机翻开一张卡片并记录上面的数字，再从余下的3张卡片中随机翻开一张卡片并记录上面的数字，请用列表或画树状图的方法，求翻到的两个数字之和为偶数的概率．
20. (本小题8.0分)
2022年12月，为了解社区居民锻炼情况，若贻同学对社区内居民每周的锻炼时间进行了抽样调查.调查结果显示居民每周的锻炼时间主要有以下5种，分别为3h，4h，5h，6h，7h.根据这次调查，若贻同学利用上课所学的知识，制作了如下两幅统计图(不完整)．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)若贻同学共调查了______ 名居民．
(2)请计算a的值并补全条形统计图．
(3)若该社区有3000名居民，试估计社区内每周锻炼时间不超过5h的居民有多少人．
21. (本小题8.0分)
某公司今年8月份的生产成本为100万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，10月份的生产成本为81万元，假设该公司每个月生产成本的下降率相同．
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)预测11月份该公司的生产成本是否会跌破70万元？说明理由．
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E在⊙O上，连接DE，BE，∠BED=∠CBD．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若AD=4，sin∠BED=35，求BC的长．

23. (本小题10.0分)
如图，直线y=kx+b经过点A(754,0)，点B(0,25)，与直线y=34x交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．
(1)求直线AB的表达式和点C的坐标；
(2)当DE=23OA时，求△CDE的面积；
(3)连接OD，当△OAD沿着OD折叠，使得点A的对应点A′落在直线OC上，直接写出此时点D的坐标．

24. (本小题12.0分)
【问题探究】
(1)如图1，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1=∠2，若PB=6，PC=3，PD=4，则PA的长为______ ；
(2)如图2，∠MON=120°，点P是∠MON平分线上的一个定点，点A、B分别点射线OM、ON上，且∠APB=60°
，求证：四边形OAPB的面积是定值；
【拓展运用】
(3)如图3，某创业青年小李租用一块形如四边形ABCD的田地养蜂、产蜜与售蜜，其中AD//BC，AB=120米，
AD=60米，BC=110米，点E为入口，点E在AB上，且AE=AD，小李计划过点E移一条垂直于CD的笔直小路EF，将田地分为两部分，四边形AEFD区域为蜂巢区，四边形BCFE区域为蜂源植物生长区，在点F处设立的售蜜点，为了方便取蜜，计划得沿AF修一条笔直的小路AF，直接写出小路AF的长.(小路的宽度忽略不计，结果保留根号)


25. (本小题14.0分)
如图(1)，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)，直线l经过B、C两点．
(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；
(3)如图(2)，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：3.14， 4=2是整数，227是分数，这些都属于有理数；
8=2 2是无理数．
故选：C．
无理数常见的三种类型
(1)开不尽的方根，如 2， 3等．
(2)特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…(两个3之间依次多一个0)．
(3)含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如 16是有理数，而不是无理数．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…(相邻两个2中间依次多1个0)，等有这样规律的数．

2.【答案】C 
【解析】解：16万=160000=1.6×105．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】C 
【解析】解：A、2x与3y不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、x⋅x4=x5，故B不符合题意；
C、(x2y)3=x6y3，故C符合题意；
D、x2+x2=2x2，故D不符合题意；
故选：C．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

4.【答案】B 
【解析】解：A.它是轴对称图形，但不是中心对称图形，
则A不符合题意；
B.它既是轴对称图形，也是中心对称图形，
则B符合题意；
C.它是轴对称图形，但不是中心对称图形，
则C不符合题意；
D.它是轴对称图形，但不是中心对称图形，
则D不符合题意；
故选：B．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形；据此进行判断即可．
本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

5.【答案】D 
【解析】解：∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠CBA=∠CAB=180°−∠ACB2=30°，
∵a//b，
∴∠2=∠CBA+∠1=30°+43°=73°．
故选：D．
由AC=BC，∠C=120°，可得∠CBA=30°，再由a//b，可得∠2=∠CBA+∠1=73°．
本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质．

6.【答案】C 
【解析】解：∵∠BOC=2∠BAC=60°，OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∵∠AOB=13∠BOC=20°，
∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=60°+20°=80°，
故选：C．
利用圆周角定理求出∠BOC，再根据题目条件求出∠AOB可得结论．
本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是求出∠BOC=60°，∠AOB=20°．

