适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量课时规范练37空间直线平面垂直的判定与性质北师大版

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课时规范练37
基础巩固组
1.(2023·河南郑州模拟)设α,β为两个平面,则α⊥β的充要条件是(　　)
A.α,β平行于同一个平面
B.α,β垂直于同一个平面
C.α内一条直线垂直于β内一条直线
D.α内存在一条直线垂直于β
答案:D
解析:α,β平行于同一个平面时,则α∥β,故A错误;α,β垂直于同一个平面时,α,β可能垂直,也可能相互平行,也可能相交但不垂直,故B错误;α内一条直线垂直于β内一条直线,α,β可能垂直,也可能相互平行,也可能相交但不垂直,故C错误;α内存在一条直线垂直于β,则α⊥β,反之也成立,故D正确.
2.(多选)若α,β是两个相交平面,则在下列说法中,正确的是(　　)
A.若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线
B.若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直
C.若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m异面的直线
D.若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线
答案:BD
解析:设平面α∩平面β=直线l,对于A,当平面α⊥平面β时,在平面β内作直线n⊥l,则n⊥α,而m⊥α,则n∥m,故A错误;对于B,m⊥α,则m⊥l,则平面β内与l平行的所有直线都与直线m垂直,故B正确;对于C,因为直线m⊂α,则m与l重合时,即m⊂β,β内的所有直线都与m共面,故C错误;对于D,当m⊥β时,结论成立,直线m与β不垂直时,作与直线m垂直的平面γ,则γ必与β相交,所得交线与m垂直,故D正确.故选BD.
3.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
答案:A
解析:连接AC1(图略),由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,AB,BC1⊂平面ABC1,AC⊄平面ABC1,得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.
4.(2022·全国乙,文9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　)
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
答案:A
解析:如图,对于A,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF⊂平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正确.对于B,连接AC1,易证AC1⊥平面A1BD.假设平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1⊄平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC⊄平面B1EF,EF⊂平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,显然不成立,∴假设不成立,即平面B1EF与平面A1BD不垂直.故B错误.对于C,由题意知,直线AA1与B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC必相交.故C错误.对于D,连接AB1,CB1,易证平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF与平面AB1C相交,∴平面B1EF与平面A1C1D不平行.故D错误.

5.(2022·云南曲靖二模)如图,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形,PA=PD,平面PAD垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.

(1)求证:BG⊥平面PAD;
(2)若PA=AB=6,求四棱锥P-ABCD的体积.
(1)证明:∵四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形,
∴△ABD为等边三角形.又G为AD的中点,
∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,BG⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BG⊥平面PAD.
(2)解:∵PA=PD,G为AD的中点,∴PG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,PG⊂平面APD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PG⊥平面ABCD,即PG是四棱锥P-ABCD的高.
∵PA=AB=6,∴△PAD是等边三角形,
∴PG=×6=3,VP-ABCD=·PG·AD·AB·sin60°=×3×6×6×=54.
综合提升组
6.在矩形ABCD中,AB