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2023年安徽省合肥三十八中教育集团中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年安徽省合肥三十八中教育集团中考数学三模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省合肥三十八中教育集团中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −8的绝对值是( )
A. −8 B. 8 C. ±8 D. −18
2. 据统计，今年一季度全省社会消费品零售总额5779.3亿元，其中5779.3亿用科学记数法表示为( )
A. 5779.3×108 B. 5.7793×103 C. 5.7793×1011 D. 5.7793×1012
3. 如图所示的几何体为圆台，其主(正)视图正确的是( )
A. B. C. D.
4. 计算a10÷a2(a≠0)的结果是( )
A. a5 B. a−5 C. a8 D. a−8
5. 图是某商品1～4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最大的是( )
A. 1月 B. 2月 C. 3月 D. 4月
6. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°
7. 已知△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，点D是⊙O上一点，则下列命题正确的是( )
A. 若CD平分∠ACB，则CD⊥AB
B. 若CD⊥AB，则CD平分∠ACB
C. 若CD平分∠ACB，则AC+BC= 2CD
D. 若AC+BC= 2CD，则点D在劣弧AC上
8. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是( )
A. 19 B. 16 C. 13 D. 23
9. 直线l1：y=kx+b和l2：y=bx−k在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 不等式3+2x>−x−6的解集为______ ．
12. 若关于x的一元二次方程ax2+4x=x2+2有实数根，则a的取值范围为 ．
13. 如图，直线x=t(t>0)与反比例函数y=kx(x>0)，y=−1x(x>0)的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为______．
14. 如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，E，F，G三点也同在另一条直线上，△ABE，△BCF，△CDG均为等边三角形.请完成下列问题：
(1)在BE上取一点P，使得BP=BF，连接AP并延长交EF于Q，则∠AQE= ______ °.
(2)若AB=11，BC=8，则CD的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算：2sin30°+(−1)2−|2− 2|．
16. (本小题8.0分)
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC．
(1)将△ABC向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1．
(2)请仅用无刻度的直尺作出△A1B1C1中A1B1边上的中线C1D (保留作图痕迹)．
17. (本小题8.0分)
“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
18. (本小题8.0分)
观察以下等式：
第1个等式：22+14=1+14．
第2个等式：43+19=1+49．
第3个等式：64+116=1+916．
第4个等式：85+125=1+1625．
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______ ．
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明．
19. (本小题10.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，过点A的切线交CD的延长线于点F，连接AD．
(1)求证：∠EAD=∠ACE；
(2)若AC=4 5，ED=2，求DF的长．
20. (本小题10.0分)
如图，在某居民楼AB的正前方8m处有一生活超市CD，在生活超市的顶端C处测得居民楼顶端A的仰角为67°，测得居民楼底端B的俯角为22°，求居民楼AB的高度.(结果保留小数点后一位，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40 )
21. (本小题12.0分)
某校七、八年级各有1000名学生，为加强安全教育，开展了“防溺水”安全知识检测.现从七、八年级学生中各随机抽取了m名学生进行测试，将测试成绩按以下六组进行整理(得分用x表示)：A：70≤x<75，B：75≤x<80，C：80≤x<85，D：85≤x<90，E：90≤x<95，F：95≤x≤100．
并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩B组的全部数据为76，77，78，78．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)m= ______ ，a= ______ ；
(2)请直接写出七年级测试成绩的中位数落在哪一组；
(3)若测试成绩不低于85分，则认定该学生对“防溺水”安全知识了解程度高，请估计该校七、八两个年级对“防溺水”安全知识了解程度高的学生一共有多少人，并说明理由．
22. (本小题12.0分)
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E为斜边AB的中点，将线段AC平移至ED交BC于点M，连接CD、CE、BD．
(1)求证：CD=BE；
(2)求证：四边形BECD为菱形；
(3)连接AD，交CE于点N，若AC=10，cos∠ACE=513，求MN的长．
23. (本小题14.0分)
如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm，现计划将此余料进行切割．