7.【答案】B 
【解析】解：∵反比例函数y=kx，当x<0时，y随x的增大而减小，
∴k>0，
∴−k<0
∵y=−kx+k，
∴函数图象经过一、二、四象限，
故选：B．
由反比例函数当x<0时，y随x的增大而减小，可以判断k>0；再由一次函数图象的特点可以进一步确定y=−kx+k的图象经过第一、二、四象限．
本题考查一次函数与反比例函数图象的性质，解答本题的关键是要灵活掌握k在函数图象中的作用，才能正确解题．

8.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，EF//BC，
∴AD=EF=BC，AE=DF，BE=CF，
对于A、∵AD//CH，
∴△ADF∽△HCF，
∴CHDA=CFDF，
即CHEF=CFAE，故A正确；
对于B、∵AB//CD，
∴△ABH∽△FCH，
∴CFAB=FHAH，
即BECD=FHAH，故B正确；
对于C、∵AD//BH，
∴△ADF∽△HBA，
∴ADHB=DFAB，
即ADBH=AEAB，故C正确；
对于D、∵AE//CF，EF//CH，
∴△FCH∽△AEF，
∴AECF=EFCH，
即AEBE=EFCH，故D错误．
故选D．
本题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．

9.【答案】C 
【解析】解：连接CD，
则CD2=2，AC2=4+16=20，AD2=9+9=18
∴AC2=CD2+AD2，AD= 18=3 2，CD= 2
∴∠ADC=90°
∴tan∠A=CDAD= 23 2=13．
故选：C．
连接CD，即可证明△ACD是直角三角形，利用正切函数的定义即可求解．
本题主要考查了正切函数的定义，正确证明△ACD是直角三角形是解决本题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：由尺规作图痕迹得NB平分∠ABC，OM垂直平分BC，
∴OB=OC，
∵AB=CB，
∴BN垂直AC，AN=CN，
∴OA=OC，
∴OA=OB=OC，
∴点O为△ABC的外心，不一定为△ABC的内心，所以结论Ⅰ不正确；
∵MN为Rt△BCN的斜边BC的中线，
∴MN=BM=CM，
∵OC>CM，
∴OC>MN，所以结论Ⅱ正确．
故选：C．
利用基本作图得NB平分∠ABC，OM垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到OB=OC，再利用等腰三角形的性质得到BN垂直AC，AN=CN，所以OA=OC，于是可判断点O为△ABC的外心，不一定为△ABC的内心，这样可对结论Ⅰ进行判断；利用直角三角形斜边上的中线性质得到MN=BM=CM，由于OC>CM，所以OC>MN，则可对结论Ⅱ进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和三角形的内心．

11.【答案】(2m+5)(2m−5) 
【解析】解：原式=(2m+5)(2m−5)，
故答案为：(2m+5)(2m−5)．
直接利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．

12.【答案】 5−1 
【解析】
【分析】
此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解决问题的关键．根据黄金分割点的定义，可得BP= 5−12AB，代入数据即可得出BP的长度．
【解答】
解：∵点P在线段AB上，BP2=AP⋅AB，
∴点P为线段AB的黄金分割点，AB=2cm，
∴BP=2× 5−12=( 5−1)cm．
故答案为：( 5−1)．  
13.【答案】−1 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2−mx−14=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
∴b2−4ac=0，
即m2−4×m×(−14)=0，
解得：m=0或m=−1，
当m=0时，
原方程不是一元二次方程，不符合题意，故舍去，
∴m=−1，
故答案为：−1．
由方程mx2−mx−14=0有两个相等的实数根可得Δ=0，即可得出关于m的一元二次方程，求解即可．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac之间的关系．

14.【答案】x<−3 
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A(−3,0)，由函数图象可知，当x<−3时函数图象在x轴的上方，
∴kx+b>0的解集是x<−3．
故答案为：x<−3．
先根据一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A(−3,0)可知，当x<−3时函数图象在x轴的上方，故可得出结论．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键．

15.【答案】−8 
【解析】解：过点A作AD⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，
∵OA⊥OB，
∴∠BOE+∠AOD=90°，
∵∠EBO+∠BOE=90°，
∴∠EBO=∠AOD，
∵∠BED=∠ODA=90°，
∴△BOE∽△OAD，
∴BEOD=OEAD=OBOA，
设A(xa,ya)，B(xb,yb)，
∵tan∠ABO=12，
∴OAOB=12，
∴ybxa=−xbya=2，
∴xb=−2xa，yb=2ya，
∴xb⋅yb=−4xaya，
∵xa⋅ya=2，
∴xb⋅yb=−4×2=−8，
∴k=−8．

故答案为：−8．
过点A作AD⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，利用相似三角形的性质以及三角函数值得到△BOE∽△OAD以及两个三角形各边的比，再设点A，B的坐标并用坐标表示边的比例关系，最后求解即可．
本题主要考查相似三角形以及反比例函数，熟练运用垂直的关系求相似并利用三角函数值得到边的比例关系是解决本题的关键．

