2023年辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学中考数学模拟试卷（含解析）

2023年辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求把用科学记数法表示应是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  为了解学生的睡眠状况，调查了一个班名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间条形统计图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中，两点分别落在直线，上，若，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  下列事件中，是随机事件的是(    )

A. 画一个三角形，其内角和是
B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为
C. 在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
D. 太阳从东方升起

9.  如图，，，是半径为的上的三个点，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示．则下列结论错误的是(    )

A. 抛物线过原点
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  二元一次方程组的解是______．

13.  化简：______．

14.  若一个圆内接正六边形的边长是，则这个正六边形的边心距______．

15.  如图，点为反比例函数图象上一点，点为反比例函数图象上一点，直线过原点，且，则，则的值为______ ．

16.  如图，将边长为的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，点是线段的中点，连接，当为直角三角形时， ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，，，．
从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率直接写出结果；
先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为请用列表或画树状图法，求由，确定的点在函数的图象上的概率．

19.  本小题分
如图，点，，，在同一直线上，，，．
求证：；
连接，，直接判断四边形的形状．

20.  本小题分
以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
______ ， ______ ；
请补全条形统计图；
在扇形统计图中，“软件”所对应圆心角的度数是______ ；
若该公司新聘名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有______ 名

21.  本小题分
在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地千米的地，已知甲骑行的速度是乙的倍若乙先骑行分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度．

22.  本小题分
如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分，交于点，连接．
求证：平分；
若，，求线段的长．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是上一点，四边形是矩形，点和点分别在轴正半轴和轴正半轴上，且，作直线．
求直线的函数表达式；
求点的坐标；
将矩形沿射线方向平移，点，，，的对应点分别为，，，，边始终平行于轴．
如图，当点落在直线上时，的面积等于______ ；
如图，点是轴上一点，在平移过程中，连接，，直接写出的最小值为______ ．

 

24.  本小题分
如图，中，，，点是中点，，的两边，分别与直线，交于点，，，连接．
如图，当点，分别在，上时，猜想形状是______ 三角形；线段、、的数量关系是______ ．
如图，当点，分别在，延长线上时，上述两个结论成立吗？若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由．
在的条件下，．
连接，直接写出 ______ ．
当时，求的长．

 

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，，对称轴直线交轴于点，过点作射线交直线于点在轴上方，交直线于点，轴交射线于点．
求抛物线的表达式；
如图，当为何值时，点恰好落在该抛物线上？
当时，过点作轴于点，点为射线上一点，连接，当直线与直线的夹角为时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据乘积是的两个数互为倒数得出结论即可．
本题主要考查倒数的概念，熟练掌握倒数的概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看得到列正方形的个数依次为，，．
故选：．
得到从几何体正面看得到的平面图形即可．
本题考查简单组合体的三视图，掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合完全平方公式，并同类项的法则，多项式乘多项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，完全平方公式，多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：由条形图可以得出，所调查学生睡眠时间的众数为，
将调查学生的睡眠时间排序后，排在第位的是，第位的是，
所调查学生睡眠时间的中位数是，
故选：．
根据条形图得出众数和中位数即可．
本题主要考查条形图的知识，熟练掌握条形统计图，中位数，众数的知识是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
由不等式，得
，
由不等式，得
，
故原不等式组的解集是，
故选：．
根据解一元一次不等式组的方法可以求得所求不等式组的解集，然后即可判断哪个选项是正确的，从而可以解答本题．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
 

7.【答案】 

【解析】

解：因为直线，
所以，
故选：．
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行线的性质即可得到结论．  

8.【答案】 

【解析】解：、画一个三角形，其内角和是，是必然事件；
B、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为，是随机事件；
C、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件；
D、太阳从东方升起，是必然事件．
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

则有：，，
，
，
，
，
故选：．
首先作出相关的辅助线，利用勾股定理的逆定理，得到特殊的三角形，再利用圆周角定理推出相关角的度数即可．
本题考查圆周角定理，其关键是要根据同一条弧找到相对应的圆周角和圆心角．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线经过，对称轴为直线，
抛物线经过，选项A正确．
将代入得，
，选项B正确．
抛物线对称轴为直线，
，
，选项C正确．
时，，
选项D错误．
故选：．
由抛物线对称轴为直线及抛物线的对称性可判断选项A，，由可判断选项B，由时可判断选项D．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二元一次方程组的解法加减消元法，解题的关键是消元，把可以消去．
通过观察可以看出的系数互为相反数，故可以消去，解得的值，再把的值代入或，都可以求出的值．
【解答】
解：，
得：，
解得，
把代入中得：，
解得，
所以原方程组的解为．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
先根据分式的减法法则算减法，再算乘法即可．
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，，过作于；
此多边形是正六边形，
，，
．
根据题意画出图形，再根据正多边形的性质解答即可．
此题比较简单，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质即锐角三角函数的定义解答即可．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
点为反比例函数图象上一点，
．
轴，轴，
．
，
∽．
，，
，
，
，
．
故答案为．
过点作轴于点，过点作轴于点，由反比例函数系数的几何意义可得出，再由相似三角形的判定定理得出∽，由相似三角形的性质可得出的面积，进而可得出结论．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当时．