(1)如图1，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若切割成矩形HGNM，求此矩形的最大周长；
(3)若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长.(结果保留根号)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据绝对值的定义得，|−8|=8．
故选：B．
根据绝对值的定义求解．
本题考查了绝对值，任何一个数的绝对值一定是非负数，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2.【答案】C
【解析】解：5779.3亿=577930000000=5.7793×1011．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
3.【答案】A
【解析】解：所给图形的主视图是梯形．
故选A．
找到圆台从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了同底数幂的除法运算法则，正确掌握相关法则是解题关键.直接利用同底数幂的除法运算法则化简求出答案．
【解答】
解：a10÷a2=a10−2=a8．
故选C．
5.【答案】B
【解析】解：由图象中的信息可知，
利润=售价−进价，利润最大的天数是2月，
故选：B．
根据利润=售价−进价和图象中给出的信息即可得到结论．
本题考查了折线统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润=售价−进价是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图，
∵∠2=90°−30°=60°，
∴∠3=180°−45°−60°=75°，
∵a//b，
∴∠1=∠3=75°，
故选：B．
利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
7.【答案】C
【解析】解：(1)CD平分∠ACB，如图1，
∴AD=BD，
∴∠AOD=∠BOD=90°，
∴OD⊥AB，
故A选项不正确；
(2)CD⊥AB，
∴AB平分CD，AC=AD，
得不到AD=BD，
故B选项不正确；
(3)如图3，延长CB至点F，使得BF=AC，连结AD，BD，DF，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∵四边形ACBD内接于⊙O，
∴∠CAD=∠DBF，
在△CAD与△FBD中，
AD=BD∠CAD=∠FBDCA=FB，
∴△CAD≌△FBD(SAS)，
∴CD=FD，∠F=∠ACD=∠BCD=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CF= 2CD，
∴CB+CA= 2CD，
故C选项正确；
(4)由备选答案C可知D项不正确．
故选：C．
(1)CD平分∠ACB，如图1，得AD=BD，可得∠AOD=∠BOD=90°，所以OD⊥AB；
(2)CD⊥AB，由垂径定理得AB平分CD，AC=AD，得不到AD=BD，则CD平分∠ACB不正确；
(3)CD平分∠ACB，得AD=BD，得AD=BD，将△ACD绕点D旋转90°至△BFD，证明AC+BC=AC+BF=CF，再证明△CDF是等腰直角三角形即可．
本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，图形的旋转，三角形全等知识，解题备选答案C的关键是利用图形旋转构造全等三角形．
8.【答案】C
【解析】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为39=13，
故选：C．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】A
【解析】解：∵直线l1：经过第一、三象限，
∴k>0，
∴−k<0．
又∵该直线与y轴交于正半轴，
∴b>0．
∴直线l2经过第一、三、四象限．
故选：A．
根据各选项中的函数图象判断出k、b异号，然后分别确定出两直线经过的象限以及与y轴的交点位置，即可得解．
本题考查了一次函数的图象，一次函数y=kx+b(k≠0)，k>0时，一次函数图象经过第一三象限，k<0时，一次函数图象经过第二四象限，b>0时与y轴正半轴相交，b<0时与y轴负半轴相交．
10.【答案】D
【解析】解：过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：
在Rt△DFC中，∠DCF=30°，
∴DF=12DC，
∵2AD+DC=2(AD+12DC)
=2(AD+DF)，
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B=∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD=AB=4，
在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=4，
∴BC=8，
∴DC=BC−BD=4，
∴2AD+DC=2×4+4=12，
∴2AD+DC的最小值为12，
故选：D．
过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF=30°,DF=12DC,2AD+DC=2(AD+12DC)=2(AD+DF)当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．
本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
11.【答案】x>−3
【解析】解：3+2x>−x−6，
2x+x>−6−3，
3x>−9，
x>−3，
故答案为：x>−3．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
12.【答案】a≥−1且a≠1
【解析】解：方程ax2+4x=x2+2整理得：(a−1)x2+4x−2=0，
根据题意得a−1≠0且Δ=42−4×(a−1)×(−2)≥0，
解得a≥−1且a≠1．
故答案为：a≥−1且a≠1．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a−1≠0且Δ=42−4×(a−1)×(−2)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
13.【答案】5.