16.【答案】 54π 
【解析】解：如图1中，连接MN交EF于点P，连接BP．

∵四边形ABCD是矩形，AM=MD，BN=CN，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=3，
∵EM//NF，
∴△EPM∽△FPN，
∴PMPN=EMNF=2tt=2，
∴PN=1，PM=2，
∵BN=12BC=2，
∴BP= PN2+BN2= 12+22= 5，
∵BH⊥EF，
∴∠BHP=90°，
∴点H在BP为直径的⊙O上运动，
当点E与A重合时，如图2中，连接OH，ON.点H的运动轨迹是NH．

此时AM=2，NF=1，
∴BF=AB=3，
∵∠ABF=90°，BH⊥AF，
∴BH平分∠ABF，
∴∠HBN=45°，
∴∠HON=2∠HBN=90°，
∵OH=12BP= 52，
∴点H的运动轨迹的长=90π× 52180= 54π．
故答案为： 54π．
如图1中，连接MN交EF于点P，连接BP.首先证明PN=1，利用勾股定理求出BP.由∠BHP=90°，推出点H在BP为直径的⊙O上运动，当点E与A重合时，如图2中，连接OH，ON.点H的运动轨迹是NH.求出∠HON，再利用弧长公式求解．
本题考查矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．

17.【答案】解：原式=2 3−4×12+2− 3+3−π
=2 3−2+2− 3+3−π
=3+ 3−π． 
【解析】直接利用绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠DEBAE=DE，
∴△AEF≌△DEB(AAS)；
∴AF=DB，
∵D是BC的中点，
∴DB=DC=AF，
又∵AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=12BC=CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
(2)解：∵D是BC的中点，
∴△ACD的面积=△ABD的面积=12△ABC的面积，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积=2△ACD的面积=△ABC的面积=12AC×AB=12×3×4=6． 
【解析】(1)由AAS证明△AEF≌△DEB，得AF=DB，证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；
(2)根据条件可证得S菱形ADCF=S△ABC，再由三角形面积公式可求得答案．
本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

19.【答案】34 
【解析】解：(1)∵一共有4张卡片，其中正面数字是奇数的卡片有3张，每张卡片被翻开的概率相同，
∴随机翻开一张卡片，正面数字是奇数的概率是34，
故答案为：34；
(2)画树状图如下：

由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中翻到的两个数字之和为偶数的结果数有6种，
∴翻到的两个数字之和为偶数的概率为612=12．
(1)根据概率计算公式求解即可；
(2)先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．

20.【答案】200 
【解析】解：(1)20÷10%=200(名)，
故答案为：200；
(2)∵60200×100%=30%，
∴a=30，
锻炼时间为6h的人数为200−20−40−60−60=20(人)，
补全的统计图如图所示；

(3)3000×20+40+60200=1800(人)，
答：估计社区内每周锻炼时间不超过5h的居民有1800人．
(1)根据锻炼时间为3h的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数；
(2)根据(1)中的结果和统计图，用锻炼时间为7h的人数除以总人数求a，再计算出锻炼时间为6h的人数，然后即可将统计图补充完整；
(3)用总居民乘以每周锻炼时间不超过5h所占的百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

21.【答案】解：(1)设每个月生产成本的下降率为x，由题意，得：100(1−x)2=81，
解得：x1=0.1，x2=1.9(舍去)，
∴每个月生产成本的下降率为10%；
(2)预测11月份的生产成本为：81×(1−10%)=72.9，72.9>70，
∴该公司11月份的生产成本不会跌破70万元． 
【解析】(1)设每个月生产成本的下降率为x，根据公司今年8月份的生产成本为100万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，10月份的生产成本为81万元，列出一元二次方程，进行求解即可；
(2)根据下降率求出11月份该公司的生产成本，进行判断即可．
本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°。
∵∠BED=∠CBD，∠BED=∠BAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=∠BAD+∠ABD=90°．
∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线．
(2)解：∵∠ADB=90°，∠BAD=∠BED=∠CBD，
∴BDAB=sin∠BAD=sin∠BED=35．
设BD=3m，则AB=5m，
∴AD= AB2−BD2= (5m)2−(3m)2=4m，
∴4m=4，解得m=1，
∴BD=3．
∵∠BDC=180°−∠ADB=90°，
∴CDBC=sin∠CBD=sin∠BED=35，
∴CD=35BC．
∵BD2+CD2=BC2，
∴32+(35BC)2=BC2，
∴BC=154或BC=−154(不符合题意，舍去)，
∴BC的长是154． 
【解析】(1)由AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，由∠BED=∠CBD=∠BAD，得∠ABC=∠CBD+∠ABD=∠BAD+∠ABD=90°，即可证明BC是⊙O的切线．
(2)由∠ADB=90°，∠BAD=∠BED=∠CBD，得BDAB=sin∠BAD=sin∠BED=35，设BD=3m，则AB=5m，AD= AB2−BD2=4m，所以4m=4，则m=1，所以BD=3，由CDBC=sin∠CBD=sin∠BED=35，得CD=35BC，则32+(35BC)2=BC2，即可求得BC=154．
此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明∠BAD=∠BED=∠CBD是解题的关键．