，为中点．
．
，点是线段的中点．
．
即向右平移．
．
当时．

．
．
．
为中点，．
．
在中，，．
．
．
点是线段的中点．

即向右平移．
故答案为：或．
本题先根据为直角三角形进行分类讨论：当时，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，即可求出，进而求出，长度就解决了．当时，根据直角三角形中，角所对直角边是斜边长度的一半，可以求出，进而求出，长度就解决了．
本题考查等边三角形的性质，平移的相关知识，掌握直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，以及直角三角形中，角所对直角边是斜边长度的一半是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】根据二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂计算．
本题考查的是实数的运算，掌握二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算是解题的关键．
 

18.【答案】解：口袋中共有个小球，且小球上数字是奇数的有个，
摸出小球上的数字是奇数的概率为．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中点在函数的图象上的有，，共种，
由，确定的点在函数的图象上的概率为． 

【解析】直接利用概率公式可得结果．
画树状图得出所有等可能的结果数和由，确定的点在函数的图象上的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、一次函数图象上点的坐标特征、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率．
 

19.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，四边形是平行四边形，理由如下：
由可知，，
，
又，
四边形是平行四边形． 

【解析】证≌，再由全等三角形的性质即可得出结论；
由可知，，则，再由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：，
，
故答案为：，；
补全的条形统计图如图所示；

在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是，
故答案为：；
估计“总线”专业的毕业生有：名，
故答案为：．
根据总线的人数和所占的百分比，可以求得的值，然后即可计算出的值；
根据中的结果和硬件所占的百分比，可以求得硬件专业的毕业生，从而可以将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角的度数；
根据统计图中的数据，可以计算出“总线”专业的毕业生的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：设乙骑行的速度是千米时，则甲骑行的速度是千米时．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲骑行的速度是千米时． 

【解析】设乙骑行的速度是千米时，则甲骑行的速度是千米时．利用时间路程速度，结合乙比甲多用分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出乙骑行的速度，再将其代入中，即可求出甲骑行的速度．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，

为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
解：连接，如图，

是的直径，
，，
平分，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
∽，
，
，
，
． 

【解析】根据切线的性质得，而，则可判断，根据平行线的性质得，加上，则，即可得到平分；
连接，证明是等腰直角三角形，再证明，利用相似比即可计算出的长即可解决问题．
本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
设，
，，
，
，
解得，
；
，
，
设矩形沿轴负方向平移个单位，则沿轴正方向平移个单位，
平移后的点，，，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
落在直线上，
，
解得，
，，
的面积，
故答案为：；
作点关于直线的对称点，连接，则，
过点作，过点作，与交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为，
连接交直线于点，过点作轴交于点，
由对称性可知，，
，
，
，
，，
，
在中，，，
，
，即，
解得，
，
点是、的中点，
，
，，，
，
，
的最小值，
故答案为：．
用待定系数法求函数的解析式即可；
设，根据，可得方程，求出的值即可求点坐标；
设矩形沿轴负方向平移个单位，则沿轴正方向平移个单位，则平移后的点，，，，
将点坐标代入直线的解析式求出的值，从而确定点的坐标，再求面积即可；
作点关于直线的对称点，连接，则，过点作，过点作，与交于点当、、三点共线时，的值最小，最小值为，连接交直线于点，过点作轴交于点，可求，再由点是、的中点，求出，，即可求的最小值．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键．
 

24.【答案】等边    

【解析】解：如图，取的中点，连接，，

，，点是中点，
，，，
点是的中点，
，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，，
是等边三角形，
，
，
故答案为：等边，；
是等边三角形仍然成立，不成立，理由如下：
如图，取的中点，连接，，

，，点是中点，
，，
点是的中点，
，
是等边三角形，
，，
，，
≌，
，，
是等边三角形，
，
；
，，，
，，
，
≌，
，
，
故答案为：；
，，
．
由“”可证≌，可得，，可得结论；
由“”可证≌，可得，，可得结论；
由全等三角形的性质可得，由面积的和差关系可求解；
由线段的和差关系可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】解：把、代入，
得，解得，
抛物线的解析式为．
，
该抛物线的对称轴为直线；
由，得，，
．
，
．
，，
四边形是平行四边形，
，
点的横坐标是．
如图，当点恰好落在抛物线上，则，
，．
，，，
，，
解得，
当时，点恰好落在抛物线上．
，．
，，
，，．
如图，点在上，交于点，，作轴于点．
，
，
公共角，
∽，
，
，
．
，
，
，
，．
，，
，
；
如图，点在的延长线上，交的延长线于点．
同理，∽，
，
，
，
由，得，
由，得，
，
，得，
．
综上所述，的长为或． 

【解析】将、代入，列方程组求出、的值即可；
先求抛物线的对称轴的解析式，再由平行四边形的性质求出点的横坐标并且将此横坐标代入抛物线的解析式，求出点的纵坐标，再由相似三角形的性质求出的长；
设与交于点，由，证明∽，由相似三角形的性质先求出的长，再求的长，从而求出的长；用同样的方法求出点的的延长线上时的长．
此题重点考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质以及用待定系数法求函数的解析式、解一元二次方程等知识和方法，在解第题时应按点的不同位置进行分类讨论．此题多次用到相似三角形的性质，应注意相似三角形的边的对应关系，准确地求出结果．