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，设BC与x轴交于点E，如图，
则AD=t，
∵直线x=t(t>0)与反比例函数y=kx(x>0)，y=−1x(x>0)的图象分别交于B、C两点，
∴B(t,kt)，C(t,−1t)，
∵t>0，k>0，
∴BE=kt，DE=1t，
∴BC=BE+CE=k+1t，
∵△ABC的面积为3，
∴12×BC⋅AD=3，
∴12×k+1t⋅t=3，
∴k=5．
故答案为：5．
过点A作AD⊥BC于点D，设BC与x轴交于点E，由题意得出点B，C的坐标，进而得到线段AD，BC的长度，利用，△ABC的面积为3列出方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上的点的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
14.【答案】60 6411
【解析】解：(1)如图，
∵△ABE，△BCF，△CDG均为等边三角形．
∴∠ABE=∠CBF=60°，AB=EB，
∴∠EBF=180°−∠ABE−∠CBF=60°，
∵BP=BF，AB=EB，∠ABP=∠EBF=60°，
∴△ABP≌△EBF(SAS)，
∴∠BAP=∠BEF，
∵∠BAP+∠ABP+∠APB=∠BEF+∠AQE+∠EPQ，∠APB=∠EPQ，
∴∠AQE=∠ABP=60°；
故答案为：60°；
(2)分别延长AD，EG，两条延长线交于O，
∵∠ABE=∠BCF=60°，∠FBC=∠GCD=60°，
∴BE//CF，BF//CG，
∴BECF=BOCO，BFCG=BOCO，
∴BECF=BFCG，
∵AB=BE=11，BC=BF=CF=8，
∴118=8CG，
∴CD=CG=6411．
故答案为：6411．
(1)证明△ABP≌△EBF(SAS)，则∠BAP=∠BEF，由三角形内角和定理得到∠BAP+∠ABP+∠APB=∠BEF+∠AQE+∠EPQ，对顶角相等得∠APB=∠EPQ，即可得到∠AQE=∠ABP=60°；
(2)分别延长AD，EG，两条延长线交于O，先证明BE//CF，BF//CG，则BECF=BOCO，BFCG=BOCO，得到BECF=BFCG，进一步即可得到答案．
此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15.【答案】解：2sin30°+(−1)2−|2− 2|
=2×12+1−(2− 2)
=1+1−2+ 2
= 2．
【解析】首先计算乘方、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
16.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，C1D即为所求．
【解析】(1)利用点平移的坐标变换规律得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格找到A1B1边上的中点D，连接C1D即可．
本题考查了作图−平移变换，正确地作出图形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128(1+x)+128(1+x)2=608
化简得：4x2+12x−7=0
∴(2x−1)(2x+7)=0，
∴x=0.5=50%或x=−3.5(舍)，
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
(2)∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128(1+50%)3=128×278=432<500，
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【解析】(1)先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
(2)根据(1)所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
18.【答案】106+136=1+2536
【解析】解：(1)第5个等式为：106+136=1+2536，
故答案为：106+136=1+2536．
(2)第n个等式为：2n(n+1)+1(n+1)2=1+n2(n+1)2，
证明：2n(n+1)+1(n+1)2=2n(n+1)+1(n+1)2
=2n2+2n+1(n+1)2
=n2+2n+1+n2(n+1)2
=(n+1)2+n2(n+1)2
=1+n2(n+1)2，
∴2n(n+1)+1(n+1)2=1+n2(n+1)2．
(1)根据前4个等式得出第五个等式即可；
(2)通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到分母之间的关系，最后通过化简即可证明．
本题考查了运算规律的探究，分式的加减运算，掌握规律的探究方法与分式的加减运算是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径，
∴AB=BD，
∴∠EAD=∠ACE；
(2)解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD=∠CEA=90°，
又∵∠ACD=∠ECA，
∴△CAD∽△CEA，
∴ACEC=CDCA，
∴AC2=CD⋅CE=CD(CD−ED)，
设⊙O的半径为r，
∴2r(2r−2)=(4 5)2，
解得r=5或r=−4(负值舍去)，
∴OE=OD−ED=5−2=3，
∵AF切⊙O于点A，
∴∠OAF=90°，
∴∠OAF=∠OEA，
∵∠EOA=∠AOF，
∴△OAE∽△OFA，
∴AOOF=OEOA，
即5OF=35，
解得OF=253，
∴DF=OF−OD=253−5=103．
【解析】(1)由圆周角定理可得出结论；
(2)连接OA，证明△CAD∽△CEA，由相似三角形的性质得出ACEC=CDCA，设⊙O的半径为r，则2r(2r−2)=(4 5)2，求出半径r，证明△OAE∽△OFA，由相似三角形的性质得出OAOF=OEOA，求出OF的长，则可得出答案．