23.【答案】解：(1)∵直线y=kx+b经过点A(754,0)，点B(0,25)，
∴754k+b=0b=25，解得：k=−43b=25，
∴直线AB解析式为y=−43x+25，
联立y=34x和y=−43x+25并解得：x=12y=9，
∴点C的坐标为(12,9)；

(2)∵A(754,0)，
∴OA=754，
设点D的横坐标为m，则点D坐标为(m,−43m+25)，
∵DE//y轴，
∴点E坐标为(m,43m)，
∴DE=|−43m+25−34m|=|−2512m+25|=23×754，
解得：m=6或18，
当m=6时，S△CDE=12×252×(12−6)=752；
当m=18时，同理可得：752，
综上，△CDE的面积为752；

(3)过C作CG⊥OA于点G，
∵点C的坐标为(12,9)，
∴OG=12，CG=9，OA=754，
∴AG=754−12=274，
∴OC2=OG2+CG2=144+81=225，AC2=AG2+CG2=202516，
OC2+AC2=562516，OA2=562516，
∴OC2+AC2=OA2，
∴∠OCA=90°，即OC⊥AB，
当△OAD沿着OD折叠，且点A落在射线CO上的A′时，设DA′交x轴于点H，如图1所示：

根据折叠的性质可得：OA=OA′，∠DAO=∠DA′O，
又∵∠COA=∠HOA′，
∴△COA≌△HOA′(ASA)，
∴∠A′HO=∠ACO=90°，HO=CO=15，
∴DA′//y轴，
当x=−15时，y=−43×(−15)+25=45，
∴D坐标为(−15,45)；
当△AOD沿着OD折叠，且点A落在射线OC上的A′时，延长A′D交x轴于点I，如图2所示：

根据折叠的性质可得：OA=OA′，∠DAO=∠DA′O，
又∵∠COA=∠IOA′，
∴△COA≌△IOA′(ASA)，
∴∠A′IO=∠ACO=90°，IO=CO=15，
∴DA′//y轴，
当x=15时，y=−43×15+25=5，
∴点D坐标为(15,5)，
综上，点D的坐标为(15,5)或(−15,45)． 
【解析】(1)利用待定系数法求出k与b，确定出直线解析式，与直线OC联立求出C坐标即可；
(2)设D的横坐标为m，代入直线AB与直线OC解析式表示出D与E的纵坐标，进而表示出DE的长，求出OA的长，根据DE=23OA求出m的值进而求出三角形CDE面积即可；
(3)分点A落在射线CO和射线OC上两种情况分类讨论，利用全等三角形的判定与性质求解即可．
此题考查了两条直线相交或平行问题，涉及到一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质，勾股定理及逆定理，注意分类求解，不要遗漏．

24.【答案】8 
【解析】(1)解：∵∠1=∠2，∠APD=∠BPC，
∴△DAP∽△CBP，
∴PDPC=PAPB，
∴43=PA6，
∴PA=8．
故答案为：8；
(2)证明：如图2，过点P分别作OM、ON的垂线，垂足分别为C、D，

∴∠ACP=∠BDP=90°，
∵OP平分∠MON，PC⊥OM，PD⊥ON，
∴PC=PD，
∵∠AOP=∠BOP=60°，∠APB=60°，∠MON=120°，
∴∠PAO+∠PBO=180°，
∵∠PBO+∠PBD=180°，
∴∠PAC=∠PBD，
∴△PAC≌△PBD(AAS)，
∴AC=BD，
在Rt△PCO和Rt△PDO中，PC=PD，OP=OP，
∴Rt△PCO≌Rt△PDO(HL)，
∴OC=OD，
在Rt△PCO中，∠POC=60°，
∴∠OPC=30°，
∴CO=12OP，
∴PC= 3CO= 32OP，
∴四边形OAPB的面积=S△APO+S△BPO=12OA×PC+12OB×PD=12(OA+OB)PC，
∵PC=PD= 32OP，OA+OB=OC+AC+OD−BD=2OC=OP，
∴四边形OAPB的面积=12× 32×OP2= 34OP2，
∵点P是∠MON平分线上的一个定点，即OP为定长，
∴四边形OAPB的面积是定值；
(3)解：如图3，过点A作AG⊥EF于点G，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点H，