本题考查切线的性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20.【答案】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意得：CE=BD=8m，
在Rt△ACE中，∠ACE=67°，
∴AE=CE⋅tan67°≈8×2.36=18.88(m)，
在Rt△BCE中，∠BCE=22°，
∴BE=CE⋅tan22°≈8×0.4=3.2(m)，
∴AB=AE+BE=18.88+3.2≈22.1(m)，
答：居民楼AB的高度约为22.1m．
【解析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：CE=BD=8m，然后分别在Rt△ACE和Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】80 16
【解析】解：(1)依题意，m=45%=80，
∴2a=80−8−24−12−4，
∴a=16，
故答案为：80，16．
(2)∵8+16=24<40，8+16+24=48>40，
∴中位数落在80≤x<85，即C组，
(3)七年级测试成绩不低于8(5分)的有16+12+4=32(人)，
3280×100%=40%，
八年级测试成绩不低于8(5分)的有1−(20%+5%+5%)=70%，
∴估计该校七、八两个年级对“防溺水”安全知识了解程度高的学生一共有1000×40%+1000×70%=400+700=1100人，
(1)根据八年级测试成绩B组的人数除以占比，得出八年级的人数即可求得m的值，进而求得a的值；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)分别求得七、八两个年级测试成绩不低于8(5分)的占比，进而即可求解．
本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，求中位数，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵ED为AC平移所得，
∴AC//ED，AC=ED，
∴四边形ACDE为平行四边形，
∴AE=CD，
在Rt△ABC中，点E为斜边AB的中点，
∴AE=CE=BE，
∴CD=BE．
(2)证明：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴AE//CD，即CD//BE，
又∵CD=BE，
∴四边形BECD为平行四边形，
又∵CE=BE，
∴四边形BECD为菱形．
(3)解：平移的性质得：AC//ED，AC=ED=10，
∴∠CEM=∠ACE，
由(1)得：四边形ACDE是平行四边形，四边形BECD为菱形，
∴CD=CE，CN=EN，DM=EM=12DE=5，BC⊥DE，
∴MN是△CDE的中位线，
∴MN=12CD，
∵cos∠CEM=EMCE=cos∠ACE=513，
∴CE=135EM=13，
∴CD=CE=13，
∴MN=132．
【解析】(1)证得四边形ACDE为平行四边形，得到AE=CD，在Rt△ABC中，点E为斜边AB的中点，
AE=CE=BE，从而得到CD=BE；
(2)证四边形ACDE是平行四边形，得CD=AE，CD//AE，再证四边形BECD是平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线性质得CE=12AB=BE，即可得出结论；
(3)由平行线的性质得∠CEM=∠ACE，由平行四边形和菱形的性质得CD=CE，CN=EN，DM=EM=12DE=5，BC⊥DE，证MN是△CDE的中位线，得MN=12CD，由锐角三角函数定义求出CD=CE=13，进一步解答即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)根据已知可得，抛物线顶点坐标为(0,9)，A(−6,0)，B(6,0)，
设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+9，
把B(6,0)代入，得0=36a+9，解得a=−14，
∴木板边缘所对应的抛物线的函数表达式为y=−14x2+9．
(2)在矩形HGNM中，设M(m,−14m2+9)(0
∴矩形HGNM的周长为2(2m−14m2+9)=−12(m−4)2+26．
∵−12<0，且0
即矩形HGNM的最大周长为26dm．
(3)如图是画出的切割方案：
在y=−14x2+9中，令y=2，解得x=±2 7，
∴PQ=4 7；
在y=−14x2+9中，令y=4，解得x=±2 5，
∴RS=4 5；
在y=−14x2+9中，令y=6，解得x=±2 3，
∴TW=4 3；
在y=−14x2+9中，令y=8，解得x=±2，
∴KI=4，
∴拼接后的矩形的长边长为PQ+RS+TW+KI=(4 7+4 5+4 3+4)dm．
【解析】(1)根据已知可得抛物线顶点坐标为(0,9)，A(−6,0)，B(6,0)，再设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+9，把B(6,0)代入，可求出a，即可得出抛物线的函数表达式；
(2)在矩形HGNM中，设M(m,−14m2+9)(0
本题考查了求二次函数的表达式和二次函数的图象和性质，熟练应用二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
2023年安徽省合肥三十八中教育集团中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −8的绝对值是( )
A. −8 B. 8 C. ±8 D. −18
2. 据统计，今年一季度全省社会消费品零售总额5779.3亿元，其中5779.3亿用科学记数法表示为( )
A. 5779.3×108 B. 5.7793×103 C. 5.7793×1011 D. 5.7793×1012
3. 如图所示的几何体为圆台，其主(正)视图正确的是( )
A. B. C. D.
4. 计算a10÷a2(a≠0)的结果是( )
A. a5 B. a−5 C. a8 D. a−8
5. 图是某商品1～4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最大的是( )
A. 1月 B. 2月 C. 3月 D. 4月
6. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°
7. 已知△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，点D是⊙O上一点，则下列命题正确的是( )
A. 若CD平分∠ACB，则CD⊥AB
B. 若CD⊥AB，则CD平分∠ACB
C. 若CD平分∠ACB，则AC+BC= 2CD
D. 若AC+BC= 2CD，则点D在劣弧AC上
8. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是( )
A. 19 B. 16 C. 13 D. 23
9. 直线l1：y=kx+b和l2：y=bx−k在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 不等式3+2x>−x−6的解集为______ ．
12. 若关于x的一元二次方程ax2+4x=x2+2有实数根，则a的取值范围为 ．
13. 如图，直线x=t(t>0)与反比例函数y=kx(x>0)，y=−1x(x>0)的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为______．
14. 如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，E，F，G三点也同在另一条直线上，△ABE，△BCF，△CDG均为等边三角形.请完成下列问题：
(1)在BE上取一点P，使得BP=BF，连接AP并延长交EF于Q，则∠AQE= ______ °.
(2)若AB=11，BC=8，则CD的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算：2sin30°+(−1)2−|2− 2|．
16. (本小题8.0分)
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC．
(1)将△ABC向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1．
(2)请仅用无刻度的直尺作出△A1B1C1中A1B1边上的中线C1D (保留作图痕迹)．
17. (本小题8.0分)
“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
18. (本小题8.0分)
观察以下等式：
第1个等式：22+14=1+14．
第2个等式：43+19=1+49．
第3个等式：64+116=1+916．
第4个等式：85+125=1+1625．
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______ ．
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明．
19. (本小题10.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，过点A的切线交CD的延长线于点F，连接AD．
(1)求证：∠EAD=∠ACE；
(2)若AC=4 5，ED=2，求DF的长．
20. (本小题10.0分)
如图，在某居民楼AB的正前方8m处有一生活超市CD，在生活超市的顶端C处测得居民楼顶端A的仰角为67°，测得居民楼底端B的俯角为22°，求居民楼AB的高度.(结果保留小数点后一位，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40 )
21. (本小题12.0分)
某校七、八年级各有1000名学生，为加强安全教育，开展了“防溺水”安全知识检测.现从七、八年级学生中各随机抽取了m名学生进行测试，将测试成绩按以下六组进行整理(得分用x表示)：A：70≤x<75，B：75≤x<80，C：80≤x<85，D：85≤x<90，E：90≤x<95，F：95≤x≤100．
并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩B组的全部数据为76，77，78，78．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)m= ______ ，a= ______ ；
(2)请直接写出七年级测试成绩的中位数落在哪一组；
(3)若测试成绩不低于85分，则认定该学生对“防溺水”安全知识了解程度高，请估计该校七、八两个年级对“防溺水”安全知识了解程度高的学生一共有多少人，并说明理由．
22. (本小题12.0分)
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E为斜边AB的中点，将线段AC平移至ED交BC于点M，连接CD、CE、BD．
(1)求证：CD=BE；
(2)求证：四边形BECD为菱形；
(3)连接AD，交CE于点N，若AC=10，cos∠ACE=513，求MN的长．
23. (本小题14.0分)
如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm，现计划将此余料进行切割．
(1)如图1，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若切割成矩形HGNM，求此矩形的最大周长；
(3)若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长.(结果保留根号)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据绝对值的定义得，|−8|=8．
故选：B．
根据绝对值的定义求解．