则四边形AGFH是矩形，
∴∠GAH=90°，
∵AD//BC，∠B=90°，
∴∠EAD=90°，
∴∠EAG=90°−∠DAG=∠DAH，
∵∠EGA=∠DHA=90°，AE=AD，
∴△ECA≌△DHA(AAS)，
∴AG=AH，
∴四边形AGFH是正方形，
过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点M，
则四边形ABCM是矩形，
∴CM=AB=120米，
∵AM=BC=110米，∠M=∠H=90°，
∴DM=AM−AD=110−60=50(米)，
∴CD= DM2+CM2=130(米)，
∵∠M=∠H=90°，
∴△CDM∽△ADH，
∴CDAD=CMAB，
即13060=120Al，
 解得AH=72013米，
在正方形AGFH中，∠HAF=45°，
∴AF= 2AH=720 213米，
即小路AF的长为720 213米．
(1)根据8字型模型证明两个三角形相似即可解答；
(2)过点P分别作OM、ON的垂线，垂足分别为C、D，证明△PAC≌△PBD(AAS)，可得AC=BD，再证明Rt△PCO≌Rt△PDO(HL)，可得OC=OD，然后利用含30度角的直角三角形和三角形面积公式即可解决问题；
(3)过点A作AG⊥EF于点G，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点H，可得四边形AGFH是矩形，证明四边形AGFH是正方形，再过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点M，可得四边形ABCM是矩形，证明△CDM∽△ADH，对应边成比例求出AH的长，进而可以解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，特殊角的三角函数值，三角形的面积，利用角平分线的性质构造恰当的辅助线，熟练掌握8字型模型相似三角形是解题的关键．

25.【答案】解：(1)将点B(3,0)，C(0,3)代入y=−x2+bx+c，
∴−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴y=−x2+2x+3，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点坐标(1,4)；
(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=0b=3，
解得k=−1b=3，
∴y=−x+3，
设P(t,−t+3)，则M(t,−t2+2t+3)，N(2−t,−t2+2t+3)，
∴PM=|t2−3t|，MN=|2−2t|，
∵PM=12MN，
∴|t2−3t|=12|2−2t|，
解得t=1+ 2或t=1− 2或t=2+ 3或t=2− 3，
∴P点横坐标为1+ 2或1− 2或2+ 3或2− 3；
(3)∵C(0,3)，D点与C点关于x轴对称，
∴D(0,−3)，
令y=0，则−x2+2x+3=0，
解得x=−1或x=3，
∴A(−1,0)，
∴AB=4，
∵AQ=3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG//BC，
∴AQAP=AGBA，
∴34=AG4，
∴AG=3，
∴G(2,0)，
∵OB=OC，
∴∠OBC=45°，
作A点关于GQ的对称点A′，连接A′D与AP交于点Q，
∵AQ=A′Q，
∴AQ+DQ=A′Q+DQ≥A′D，
∴3AP+4DQ=4(DQ+34AP)=4(DQ+AQ)≥4A′D，
∵∠QGA=∠CBO=45°，AA′⊥QG，
∴∠A′AG=45°，
∵AG=A′G，
∴∠AA′G=45°，
∴∠AGA′=90°，
∴A′(2,3)，
设直线DA′的解析式为y=kx+b，
∴b=−32k+b=3，
解得k=3b=−3，
∴y=3x−3，
同理可求直线QG的解析式为y=−x+2，
联立方程组y=−x+2y=3x−3，
解得x=54y=34，
∴Q(54,34)，
∴DQ=5 104． 
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)设P(t,−t+3)，则M(t,−t2+2t+3)，N(2−t,−t2+2t+3)，则PM=|t2−3t|，MN=|2−2t|，由题意可得方程|t2−3t|=12|2−2t|，求解方程即可；
(3)由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG//BC，求出点G(2,0)，作A点关于GQ的对称点A′，连接A′D与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4(DQ+34AP)=4(DQ+AQ)≥4A′D，利用对称性和∠OBC=45°，求出A′(2,3)，求出直线DA′的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=−x+2y=3x−3，可求点Q(54,34)，再求DQ=5 104．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．