本题考查了绝对值，任何一个数的绝对值一定是非负数，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2.【答案】C
【解析】解：5779.3亿=577930000000=5.7793×1011．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
3.【答案】A
【解析】解：所给图形的主视图是梯形．
故选A．
找到圆台从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了同底数幂的除法运算法则，正确掌握相关法则是解题关键.直接利用同底数幂的除法运算法则化简求出答案．
【解答】
解：a10÷a2=a10−2=a8．
故选C．
5.【答案】B
【解析】解：由图象中的信息可知，
利润=售价−进价，利润最大的天数是2月，
故选：B．
根据利润=售价−进价和图象中给出的信息即可得到结论．
本题考查了折线统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润=售价−进价是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图，
∵∠2=90°−30°=60°，
∴∠3=180°−45°−60°=75°，
∵a//b，
∴∠1=∠3=75°，
故选：B．
利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
7.【答案】C
【解析】解：(1)CD平分∠ACB，如图1，
∴AD=BD，
∴∠AOD=∠BOD=90°，
∴OD⊥AB，
故A选项不正确；
(2)CD⊥AB，
∴AB平分CD，AC=AD，
得不到AD=BD，
故B选项不正确；
(3)如图3，延长CB至点F，使得BF=AC，连结AD，BD，DF，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∵四边形ACBD内接于⊙O，
∴∠CAD=∠DBF，
在△CAD与△FBD中，
AD=BD∠CAD=∠FBDCA=FB，
∴△CAD≌△FBD(SAS)，
∴CD=FD，∠F=∠ACD=∠BCD=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CF= 2CD，
∴CB+CA= 2CD，
故C选项正确；
(4)由备选答案C可知D项不正确．
故选：C．
(1)CD平分∠ACB，如图1，得AD=BD，可得∠AOD=∠BOD=90°，所以OD⊥AB；
(2)CD⊥AB，由垂径定理得AB平分CD，AC=AD，得不到AD=BD，则CD平分∠ACB不正确；
(3)CD平分∠ACB，得AD=BD，得AD=BD，将△ACD绕点D旋转90°至△BFD，证明AC+BC=AC+BF=CF，再证明△CDF是等腰直角三角形即可．
本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，图形的旋转，三角形全等知识，解题备选答案C的关键是利用图形旋转构造全等三角形．
8.【答案】C
【解析】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为39=13，
故选：C．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】A
【解析】解：∵直线l1：经过第一、三象限，
∴k>0，
∴−k<0．
又∵该直线与y轴交于正半轴，
∴b>0．
∴直线l2经过第一、三、四象限．
故选：A．
根据各选项中的函数图象判断出k、b异号，然后分别确定出两直线经过的象限以及与y轴的交点位置，即可得解．
本题考查了一次函数的图象，一次函数y=kx+b(k≠0)，k>0时，一次函数图象经过第一三象限，k<0时，一次函数图象经过第二四象限，b>0时与y轴正半轴相交，b<0时与y轴负半轴相交．
10.【答案】D
【解析】解：过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：
在Rt△DFC中，∠DCF=30°，
∴DF=12DC，
∵2AD+DC=2(AD+12DC)
=2(AD+DF)，
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B=∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD=AB=4，
在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=4，
∴BC=8，
∴DC=BC−BD=4，
∴2AD+DC=2×4+4=12，
∴2AD+DC的最小值为12，
故选：D．
过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF=30°,DF=12DC,2AD+DC=2(AD+12DC)=2(AD+DF)当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．
本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
11.【答案】x>−3
【解析】解：3+2x>−x−6，
2x+x>−6−3，
3x>−9，
x>−3，
故答案为：x>−3．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
12.【答案】a≥−1且a≠1
【解析】解：方程ax2+4x=x2+2整理得：(a−1)x2+4x−2=0，
根据题意得a−1≠0且Δ=42−4×(a−1)×(−2)≥0，
解得a≥−1且a≠1．
故答案为：a≥−1且a≠1．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a−1≠0且Δ=42−4×(a−1)×(−2)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
13.【答案】5.
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，设BC与x轴交于点E，如图，
则AD=t，
∵直线x=t(t>0)与反比例函数y=kx(x>0)，y=−1x(x>0)的图象分别交于B、C两点，
∴B(t,kt)，C(t,−1t)，
∵t>0，k>0，
∴BE=kt，DE=1t，
∴BC=BE+CE=k+1t，
∵△ABC的面积为3，
∴12×BC⋅AD=3，
∴12×k+1t⋅t=3，
∴k=5．
故答案为：5．
过点A作AD⊥BC于点D，设BC与x轴交于点E，由题意得出点B，C的坐标，进而得到线段AD，BC的长度，利用，△ABC的面积为3列出方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上的点的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
14.【答案】60 6411
【解析】解：(1)如图，
∵△ABE，△BCF，△CDG均为等边三角形．
∴∠ABE=∠CBF=60°，AB=EB，
∴∠EBF=180°−∠ABE−∠CBF=60°，
∵BP=BF，AB=EB，∠ABP=∠EBF=60°，
∴△ABP≌△EBF(SAS)，
∴∠BAP=∠BEF，
∵∠BAP+∠ABP+∠APB=∠BEF+∠AQE+∠EPQ，∠APB=∠EPQ，
∴∠AQE=∠ABP=60°；
故答案为：60°；
(2)分别延长AD，EG，两条延长线交于O，
∵∠ABE=∠BCF=60°，∠FBC=∠GCD=60°，
∴BE//CF，BF//CG，
∴BECF=BOCO，BFCG=BOCO，
∴BECF=BFCG，
∵AB=BE=11，BC=BF=CF=8，
∴118=8CG，
∴CD=CG=6411．
故答案为：6411．
(1)证明△ABP≌△EBF(SAS)，则∠BAP=∠BEF，由三角形内角和定理得到∠BAP+∠ABP+∠APB=∠BEF+∠AQE+∠EPQ，对顶角相等得∠APB=∠EPQ，即可得到∠AQE=∠ABP=60°；
(2)分别延长AD，EG，两条延长线交于O，先证明BE//CF，BF//CG，则BECF=BOCO，BFCG=BOCO，得到BECF=BFCG，进一步即可得到答案．
此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15.【答案】解：2sin30°+(−1)2−|2− 2|
=2×12+1−(2− 2)
=1+1−2+ 2
= 2．
【解析】首先计算乘方、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
16.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，C1D即为所求．
【解析】(1)利用点平移的坐标变换规律得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格找到A1B1边上的中点D，连接C1D即可．
本题考查了作图−平移变换，正确地作出图形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128(1+x)+128(1+x)2=608
化简得：4x2+12x−7=0
∴(2x−1)(2x+7)=0，
∴x=0.5=50%或x=−3.5(舍)，
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
(2)∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128(1+50%)3=128×278=432<500，
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【解析】(1)先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
(2)根据(1)所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
18.【答案】106+136=1+2536
【解析】解：(1)第5个等式为：106+136=1+2536，
故答案为：106+136=1+2536．
(2)第n个等式为：2n(n+1)+1(n+1)2=1+n2(n+1)2，
证明：2n(n+1)+1(n+1)2=2n(n+1)+1(n+1)2
=2n2+2n+1(n+1)2
=n2+2n+1+n2(n+1)2
=(n+1)2+n2(n+1)2
=1+n2(n+1)2，
∴2n(n+1)+1(n+1)2=1+n2(n+1)2．
(1)根据前4个等式得出第五个等式即可；
(2)通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到分母之间的关系，最后通过化简即可证明．
本题考查了运算规律的探究，分式的加减运算，掌握规律的探究方法与分式的加减运算是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径，
∴AB=BD，
∴∠EAD=∠ACE；
(2)解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD=∠CEA=90°，
又∵∠ACD=∠ECA，
∴△CAD∽△CEA，
∴ACEC=CDCA，
∴AC2=CD⋅CE=CD(CD−ED)，
设⊙O的半径为r，
∴2r(2r−2)=(4 5)2，
解得r=5或r=−4(负值舍去)，
∴OE=OD−ED=5−2=3，
∵AF切⊙O于点A，
∴∠OAF=90°，
∴∠OAF=∠OEA，
∵∠EOA=∠AOF，
∴△OAE∽△OFA，
∴AOOF=OEOA，
即5OF=35，
解得OF=253，
∴DF=OF−OD=253−5=103．
【解析】(1)由圆周角定理可得出结论；
(2)连接OA，证明△CAD∽△CEA，由相似三角形的性质得出ACEC=CDCA，设⊙O的半径为r，则2r(2r−2)=(4 5)2，求出半径r，证明△OAE∽△OFA，由相似三角形的性质得出OAOF=OEOA，求出OF的长，则可得出答案．
本题考查切线的性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20.【答案】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意得：CE=BD=8m，
在Rt△ACE中，∠ACE=67°，
∴AE=CE⋅tan67°≈8×2.36=18.88(m)，
在Rt△BCE中，∠BCE=22°，
∴BE=CE⋅tan22°≈8×0.4=3.2(m)，
∴AB=AE+BE=18.88+3.2≈22.1(m)，
答：居民楼AB的高度约为22.1m．
【解析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：CE=BD=8m，然后分别在Rt△ACE和Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】80 16
【解析】解：(1)依题意，m=45%=80，
∴2a=80−8−24−12−4，
∴a=16，
故答案为：80，16．
(2)∵8+16=24<40，8+16+24=48>40，
∴中位数落在80≤x<85，即C组，
(3)七年级测试成绩不低于8(5分)的有16+12+4=32(人)，
3280×100%=40%，
八年级测试成绩不低于8(5分)的有1−(20%+5%+5%)=70%，
∴估计该校七、八两个年级对“防溺水”安全知识了解程度高的学生一共有1000×40%+1000×70%=400+700=1100人，
(1)根据八年级测试成绩B组的人数除以占比，得出八年级的人数即可求得m的值，进而求得a的值；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)分别求得七、八两个年级测试成绩不低于8(5分)的占比，进而即可求解．
本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，求中位数，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵ED为AC平移所得，
∴AC//ED，AC=ED，
∴四边形ACDE为平行四边形，
∴AE=CD，
在Rt△ABC中，点E为斜边AB的中点，
∴AE=CE=BE，
∴CD=BE．
(2)证明：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴AE//CD，即CD//BE，
又∵CD=BE，
∴四边形BECD为平行四边形，
又∵CE=BE，
∴四边形BECD为菱形．
(3)解：平移的性质得：AC//ED，AC=ED=10，
∴∠CEM=∠ACE，
由(1)得：四边形ACDE是平行四边形，四边形BECD为菱形，
∴CD=CE，CN=EN，DM=EM=12DE=5，BC⊥DE，
∴MN是△CDE的中位线，
∴MN=12CD，
∵cos∠CEM=EMCE=cos∠ACE=513，
∴CE=135EM=13，
∴CD=CE=13，
∴MN=132．
【解析】(1)证得四边形ACDE为平行四边形，得到AE=CD，在Rt△ABC中，点E为斜边AB的中点，
AE=CE=BE，从而得到CD=BE；
(2)证四边形ACDE是平行四边形，得CD=AE，CD//AE，再证四边形BECD是平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线性质得CE=12AB=BE，即可得出结论；
(3)由平行线的性质得∠CEM=∠ACE，由平行四边形和菱形的性质得CD=CE，CN=EN，DM=EM=12DE=5，BC⊥DE，证MN是△CDE的中位线，得MN=12CD，由锐角三角函数定义求出CD=CE=13，进一步解答即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)根据已知可得，抛物线顶点坐标为(0,9)，A(−6,0)，B(6,0)，
设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+9，
把B(6,0)代入，得0=36a+9，解得a=−14，
∴木板边缘所对应的抛物线的函数表达式为y=−14x2+9．
(2)在矩形HGNM中，设M(m,−14m2+9)(0
∴矩形HGNM的周长为2(2m−14m2+9)=−12(m−4)2+26．
∵−12<0，且0
即矩形HGNM的最大周长为26dm．
(3)如图是画出的切割方案：
在y=−14x2+9中，令y=2，解得x=±2 7，
∴PQ=4 7；
在y=−14x2+9中，令y=4，解得x=±2 5，
∴RS=4 5；
在y=−14x2+9中，令y=6，解得x=±2 3，
∴TW=4 3；
在y=−14x2+9中，令y=8，解得x=±2，
∴KI=4，
∴拼接后的矩形的长边长为PQ+RS+TW+KI=(4 7+4 5+4 3+4)dm．
【解析】(1)根据已知可得抛物线顶点坐标为(0,9)，A(−6,0)，B(6,0)，再设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+9，把B(6,0)代入，可求出a，即可得出抛物线的函数表达式；
(2)在矩形HGNM中，设M(m,−14m2+9)(0
本题考查了求二次函数的表达式和二次函数的图象和性质，熟练应用二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
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